湖北省武汉二中、麻城一中高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

湖北省武汉二中、麻城一中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1（5分）命题：xr，x0的否定为（）axr，x0bx0r，x00cx0r，x00dxr，x02（5分）若复数（m25m+6）+（m23m）i是纯虚数，则实数m的值为（）am=2bm=3cm=2或m=3dm=03（5分）如图是根据变量x，y的观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）abcd4（5分）若动点m（x，y）在运动过程中，总满足关系式=8，则m的轨迹为（）a椭圆=1b双曲线=1的右支c双曲线=1的右支d双曲线=1的左支5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为（）a5b3c2d16（5分）2014年国家加大对科技创新行业的支持力度，某研究机构对一新型行业的企业年投入x（单位：万元）与年盈利y（单位：万元）情况进行了统计分析，得下表数据：x681012y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a中的b的值为0.7，若某企业计划年投资14万元，则该企业的年盈利约为（）a6.5b7c7.5d87（5分）记集合a=x|1，b=x|（x1）（x+a）0，若xa是xb的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）a（2，1b2，1cd2，+）8（5分）正项等比数列an中的a1，a9是函数f（x）=+x+1的极值点，则lna5=（）a1b0c1d与a的值有关9（5分）已知点p（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为f，|pf|=25，则|ab|=（）a100b200c360d40010（5分）若曲线f（x）=sinxcosx的切线的倾斜角为，则的取值范围为（）abcd11（5分）已知椭圆+=1内有两点a（1，3），b（3，0），p为椭圆上一点，则|pa|+|pb|的最大值为（）a10b15c4d512（5分）刘徽在他的九章算术注中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4：，即v牟：v球=4：也导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即v牟=r3v方盖差，从而计算出v球=记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为v正，则（）av方盖差v正bv方盖差=v正cv方盖差v正d以上三种情况都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）i为虚数单位，则=14（5分）某校拔河比赛，三班、四班、五班在预赛中胜出，三个裁判估测冠军，裁判甲说：冠军不会是三班，也不会是四班；乙说：冠军不会是三班，一定是五班；丙说：冠军不会是五班，而是三班，比赛结果出来后，他们中有一个人的两个判断都对，一个人的两个判断都错，还有一个人的判断一对一错，则冠军是班15（5分）已知a+b+c=2014，a，b，cr+，则的最小值为16（5分）若函数f（x）在定义域内的一个区间a，b（ab）上函数值的取值范围恰好是，则称区间a，b（ab）是函数f（x）的一个减半压缩区间若函数f（x）=+m存在一个减半压缩区间a，b（ba1）（1）当m=时，函数f（x）的减半压缩区间为；（2）m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32天数612xy由于工作疏忽，统计表被墨水污染，y和z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.9（1）若把频率看作概率，求x，y的值；（2）把日最高气温高于32称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面22列联表，并据此欠是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由高温天气非高温天气合计旺销1不旺销6合计附：p（k2k）0.100.0500.0250.0100，.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）命题p：方程+=1表示椭圆；命题q：关于x的不等式|x+3|+|x4|m有解若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围19（12分）已知函数f（x）=2lnxx2（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若函数f（x）与g（x）=x+（ar）有相同极值点，且对于任意的，不等式f（x1）g（x2）m恒成立，求实数m的取值范围20（12分）如图，有一正方形钢板abcd缺损一角（图中的阴影部分），边缘线oc是以直线ad为对称轴，以线段ad的中点o为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线ef，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值21（12分）已知椭圆（ab0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为（1）求椭圆的方程；（2）已知定点e（1，0），若直线y=kx+2（k0）与椭圆相交于c，d两点，试判断是否存在实数k，使得以cd为直径的圆过定点e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由22（10分）已知函数f（x）=|x3|x+1|（1）解不等式f（x）1；（2）若f（x）|x+a|的解集包含2，1，求实数a的取值范围湖北省武汉二中、麻城一中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1（5分）命题：xr，x0的否定为（）axr，x0bx0r，x00cx0r，x00dxr，x0考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：利用全称命题的否定是特称命题，可得结果解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：xr，x0的否定为：x0r，x00故选：c点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查2（5分）若复数（m25m+6）+（m23m）i是纯虚数，则实数m的值为（）am=2bm=3cm=2或m=3dm=0考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出m的值即可解答：解：复数（m25m+6）+（m23m）i是纯虚数，解得m=2，故选：a点评：本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题3（5分）如图是根据变量x，y的观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）abcd考点：变量间的相关关系；散点图 专题：概率与统计分析：根据散点图中所有点的分布情况，是y随x的增大而减小，还是y随x的增大而增大，即可得出结论解答：解：由图知，变量y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y有明显的负相关关系，由图知，变量y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，x与y有明显的正相关关系故选：c点评：本题考查了散点图的应用问题，也考查了通过读图识别两个变量间的线性相关关系，是基础题目4（5分）若动点m（x，y）在运动过程中，总满足关系式=8，则m的轨迹为（）a椭圆=1b双曲线=1的右支c双曲线=1的右支d双曲线=1的左支考点：与直线有关的动点轨迹方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直接利用双曲线的定义，写出结果即可解答：解：动点m（x，y）在运动过程中，总满足关系式=8，m的轨迹满足双曲线的定义，c=5，a=4，则b=3，即双曲线=1的右支故选：b点评：本题考查轨迹方程的求法，双曲线的定义的应用，考查计算能力5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为（）a5b3c2d1考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：当x=1时，x24x+3=0，满足继续循环的条件，故x=2，n=1；当x=2时，x24x+3=10，满足继续循环的条件，故x=3，n=2；当x=3时，x24x+3=0，满足继续循环的条件，故x=4，n=3；当x=4时，x24x+3=30，不满足继续循环的条件，故输出的n值为3，故选：b点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6（5分）2014年国家加大对科技创新行业的支持力度，某研究机构对一新型行业的企业年投入x（单位：万元）与年盈利y（单位：万元）情况进行了统计分析，得下表数据：x681012y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a中的b的值为0.7，若某企业计划年投资14万元，则该企业的年盈利约为（）a6.5b7c7.5d8考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：求出样本中心，代入回归直线方程，求出回归直线方程，然后求解企业计划年投资14万元，则该企业的年盈利解答：解：由题意可知：=9=4回归直线直线经过样本中心（9，4），可得：4=90.7+a，解得a=2.3回归直线方程为：=0.7x2.3企业计划年投资14万元，则该企业的年盈利约为：0.7142.3=7.5故选：c点评：本题考查回归直线方程的求法，考查计算能力7（5分）记集合a=x|1，b=x|（x1）（x+a）0，若xa是xb的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）a（2，1b2，1cd2，+）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：a=x|1=x|1=0=x|x2或x1，若xa是xb的充分不必要条件，则ab，若a=1，则b=x|x1满足ab若a1b=x|（x1）（x+a）0=x|xa或x1，此时满足a2，即a2，此时2a1，若a1，b=x|（x1）（x+a）0=x|x1或xa，此时不满足ab，综上2a1，故选：b点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法结合集合的关系是解决本题的关键8（5分）正项等比数列an中的a1，a9是函数f（x）=+x+1的极值点，则lna5=（）a1b0c1d与a的值有关考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：求出函数的导数，利用极值点求出a5即可解答：解：函数f（x）=+x+1，可得f（x）=x22ax+1，a1，a9是函数f（x）=+x+1的极值点，可得a1a9=1，正项等比数列an，可得a5=1，lna5=0故选：b点评：本题考查函数的极值，以及等比数列的应用，考查计算能力9（5分）已知点p（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为f，|pf|=25，则|ab|=（）a100b200c360d400考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab的值解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=5，|pf|=b+5=25，b=20，又点p（a，b）是抛物线x2=20y上一点，a2=2020，a=20，|ab|=400，故选d点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等10（5分）若曲线f（x）=sinxcosx的切线的倾斜角为，则的取值范围为（）abcd考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用；三角函数的图像与性质分析：先求出函数的导数，根据导数的几何意义结合辅助角公式，即可得到tan的取值范围，再利用正切函数的单调性及倾斜角的取值范围即可解出的取值范围解答：解：f（x）=sinxcosx，f（x）=cosx+sinx=sin（x+），tan，又0，），解得0，）故选：c点评：理解导数的几何意义和掌握正切函数的图象和性质是解题的关键11（5分）已知椭圆+=1内有两点a（1，3），b（3，0），p为椭圆上一点，则|pa|+|pb|的最大值为（）a10b15c4d5考点：椭圆的简单性质 专题：等差数列与等比数列分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为b（3，0）和b（3，0）因此连接pb、ab，根据椭圆的定义得|pa|+|pb|=|pa|+（2a|pb|）=10+（|pa|pb|）再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点p在ab延长线上时，|pa|+|pb|=10+|ab|=15达到最大值，从而得到本题答案解答：解：椭圆+=1，焦点坐标为b（3，0）和b（3，0）连接pb、ab，根据椭圆的定义，得|pb|+|pb|=2a=10，可得|pb|=10|pb|，因此，|pa|+|pb|=|pa|+（10|pb|）=10+（|pa|pb|）|pa|pb|ab|，|pa|+|pb|10+|ab|=10+=10+5=15，当且仅当点p在ab延长线上时，等号成立综上所述，可得|pa|+|pb|的最大值为15故选b点评：本题给出椭圆内部一点a，求椭圆上动点p与a点和一个焦点距离b和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题12（5分）刘徽在他的九章算术注中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4：，即v牟：v球=4：也导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即v牟=r3v方盖差，从而计算出v球=记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为v正，则（）av方盖差v正bv方盖差=v正cv方盖差v正d以上三种情况都有可能考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：计算出v方盖差，v正，即可得出结论解答：解：由题意，v方盖差=r3v牟=r3=r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为v正=r3，v方盖差v正故选：a点评：本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）i为虚数单位，则=考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可解答：解：复数=1故答案为：点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查14（5分）某校拔河比赛，三班、四班、五班在预赛中胜出，三个裁判估测冠军，裁判甲说：冠军不会是三班，也不会是四班；乙说：冠军不会是三班，一定是五班；丙说：冠军不会是五班，而是三班，比赛结果出来后，他们中有一个人的两个判断都对，一个人的两个判断都错，还有一个人的判断一对一错，则冠军是三班考点：进行简单的演绎推理 专题：推理和证明分析：通过假设甲、乙、丙的判断是否正确，推测结论是否符合题意，从而得出正确的答案解答：解：假设甲的判断都对，冠军应是五班，那么乙的判断也都正确，这与题意矛盾，假设不成立；假设乙的判断都对，冠军是五班，那么假的判断也都正确，这与题意也矛盾，所以假设不成立；假设丙的判断都对，冠军是三班，那么甲的判断一对一错，乙的判断都错，满足题意，假设成立所以，冠军是三班故答案为：三点评：本题考查了逻辑与推理的应用问题，解题时应通过假设，得出与题意相符合的结论，是基础题目15（5分）已知a+b+c=2014，a，b，cr+，则的最小值为4考点：基本不等式 专题：不等式分析：由a+b+c=2014，得到a+1+b+c=2015，化简=2+，利用基本不等式得到答案解答：解：a+b+c=2014，a+1+b+c=2015，=+=2+2+2=4，当且仅当b+c=a+1时取等号，则的最小值为4，故答案为：4点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题16（5分）若函数f（x）在定义域内的一个区间a，b（ab）上函数值的取值范围恰好是，则称区间a，b（ab）是函数f（x）的一个减半压缩区间若函数f（x）=+m存在一个减半压缩区间a，b（ba1）（1）当m=时，函数f（x）的减半压缩区间为1，5；（2）m的取值范围是（0，考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：（1）通过求导容易判断f（x）在a，b上是增函数，令=t，t0，x=t2+1，所以该方程变成t22t+12m=0，把m的值代入求出方程的解，问题得以解决（2）由（1）所以这个关于t的方程有两不等实根，且小根大于等于0，解该不等式组即得m的取值范围解答：解：（1）f（x）=；函数f（x）在a，b上是增函数；xa，b时，f（x）+m，+m；a，b是f（x）的减半压缩区间；f（x）；+m=，+m=，即方程+m=有两不等实根；令=t，x=t2+1，所以该方程变成：t22t+12m=0，当m=时，t22t+12=0，解得t=0或t=2，即=0，或=2，解得x=1，或x=5，故函数f（x）的减半压缩区间为1，5，（2）有（1）知，则关于t的一元二次方程有两个不等实根，且两根非负；，解得0m；实数m的取值范围是（0，故答案为：1，5，点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据单调性求函数的值域，一元二次方程的解的情况和判别式的关系，以及韦达定理，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32天数612xy由于工作疏忽，统计表被墨水污染，y和z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.9（1）若把频率看作概率，求x，y的值；（2）把日最高气温高于32称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面22列联表，并据此欠是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由高温天气非高温天气合计旺销1不旺销6合计附：p（k2k）0.100.0500.0250.0100，.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828考点：独立性检验 专题：计算题；概率与统计分析：（1）由p（t32c）=0.9，求出p（t32c），即可求得y，zx值；（2）利用公式求得k2，与临界值比较，即可得到结论解答：解：（1）由题意，p（t32c）=0.9，p（t32c）=1p（t32c）=0.1y=300.1=3，x=30（6+12+3）=9；（2）高温天气非高温天气合计旺销12122不旺销268合计32730=2.7272.7273.841没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关点评：本题考查学生的读图能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题18（12分）命题p：方程+=1表示椭圆；命题q：关于x的不等式|x+3|+|x4|m有解若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围考点：复合命题的真假；椭圆的定义；绝对值不等式的解法 专题：简易逻辑分析：先求命题p和命题q为真时m取值范围，再根据复合命题真值表判断命题p、q一真一假，分p真q假时和p假q真时两种情况求解解答：解：命题p：若方程表示椭圆则为解得9m25且m17，即m|9m25且m17命题q：若x的不等式|x+3|+|x4|m有解，|x+3|+|x4|7，只要m7即可，若pq为真，pq为假，则命题p，q中必有一真一假若p真，q假：m|9m25且m17m|m7=，若p假，q真，m|m9或m25或m=17m|m7=m|7m9或m=17或m25因此，所求m的范围是m|7m9或m=17或m25点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了椭圆的标准方程，绝对值不等式的解法，要求熟记复合命题真值表，属于中档题19（12分）已知函数f（x）=2lnxx2（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若函数f（x）与g（x）=x+（ar）有相同极值点，且对于任意的，不等式f（x1）g（x2）m恒成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求函数的导数，求得切线的斜率，切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）求得导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域，即可得到极大值；（3）分别求得f（x）、g（x）在上的最大值和最小值，由题意可得mf（x）maxg（x）min，即可得到m的范围解答：解：（1），f（1）=0，所求的切线斜率为0，又切点为（1，1），故所求切线方程为y=1；（2）且x0，令f（x）0得0x1，令f（x）0得x1从而函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）显然函数只有极大值，且极大值为f（1）=1；（3）由（2）知，x=1是函数y=f（x）的极值点，且函数f（x）在上的最大值为f（1）=1，若y=g（x）与y=f（x）有相同的极值点，x=1也是y=g（x）的极值点，又，g（1）=1a=0，得a=1，即，当时，当且仅当x=1时取等号，函数y=g（x）在上的最小值为2，要对于任意x1，x2，不等式f（x1）g（x2）m恒成立，只要mf（x）maxg（x）min，由，即得m12=3，故实数m的取值范围是3，+）点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，属于中档题20（12分）如图，有一正方形钢板abcd缺损一角（图中的阴影部分），边缘线oc是以直线ad为对称轴，以线段ad的中点o为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线ef，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；二次函数在闭区间上的最值 专题：应用题分析：根据题意建立坐标系，有题意可得抛物线的方程为，设出切点得出切线方程求出点e、f的坐标，进而表示出梯形的面积再结合二次函数的性质求出面积最大值，最终解决实际问题解答：解：以o为原点，直线ad为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧oc的方程为y=ax2（0x2）点c的坐标为（2，1），22a=1，故边缘线oc的方程为要使梯形abef的面积最大，则ef所在的直线必与抛物线弧oc相切，设切点坐标为，直线ef的方程可表示为，即，由此可求得，设梯形abef的面积为s（t），则=当t=1时，故s（t）的最大值为2.5此时|af|=0.75，|be|=1.75答：当af=0.75m，be=1.75m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m2点评：解应用题常用的方法是依据题意建立等量关系，构造数学模型利用函数的性质进行求解，而有些应用题有明显的几何意义，可以考虑利用