浙江省绍兴市嵊州市高二数学下学期期末试卷A 理（含解析）.doc

2014-2015学年浙江省绍兴市嵊州市高二（下）期末数学试卷（理科）（a卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合m=1，2，3，n=xz|1x4，则（）amnbn=mcmn=2，3dmn=1，42若ab0，则（）aa2b2babb2cd23命题“xr，f（x）0”的否定为（）ax0r，f（x0）0bx0r，f（x0）0cx0r，f（x0）0dx0r，f（x0）04已知，为非零向量，且+=，=，则下列说法正确的个数为（）（1）若|=|，则=0；（2）若=0，则|=|；（3）若|=|，则=0；（4）若=0，则|=|a1b2c3d45对于函数y=f（x）图象上任意一点p（x1，y1），存在q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，则函数y=f（x）可以为（）ay=2x2by=log2xcy=x2+1dy=x+16设双曲线c：的离心率为e，右顶点为a，点q（3a，0），若c上存在一点p，使得appq，则（）a bcd7已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，若s6s7s5，则下列命题错误的是（）ad0bs110csn中的最大项为s11d|a6|a7|8定义mina，b=，若关于x的方程（mr）有三个不同的实根x1，x2，x3，则（）ax1+x2+x3有最小值，x1x2x3无最大值bx1+x2+x3无最小值，x1x2x3有最大值cx1+x2+x3有最小值，x1x2x3有最大值dx1+x2+x3无最小值，x1x2x3无最大值二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分）9已知函数f（x）=，f（a）=2，则f（f（1）=，a=10已知平面向量=（1，2），=（2，y），且，则|=，y=11已知实数x，y满足，则x2y的最小值为，该不等式组所围成的区域的面积为12若直线l：与圆c：x22ax+y2=0有交点，则直线l的斜率为，实数a的取值范围为13设o为原点，p是抛物线x2=4y上一点，f为焦点，|pf|=5，则|op|=14如图，四边形oabc，odef，oghi是三个全等的菱形，cod=fog=aoi=60，p为各菱形边上的动点，设，则x+y的最大值为15设数列an 中，an+1+（1）nan=2n1，则数列an前12项和等于三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16等差数列an中，a2=6，3a3=a1+a4+12（）求数列an的通项公式；（）设bn=3n1，求a1b1+a2b2+anbn17对于函数f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点设函数f（x）=ax2+bx+1（a0）（）当a=2，b=2时，求f（x）的不动点；（）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，若x1，x2为f（x）的不动点，且x11x2，求证：m18设抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，过f且斜率为k的直线l交抛物线c于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，且y1y2=4（）求抛物线c的标准方程；（）若k=1，o为坐标原点，求oab的面积19已知椭圆： =1（ab0）的右焦点为（2，0），且椭圆上一点m到其两焦点f1，f2的距离之和为4（）求椭圆的标准方程；（）设直线l：y=x+m（mr）与椭圆交于不同两点a，b，且|ab|=3若点p（x0，2）满足|=|，求x0的值20设数列an满足a1+2a2+22a3+2n1an=（）求an；（）设bn=，数列bn的前n项和为tn求证：tn2n2014-2015学年浙江省绍兴市嵊州市高二（下）期末数学试卷（理科）（a卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合m=1，2，3，n=xz|1x4，则（）amnbn=mcmn=2，3dmn=1，4【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】列举出n中的元素，求出m与n的交集即可做出判断【解答】解：m=1，2，3，n=xz|1x4=2，3，nm，mn=2，3，mn=1，2，3故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若ab0，则（）aa2b2babb2cd2【考点】不等式的基本性质【专题】不等式【分析】根据不等式的性质可以判断a，b，c均错误，根据基本不等式可以判断d正确【解答】解：ab0，则a2b2，abb2，2，故选：d【点评】本题考查了不等式的性质和基本不等式，属于基础题3命题“xr，f（x）0”的否定为（）ax0r，f（x0）0bx0r，f（x0）0cx0r，f（x0）0dx0r，f（x0）0【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“xr，f（x）0”的否定为：x0r，f（x0）0故选：b【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题4已知，为非零向量，且+=，=，则下列说法正确的个数为（）（1）若|=|，则=0；（2）若=0，则|=|；（3）若|=|，则=0；（4）若=0，则|=|a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算【专题】计算题；对应思想；平面向量及应用；简易逻辑【分析】利用已知条件判断以，为邻边的四边形的形状，然后判断选项的正误【解答】解：，为非零向量，且+=，=，（1）若|=|，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则=0；正确（2）若=0，可得：（+）（）=0，即，则|=|；正确（3）若|=|，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则=0；正确（4）若=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则|=|，正确故选：d【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，向量的几何意义，基本知识的考查5对于函数y=f（x）图象上任意一点p（x1，y1），存在q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，则函数y=f（x）可以为（）ay=2x2by=log2xcy=x2+1dy=x+1【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】已知条件转化为函数的图象上的任意一点与坐标圆的连线的存在令一点与原点的连线垂直判断函数的图象即可【解答】解：对于函数y=f（x）图象上任意一点p（x1，y1），存在q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，可得函数的图象上的任意一点与坐标原点的连线，存在另一点与原点的连线与其垂直对于b，p（x1，y1），为p（1，0）则不存在q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，b不正确；对于c，p（x1，y1），为p（0，1）则不存在q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，c不正确；对于d，p（x1，y1），为p（1，1）则不存在q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，d不正确；故选：a【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想与计算能力6设双曲线c：的离心率为e，右顶点为a，点q（3a，0），若c上存在一点p，使得appq，则（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】p（m，n），根据数量积为零算出（ma）（3am）n2=0，结合点p（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程（ma）（3am）b2（1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围【解答】解：设点p（m，n），可得=（ma，n），=（3am，n），appq，=（ma）（3am）n2=0（1）又p（m，n）在双曲线上，得n2=b2（1）（2）将（2）式代入（1）式，得（ma）（3am）b2（1）=0，化简整理，得m2+4am+c24a2=0，此方程的一根为m1=a，另一根为m2=点p是双曲线上异于右顶点a的一点，a，得4a22c2，即e22，由此可得双曲线的离心率e满足1e故选：a【点评】本题给出双曲线上存在一点p，到a（a，0）和q（3a，0）所张的角等于90，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题7已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，若s6s7s5，则下列命题错误的是（）ad0bs110csn中的最大项为s11d|a6|a7|【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】s6s7s5，利用前n项和公式可得：a70，a6+a70，可得a60a7，|a6|a7|d0s6最大s11=11a60即可判断出【解答】解：s6s7s5，7a1+5a1+，化为：a70，a6+a70，a60a7，|a6|a7|d0s6最大s11=11a60综上可得：a，b，d正确，只有c错误故选：c【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8定义mina，b=，若关于x的方程（mr）有三个不同的实根x1，x2，x3，则（）ax1+x2+x3有最小值，x1x2x3无最大值bx1+x2+x3无最小值，x1x2x3有最大值cx1+x2+x3有最小值，x1x2x3有最大值dx1+x2+x3无最小值，x1x2x3无最大值【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】先比较2与|x2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值，从而求出x1+x2+x3的取值范围和x1x2x3的最值【解答】解：令y=f（x）=min2，|x2|，由2|x2|可得x28x+40，解可得42x4+2，当42x4+2时，2|x2|，此时f（x）=|x2|；当x4+2或0x43时，2|x2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，f（42）=22，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0m22，不妨设0x1x22x3，则由2=m得x1=，由|x22|=2x2=m，得x2=2m，由|x32|=x32=m，得x3=m+2，x1+x2+x3=+2m+m+2=+4，当m=0时， +4=4，m=22时， +4=82，4x1+x2+x382即x1+x2+x3无最小值；x1x2x3=（2m）（m+2）=m2（4m2）（）2=1，当且仅当m=（0，22），则x1x2x3取得最大值1故选：b【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分）9已知函数f（x）=，f（a）=2，则f（f（1）=9，a=1【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数利用解方程解a，直接求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，f（a）=2，可得|a1|=2，解得a=1，a=3（舍去）f（f（1）=f（|2|）=f（2）=32=9故答案为：9；1【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力10已知平面向量=（1，2），=（2，y），且，则|=，y=1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】，可得=0，解得y再利用向量模的计算公式即可得出【解答】解：，=2+2y=0，解得y=1=故答案分别为：，1【点评】本题考查了向量的模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知实数x，y满足，则x2y的最小值为13，该不等式组所围成的区域的面积为30.25【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】先画出满足条件的平面区域，求出a、b、c的坐标，求出sabc即可，令t=x2y，则y=xt，通过平移显然直线过c（3，8）时，t最小，求出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：c（3，8），由，解得：b（3，3），由，解得：a（，），令t=x2y，则y=xt，显然直线过c（3，8）时，t最小，t的最小值为13，设a到直线bc的距离为d，则d=，sabc=11=，故答案为：13，30.25【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题12若直线l：与圆c：x22ax+y2=0有交点，则直线l的斜率为，实数a的取值范围为（，13，+）【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】直线l：xy+3=0，可化为y=x+，可得直线l的斜率；由直线与圆有交点，得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的不等式可得到a的取值范围【解答】解：直线l：xy+3=0，可化为y=x+，直线l的斜率为；圆c：x22ax+y2=0的圆心坐标为（a，0），半径为|a|直线l：xy+3=0与圆c：x22ax+y2=0有交点，圆心（a，0）到直线的距离dr，即|a|，解得：a1或a3故答案为：；（，13，+）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆有交点，得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键13设o为原点，p是抛物线x2=4y上一点，f为焦点，|pf|=5，则|op|=4【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|pf|=yp+1=5，求得p的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求【解答】解：抛物线x2=4y的焦点f（0，1），准线方程为y=1，|pf|=yp+1=5，解得yp=4，xp=4，则|op|=4故答案为：4【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，同时考查两点的距离公式的运用，属于基础题14如图，四边形oabc，odef，oghi是三个全等的菱形，cod=fog=aoi=60，p为各菱形边上的动点，设，则x+y的最大值为4【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】平面向量及应用【分析】由条件可以看出g，o，c三点共线，并且oe的连线垂直于gc，从而可以分别以oc，oe两直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，可以确定d，h的坐标：d（），h（），可设p（x，y）从而可根据条件，用x，y表示出x，y，并且可以得到x+y=，可设x+y=z，从而可以得到，该方程表示的直线的截距为，可以看出截距最大时，z最大，并且根据图形可以看出当直线过e点时截距最大，这样求出点e的坐标带入直线方程即可求出z，即求出x+y的最大值【解答】解：根据条件知，g，o，c三点共线，连接oe，则oegc；分别以oc，oe所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则：d（1，），h（3，）；设p（x，y），则：；设x+y=z，则：，表示在y轴上的截距；当截距最大时，z取到最大值；由图形可以看出当直线经过点e（）时截距最大；z=4；x+y的最大值为4故选：b【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用15设数列an 中，an+1+（1）nan=2n1，则数列an前12项和等于78【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意依次求出：a2a1=1，a3+a2=3，a12a11=21，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a12+a10=40，利用数列的结构特征，求出an的前12项和【解答】解：an+1+（1）nan=2n1，a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a8a7=13，a9+a8=15，a10a9=17，a11+a10=19，a12a11=21，从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1+a3=a5+a7=a9+a11=2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8，a6+a8=24，a12+a10=40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列以上式子相加可得，s12=a1+a2+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=32+8+24+40=78故答案为：78【点评】本题主要考查了利用列举法求数列的和（通项公式难求，项数较少），等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16等差数列an中，a2=6，3a3=a1+a4+12（）求数列an的通项公式；（）设bn=3n1，求a1b1+a2b2+anbn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（i）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）设an的公差为d，a2=6，3a3=a1+a4+12，解得d=3，a1=3 故an=3+3（n1）=3n（）anbn=3n3n1=n3n设tn=a1b1+a2b2+anbn，即，相减得2tn=3+32+3nn3n+1=n3n+1=tn=+【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17对于函数f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点设函数f（x）=ax2+bx+1（a0）（）当a=2，b=2时，求f（x）的不动点；（）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，若x1，x2为f（x）的不动点，且x11x2，求证：m【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】（）当a=2，b=2时，化简函数的解析式，利用定义求f（x）的不动点；（）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，得到关系式，通过x1，x2为f（x）的不动点，且x11x2，构造函数，利用新函数的对称轴的函数值证明m【解答】（本小题满分15分）解：（）依题意：f（x）=2x22x+1=x，即2x23x+1=0，（3分）解得或1，即f（x）的不动点为和1（7分）（）由f（x）表达式f（x）=ax2+bx+1（a0）函数的对称轴为：x=，函数f（x）的对称轴为直线x=m，得，令g（x）=f（x）x，g（x）=f（x）x=ax2+（b1）x+1，a0由x11x2得g（1）0，（11分）得，即证（15分）【点评】本题考查二次函数的性质，函数与方程的综合应用，考查计算能力18设抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，过f且斜率为k的直线l交抛物线c于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，且y1y2=4（）求抛物线c的标准方程；（）若k=1，o为坐标原点，求oab的面积【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设直线ab的方程为y=k（x），代入抛物线，消x，利用y1y2=4，求出p，即可求抛物线c的标准方程；（）soab=1|y1y2|，求oab的面积【解答】解：（）f（，0），设直线ab的方程为y=k（x），（2分）代入抛物线，消x，得：ky22pykp2=0，（4分）y1y2=p2=4，从而p=2，抛物线c的方程为y2=4x （6分）（）由已知，f（1，0），直线ab的方程为y=x1，代入抛物线，消x，得：y24y4=0，soab=1|y1y2|=2（15分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题19已知椭圆： =1（ab0）的右焦点为（2，0），且椭圆上一点m到其两焦点f