高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3.2 平面与平面垂直教案 新人教B版必修2.doc

1.2.3.2 平面与平面垂直示范教案教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间，避免出现直接给出定义和定理，那样做会不符合新课标的精神的三维目标1掌握两个平面互相垂直的定义，提高学生的归纳能力2掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，以及应用定理解决有关问题，提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质教学难点：归纳判定定理和性质定理课时安排1课时导入新课设计1.回顾直线与平面垂直的定义，是用线线垂直来定义的，那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义？教师点出课题设计2.如下图所示，在长方体ac中，棱aa垂直平面ac，那么过aa的平面ab和平面ad垂直于平面ac吗？教师点出课题推进新课(1)如右下图，两个平面，相交，交线为cd，在cd上任取一点b，过点b分别在，内作直线ba和be，使bacd，becd.于是，直线cd平面abe.容易看到，当abe为直角时，给我们两平面互相垂直的印象由此归纳出两平面垂直的一个定义？(2)在下图中，由于abe为直角，可知babe.又bacd，所以ba.这就是说平面过平面的垂线ba.现在要问，如果平面过平面的垂线ba，那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理(3)下面我们再来研究两平面垂直的性质再观察右上图，设平面与平面垂直，cd，如果平面内的直线bacd，这时，ba是否垂直平面？归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明讨论结果：(1)如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直平面，互相垂直，记作.(2)答案是肯定的事实上，只要在平面内作becd，由于ba，所以babe，因此abe为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出.由以上观察和分析，我们可以得到平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(如下图)，实际上就是依据这个定理(3)定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面已知：(如下图)平面平面，cd，ba，bacd，b为垂足求证：ba.证明：在平面内过点b作becd.因为，所以babe.又因为bacd，cdbeb，所以ba.思路1例1 已知：如下图，平面平面，在与的交线上取线段ab4 cm，ac，bd分别在平面和平面内，它们都垂直于交线ab，并且ac3 cm，bd12 cm，求cd的长解：连结bc.因为bdab，直线ab是两个互相垂直的平面和的交线，所以bd，bdbc.所以cbd是直角三角形在直角bac中，bc5.在直角cbd中，cd13.所以cd长为13 cm.变式训练如下图，长方体abcdabcd中，mn在平面bccb内，mnbc于m.判断mn与ab是否垂直？并说明理由解：显然，平面bccb平面abcd，交线为bc.因为mn在平面bccb内，且mnbc，所以mn平面abcd.从而mnab.例2 已知rtabc中，abaca，ad是斜边bc上的高，以ad为折痕使bdc成直角(如下图) (1) (2)求证：(1)平面abd平面bdc，平面acd平面bdc；(2)bac60.证明：(1)如上图(2)，因为adbd，addc，所以ad平面bdc.因为平面abd和平面acd都过ad，所以平面abd平面bdc，平面acd平面bdc.(2)如上图(1)，在直角三角形bac中，因为abaca，所以bca，bddca.如上图(2)，bdc是等腰直角三角形，所以bcbdaa.所以abacbc.因此bac60.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直变式训练如下图，四边形abcd是菱形，pa平面abcd，paad2，bad60.求证：平面pbd平面pac.证明：设ac与bd交于点o，连结po，底面abcd是菱形，bdac.pa底面abcd，bd平面abcd，pabd.又paaca，bd平面pac.又bd平面pbd，平面pbd平面pac.思路2例3 如下图，已知直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，且dab60，adaa1，f为棱bb1的中点，m为线段ac1的中点求证：(1)直线mf平面abcd；(2)平面afc1平面acc1a1.证明：如下图，(1)延长c1f交cb的延长线于点n，连结an.f是bb1的中点，f为c1n的中点，b为cn的中点又m是线段ac1的中点，故mfan.又mf平面abcd，an平面abcd，mf平面abcd.(2)连结bd，由直四棱柱abcda1b1c1d1，可知aa1平面abcd，又bd平面abcd，a1abd.四边形abcd为菱形，acbd.又aca1aa，ac、a1a平面acc1a1，bd平面acc1a1.在四边形danb中，dabn且dabn，四边形danb为平行四边形故nabd.na平面acc1a1.又na平面afc1，平面afc1平面acc1a1.变式训练如左下图，已知平面交平面于直线a.、同垂直于平面.求证：a.证明：如右上图，设ab，ac.在内任取一点p并在内作直线pmab，pnac.，pm.而a，pma.同理，pna.又pm，pn，且pnpmp，a.如下图所示，在四棱锥sabcd中，底面abcd是矩形，侧面sdc底面abcd，且ab2，scsd.求证：平面sad平面sbc.证明：在sdc中，scsd，cdab2，dsc90，即dssc.底面abcd是矩形，bccd.又平面sdc平面abcd，bc面sdc.dsbc.ds平面sbc.ds 平面sad，平面sad平面sbc.如下图，在四棱锥pabcd中，侧面pad是正三角形，且与底面abcd垂直，底面abcd是边长为2的菱形，bad60，n是pb中点，过a、d、n三点的平面交pc于m，e为ad的中点(1)求证：en平面pcd；(2)求证：平面pbc平面admn.(1)证明：adbc，bc面pbc，ad面pbc，ad面pbc.又面adn面pbcmn，admn.mnbc.点m为pc的中点mnbc.又e为ad的中点，四边形denm为平行四边形endm.en面pdc.(2)证明：连结pe、be，四边形abcd为边长为2的菱形，且bad60，bead.又pead，ad面pbe.adpb.又paab且n为pb的中点，anpb.而anada，pb面admn.平面pbc平面admn.知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题本节练习a4题；练习b3题本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性在实际应用时，尽量借助于信息技术备选习题1.如下图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1中点求证：ab1平面a1bd；证明：如下图，取bc中点o，连结ao.abc为正三角形，aobc.在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，ao平面bcc1b1.aobd.连结b1o，在正方形bb1c1c中，o、d分别为bc、cc1的中点，b1obd.又aob1oo，bd面aob1.ab1面aob1，ab1bd.在正方形abb1a1中，ab1a1b，ab1平面a1bd.2.如下图，在直三棱柱abca1b1c1中，abbb1，ac1平面a1bd，d为ac的中点(1)求证：b1c平面a1bd；(2)求证：b1c1平面abb1a1；(3)设e是cc1上一点，试确定e的位置使平面a1bd平面bde，并说明理由分析：(1)转化为证明b1cmd；(2)转化为证明a1bb1c1，bb1b1c1；(3)可猜测点e为c1c的中点证明：(1)如下图，连结ab1与a1b相交于m.则m为a1b的中点，连结md，又d为ac的中点，b1cmd，又b1c平面a1bd，md平面a1bd，b1c平面a1bd.(2)abb1b，四边形abb1a1为正方形，a