2013绵阳市中考数学试题及答案.pdf

四川省绵阳市四川省绵阳市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 3 分 共分 共 36 分 分 1 3 分 2013 绵阳 的相反数是 A B C D 考点 实数的性质 分析 由于互为相反数的两个数和为 0 由此即可求解 解答 解 的相反数为 故选 C 点评 此题主要考查了求无理数的相反数 无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同 无理数的相反 数是各地中考的重点 2 3 分 2013 绵阳 下列 数字 图形中 有且仅有一条对称轴的是 A B C D 考点 轴对称图形 分析 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形叫做轴对称图形 这条直 线叫做对称轴 找到各选项中的对称轴即可 解答 解 A 有一条对称轴 故本选项正确 B 没有对称轴 故本选项错误 C 有三条对称轴 故本选项错误 D 有两条对称轴 故本选项错误 故选 A 点评 本题考查了轴对称图形 解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义 属于基础题 3 3 分 2013 绵阳 2013 年 我国上海和安徽首先发现 H7N9 禽流感 H7N9 是一种新型禽流感 其 病毒颗粒呈多形性 其中球形病毒的最大直径为 0 00000012 米 这一直径用科学记数法表示为 A 1 2 10 9 米B 1 2 10 8 米C 12 10 8 米D 1 2 10 7 米 考点 科学记数法 表示较小的数 分析 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示 一般形式为 a 10 n 与较大数的科学记数法不同 的是其所使用的是负指数幂 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 解答 解 0 00000012 1 2 10 7 故选 D 点评 本题考查用科学记数法表示较小的数 一般形式为 a 10 n 其中 1 a 10 n 为由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4 3 分 2013 绵阳 设 分别表示三种不同的物体 现用天平秤两次 情况如图所示 那么 这三种物体按质量从大到小排列应为 PDF pdfFactory Pro A B C D 考点 不等式的性质 等式的性质 分析 设 的质量为 a b c 根据图形 可得 a c 2a a b 3b 由此可将质量从大到小排列 解答 解 设 的质量为 a b c 由图形可得 由 得 c a 由 得 a 2b 故可得 c a b 故选 C 点评 本题考查了不等式的性质及等式的性质 解答本题关键是根据图形列出不等式和等式 难度一般 5 3 分 2013 绵阳 把如图中的三棱柱展开 所得到的展开图是 A B C D 考点 几何体的展开图 分析 根据三棱柱的概念和定义以及展开图解题 解答 解 根据两个全等的三角形 在侧面三个长方形的两侧 这样的图形围成的是三棱柱 把图中的三棱柱展开 所得到的展开图是 B 故选 B 点评 此题主要考查了几何体的展开图 根据三棱柱三个侧面和上下两个底面组成 两个底面分别在侧面 的两侧进而得出是解题关键 6 3 分 2013 绵阳 下列说法正确的是 A 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 考点 等腰梯形的判定 平行四边形的判定 菱形的判定 矩形的判定 PDF pdfFactory Pro 分析 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 对角线相等的梯形是等腰梯形 对角线互相平分的四边形 是平行四边形 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 根据以上内容判断即可 解答 解 A 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 故本选项错误 B 对角线相等的梯形是等腰梯形 故本选项错误 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 故本选项错误 D 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 故本选项正确 故选 D 点评 本题考查了对菱形 矩形 平行四边形 等腰梯形的判定的应用 主要考查学生的理解能力和辨析 能力 7 3 分 2013 绵阳 如图 要拧开一个边长为 a 6cm 的正六边形螺帽 扳手张开的开口 b 至少为 A mmB 12mmC mmD mm 考点 正多边形和圆 分析 根据题意 即是求该正六边形的边心距的 2 倍 构造一个由半径 半边 边心距组成的直角三角形 且其半边所对的角是 30 度 再根据锐角三角函数的知识求解 解答 解 设正多边形的中心是 O 其一边是 AB AOB BOC 60 OA OB AB OC BC 四边形 ABCO 是菱形 AB 6cm AOB 60 cos BAC AM 6 3 OA OC 且 AOB BOC AM MC AC AC 2AM 6 cm 故选 C 点评 本题考查了正多边形和圆的知识 构造一个由半径 半边 边心距组成的直角三角形 熟练运用锐 角三角函数进行求解 8 3 分 2013 绵阳 朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果 如果每人 3 个还少 3 个 如果每人 2 个又多 2 个 请问共有多少个小朋友 PDF pdfFactory Pro A 4 个B 5 个C 10 个D 12 个 考点 一元一次方程的应用 分析 设有 x 个小朋友 根据苹果数量一定 可得出方程 解出即可 解答 解 设有 x 个小朋友 由题意得 3x 3 2x 2 解得 x 5 故选 B 点评 本题考查了一元一次方程的应用 解答本题的关键是根据苹果的分配情况得出方程 9 3 分 2013 绵阳 如图 在两建筑物之间有一旗杆 高 15 米 从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建 筑物的墙角 C 点 且俯角 为 60 又从 A 点测得 D 点的俯角 为 30 若旗杆底总 G 为 BC 的中点 则矮 建筑物的高 CD 为 A 20 米B 米C 米D 米 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 根据点 G 是 BC 中点 可判断 EG 是 ABC 的中位线 求出 AB 在 Rt ABC 中求出 BC 在 Rt AFD 中求出 DF 继而可求出 CD 的长度 解答 解 点 G 是 BC 中点 EG AB EG 是 ABC 的中位线 AB 2EG 30 米 在 Rt ABC 中 CAB 30 则 BC ABtan BAC 30 10米 如图 过点 D 作 DF AF 于点 F 在 Rt AFD 中 AF BC 10米 则 FD AF tan 10 10 米 综上可得 CD AB FD 30 10 20 米 故选 A 点评 本题考查了解直角三角形的应用 解答本题的关键是构造直角三角形 利用三角函数的知识求解相 关线段的长度 PDF pdfFactory Pro 10 3 分 2013 绵阳 如图 四边形 ABCD 是菱形 对角线 AC 8cm BD 6cm DH AB 于点 H 且 DH 与 AC 交于 G 则 GH A cm B cm C cm D cm 考点 菱形的性质 勾股定理 解直角三角形 分析 先求出菱形的边长 然后利用面积的两种表示方法求出 DH 在 Rt DHB 中求出 BH 然后得出 AH 利用 tan HAG 的值 可得出 GH 的值 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 对角线 AC 8cm BD 6cm AO 4cm BO 3cm 在 Rt AOB 中 AB 5cm BD AC AB DH DH cm 在 Rt DHB 中 BH cm 则 AH AB BH cm tan HAG GH AH cm 故选 B 点评 本题考查了菱形的性质 解直角三角形及三角函数值的知识 注意菱形的面积等于对角线乘积的一 半 也等于底乘高 11 3 分 2013 绵阳 服务他人 提升自我 七一学校积极开展志愿者服务活动 来自初三的 5 名同 学 3 男两女 成立了 交通秩序维护 小分队 若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护 则恰好 是一男一女的概率是 A B C D 考点 列表法与树状图法 专题 图表型 分析 画出树状图 然后根据概率公式列式计算即可得解 解答 解 根据题意画出树状图如下 PDF pdfFactory Pro 一共有 20 种情况 恰好是一男一女的有 12 种情况 所以 P 恰好是一男一女 故选 D 点评 本题考查了列表法与树状图法 用到的知识点为 概率 所求情况数与总情况数之比 12 3 分 2013 绵阳 把所有正奇数从小到大排列 并按如下规律分组 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 现用等式 AM i j 表示正奇数 M 是第 i 组第 j 个数 从 左往右数 如 A7 2 3 则 A2013 A 45 77 B 45 39 C 32 46 D 32 23 考点 规律型 数字的变化类 专题 规律型 分析 先计算出 2013 是第几个数 然后判断第 1007 个数在第几组 再判断是这一组的第几个数即可 解答 解 2013 是第 1007 个数 设 2013 在第 n 组 则 1 3 5 7 2n 1 1007 即 1007 解得 n 31 7 当 n 31 时 1 3 5 7 61 961 当 n 32 时 1 3 5 7 63 1024 故第 1007 个数在第 32 组 第 1024 个数为 2 1024 1 2047 第 32 组的第一个数为 2 962 1 1923 则 2013 是 1 46 个数 故 A2013 32 46 故选 C 点评 此题考查了数的规律变化 需要熟练掌握其中的方法与技巧 在规律不好发现的时候可以用试一试 的办法找其规律 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题个小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 分 13 4 分 2013 绵阳 因式分解 x2y4 x4y2 x2y2 y x y x 考点 提公因式法与公式法的综合运用 分析 首先提取公因式 x2y2 再利用平方差进行二次分解即可 解答 解 原式 x2y2 y2 x2 x2y2 y x y x 故答案为 x2y2 y x y x PDF pdfFactory Pro 点评 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解 一个多项式有公因式首先提取公因式 然后再用 其他方法进行因式分解 同时因式分解要彻底 直到不能分解为止 14 4 分 2013 绵阳 如图 AC BD 相交于 O AB DC AB BC D 40 ACB 35 则 AOD 75 考点 平行线的性质 等腰三角形的性质 分析 根据 AB BC 可得出 BAC ACB 35 根据 AB CD 可得 D ABD 继而利用三角形的 外角的知识可求出 AOD 的度数 解答 解 AB BC BAC ACB 35 AB CD D ABD 40 AOD ABD BAC 75 故答案为 75 点评 本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质 解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等 及 等腰三角形的性质 15 4 分 2013 绵阳 如图 把 QQ 笑脸放在直角坐标系中 已知左眼 A 的坐标是 2 3 嘴唇 C 点的坐标为 1 1 则将此 QQ 笑脸向右平移 3 个单位后 右眼 B 的坐标是 3 3 考点 坐标与图形变化 平移 分析 先确定右眼 B 的坐标 然后根据向右平移几个单位 这个点的横坐标加上几个单位 纵坐标不变 由此可得出答案 解答 解 左眼 A 的坐标是 2 3 嘴唇 C 点的坐标为 1 1 右眼的坐标为 0 3 向右平移 3 个单位后右眼 B 的坐标为 3 3 故答案为 3 3 点评 本题考查了平移变换的知识 注意左右平移纵坐标不变 上下平移横坐标不变 16 4 分 2013 绵阳 对正方形 ABCD 进行分割 如图 1 其中 E F 分别是 BC CD 的中点 M N G 分别是 OB OD EF 的中点 沿分化线可以剪出一副 七巧板 用这些部件可以拼出很多图案 图 2 就是用其中 6 块拼出的 飞机 若 GOM 的面积为 1 则 飞机 的面积为14 PDF pdfFactory Pro 考点 七巧板 分析 分别得到 飞机 中的每个板的面积 再相加即可得到 飞机 的面积 解答 解 由 飞机 的图形可知 飞机 由 2 个面积为 1 的三角形 2 个面积为 4 的三角形 1 个面积为 2 的平行四边形 1 个面积为 2 的正方形组成 故 飞机 的面积为 1 2 4 2 2 2 14 故答案为 14 点评 本题考查了七巧板 七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的 17 4 分 2013 绵阳 已知整数 k 5 若 ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2 3x 8 0 则 ABC 的周长是6 或 12 或 10 考点 根的判别式 解一元二次方程 因式分解法 三角形三边关系 专题 计算题 分析 根据题意得 k 0 且 3 2 4 8 0 而整数 k 5 则 k 4 方程变形为 x2 6x 8 0 解得 x1 2 x2 4 由于 ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2 6x 8 0 所以 ABC 的边长可以为 2 2 2 或 4 4 4 或 4 4 2 然后分别计算三角形周长 解答 解 根据题意得 k 0 且 3 2 4 8 0 解得 k 整数 k 5 k 4 方程变形为 x2 6x 8 0 解得 x1 2 x2 4 ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2 6x 8 0 ABC 的边长为 2 2 2 或 4 4 4 或 4 4 2 ABC 的周长为 6 或 12 或 10 故答案为 6 或 12 或 10 点评 本题考查了一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 b2 4ac 当 0 方程有两个不相 等的实数根 当 0 方程有两个相等的实数根 当 0 方程没有实数根 也考查了因式分解 法解一元二次方程以及三角形三边的关系 18 4 分 2013 绵阳 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 给出下列结论 2a b 0 b a c 若 1 m n 1 则 m n 3 a c 2 b 其中正确的结论是 写出你认为正确的所有结论序号 PDF pdfFactory Pro 考点 二次函数图象与系数的关系 分析 分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与 y 轴交点得出 a b c 的符号 再利用特殊值 法分析得出各选项 解答 解 抛物线开口向下 a 0 2a 0 对称轴 x 1 b 2a 2a b 0 故选项 正确 b 2a b 2a 0 a 令抛物线解析式为 y x2 bx 此时 a c 欲使抛物线与 x 轴交点的横坐标分别为 和 2 则 解得 b 抛物线 y x2 x 符合 开口向下 与 x 轴的一个交点的横坐标在 0 与 1 之间 对称轴在直线 x 1 右侧 的特点 而此时 a c 其实 a c a c a c 都有可能 故 选项错误 1 m n 1 2 m n 2 抛物线对称轴为 x 1 2 m n 故选项 正确 当 x 1 时 a b c 0 2a b 0 3a 2b c 0 3a c 2b 3a c 2b a 0 b 0 c 0 3 a c 3a c 2b 2 b 故 选项正确 故答案为 点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系 利用特殊值法求出 m n 的取值范围是解题关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 7 个小题 共个小题 共 90 分 分 19 16 分 2013 绵阳 1 计算 2 解方程 PDF pdfFactory Pro 考点 解分式方程 负整数指数幂 二次根式的混合运算 特殊角的三角函数值 分析 1 原式第一项利用负指数幂法则计算 第二项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化 简计算即可得到结果 2 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的值 经检验即可得到分式方程 的解 解答 解 1 原式 2 1 1 2 1 2 去分母得 x x 2 x 1 x 2 3 去括号得 x2 2x x2 x 2 3 解得 x 1 经检验 x 1 是增根 原分式方程无解 点评 此题考查了解分式方程 解分式方程的基本思想是 转化思想 把分式方程转化为整式方程求解 解分式方程一定注意要验根 20 12 分 2013 绵阳 为了从甲 乙两名选手中选拔一个参加射击比赛 现对他们进行一次测验 两 个人在相同条件下各射靶 10 次 为了比较两人的成绩 制作了如下统计图表 甲 乙射击成绩统计表 平均数中位数方差命中 10 环的次数 甲7740 乙77 55 41 甲 乙射击成绩折线图 1 请补全上述图表 请直接在表中填空和补全折线图 2 如果规定成绩较稳定者胜出 你认为谁应胜出 说明你的理由 3 如果希望 2 中的另一名选手胜出 根据图表中的信息 应该制定怎样的评判规则 为什么 考点 折线统计图 统计表 算术平均数 中位数 方差 专题 计算题 分析 1 根据折线统计图列举出乙的成绩 计算出甲的中位数 方差 以及乙平均数 中位数及方差 PDF pdfFactory Pro 补全即可 2 计算出甲乙两人的方差 比较大小即可做出判断 3 希望甲胜出 规则改为 9 环与 10 环的总数大的胜出 因为甲 9 环与 10 环的总数为 4 环 解答 解 1 根据折线统计图得 乙的射击成绩为 2 4 6 8 7 7 8 9 9 10 则平均数为 7 环 中位数为 7 5 环 方差为 2 7 2 4 7 2 6 7 2 8 7 2 7 7 2 7 7 2 8 7 2 9 7 2 9 7 2 10 7 2 5 4 甲的射击成绩为 9 6 7 6 2 7 7 8 9 平均数为 7 环 则甲第八环成绩为 70 9 6 7 6 2 7 7 8 9 9 环 所以甲的 10 次成绩为 9 6 7 6 2 7 7 9 8 9 中位数为 7 环 方差为 9 7 2 6 7 2 7 7 2 6 7 2 2 7 2 7 7 2 7 7 2 9 7 2 8 7 2 9 7 2 4 补全表格如下 甲 乙射击成绩统计表 平均数中位数方差命中 10 环的次数 甲7740 乙77 55 41 甲 乙射击成绩折线图 2 由甲的方差小于乙的方差 甲比较稳定 故甲胜出 3 如果希望乙胜出 应该制定的评判规则为 平均成绩高的胜出 如果平均成绩相同 则随着 比赛的进行 发挥越来越好者或命中满环 10 环 次数多者胜出 因为甲乙的平均成绩相同 乙 PDF pdfFactory Pro 只有第 5 次射击比第四次射击少命中 1 环 且命中 1 次 10 环 而甲第 2 次比第 1 次 第 4 次比第 3 次 第 5 次比第 4 次命中环数都低 且命中 10 环的次数为 0 次 即随着比赛的进行 乙的射击 成绩越来越好 点评 此题考查了折线统计图 中位数 方差 平均数 以及统计表 弄清题意是解本题的关键 21 12 分 2013 绵阳 如图 AB 是 O 的直径 C 是半圆 O 上的一点 AC 平分 DAB AD CD 垂足为 D AD 交 O 于 E 连接 CE 1 判断 CD 与 O 的位置关系 并证明你的结论 2 若 E 是的中点 O 的半径为 1 求图中阴影部分的面积 考点 切线的判定 扇形面积的计算 专题 计算题 分析 1 CD 与圆 O 相切 理由为 由 AC 为角平分线得到一对角相等 再由 OA OC 利用等边对等 角得到一对角相等 等量代换得到一对内错角相等 利用内错角相等两直线平行得到 OC 与 AD 平 行 根据 AD 垂直于 CD 得到 OC 垂直于 CD 即可得证 2 根据 E 为弧 AC 的中点 得到弧 AE 弧 EC 利用等弧对等弦得到 AE EC 可得出弓形 AE 与弓形 EC 面积相等 阴影部分面积拼接为直角三角形 DEC 的面积 求出即可 解答 解 1 CD 与圆 O 相切 理由如下 AC 为 DAB 的平分线 DAC BAC OA OC OAC OCA DAC OCA OC AD AD CD OC CD 则 CD 与圆 O 相切 2 连接 EB 由 AB 为直径 得到 AEB 90 EB CD F 为 EB 的中点 OF 为 ABE 的中位线 OF AE 即 CF DE 在 Rt OBF 中 根据勾股定理得 EF FB DC 则 S阴影 S DEC PDF pdfFactory Pro 点评 此题考查了切线的判定 以及平行线的判定与性质 熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键 22 12 分 2013 绵阳 如图 已知矩形 OABC 中 OA 2 AB 4 双曲线 k 0 与矩形两边 AB BC 分别交于 E F 1 若 E 是 AB 的中点 求 F 点的坐标 2 若将 BEF 沿直线 EF 对折 B 点落在 x 轴上的 D 点 作 EG OC 垂足为 G 证明 EGD DCF 并求 k 的值 考点 反比例函数综合题 专题 综合题 分析 1 根据点 E 是 AB 中点 可求出点 E 的坐标 将点 A 的坐标代入反比例函数解析式可求出 k 的 值 再由点 F 的横坐标为 4 可求出点 F 的纵坐标 继而得出答案 2 证明 GED CDF 然后利用两角法可判断 EGD DCF 设点 E 坐标为 2 点 E 坐标为 4 即可得 CF BF DF 2 在 Rt CDF 中表示出 CD 利用对应边成比例可 求出 k 的值 解答 解 1 点 E 是 AB 的中点 OA 2 AB 4 点 E 的坐标为 2 2 将点 E 的坐标代入 y 可得 k 4 即反比例函数解析式为 y 点 F 的横坐标为 4 点 F 的纵坐标 1 故点 F 的坐标为 4 1 PDF pdfFactory Pro 2 由折叠的性质可得 BE DE BF DF B EDF 90 CDF EDG 90 GED EDG 90 CDF GED 又 EGD DCF 90 EGD DCF 结合图形可设点 E 坐标为 2 点 F 坐标为 4 则 CF BF DF 2 ED BE AB AE 4 在 Rt CDF 中 CD 即 1 解得 k 3 点评 本题考查了反比例函数的综合 解答本题的关键是利用点 E 的纵坐标 点 F 的横坐标 用含 k 的式 子表示出其他各点的坐标 注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质 难度较大 23 12 分 2013 绵阳 低碳生活 绿色出行 自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具 某运动商城 的自行车销售量自 2013 年起逐月增加 据统计 该商城 1 月份销售自行车 64 辆 3 月份销售了 100 辆 1 若该商城前 4 个月的自行车销量的月平均增长率相同 问该商城 4 月份卖出多少辆自行车 2 考虑到自行车需求不断增加 该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车 已知 A 型车的 进价为 500 元 辆 售价为 700 元 辆 B 型车进价为 1000 元 辆 售价为 1300 元 辆 根据销售经验 A 型 车不少于 B 型车的 2 倍 但不超过 B 型车的 2 8 倍 假设所进车辆全部售完 为使利润最大 该商城应如 何进货 考点 一元二次方程的应用 一次函数的应用 分析 1 首先根据 1 月份和 3 月份的销售量求得月平均增长率 然后求得 4 月份的销量即可 2 设 A 型车 x 辆 根据 A 型车不少于 B 型车的 2 倍 但不超过 B 型车的 2 8 倍 列出不等式组 求出 x 的取值范围 然后求出利润 W 的表达式 根据一次函数的性质求解即可 解答 解 1 设平均增长率为 x 根据题意得 64 1 x 2 100 解得 x 0 25 25 或 x 2 25 四月份的销量为 100 1 25 125 辆 答 四月份的销量为 125 辆 2 设购进 A 型车 x 辆 则购进 B 型车辆 根据题意得 2 x 2 8 解得 30 x 35 PDF pdfFactory Pro 利润 W 700 500 x 1300 1000 900 50 x 50 0 W 随着 x 的增大而增大 当 x 35 时 不是整数 故不符合题意 x 34 此时 13 答 为使利润最大 该商城应购进 34 辆 A 型车和 13 辆 B 型车 点评 本题考查了一元二次方程 一元一次不等式组和一次函数的应用 解题关键是根据题意列出方程或 不等式 这也是本题的难点 24 12 分 2013 绵阳 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象的顶点 C 的坐标为 0 2 交 x 轴于 A B 两点 其中 A 1 0 直线 l x m m 1 与 x 轴交于 D 1 求二次函数的解析式和 B 的坐标 2 在直线 l 上找点 P P 在第一象限 使得以 P D B 为顶点的三角形与以 B C O 为顶点的三角形 相似 求点 P 的坐标 用含 m 的代数式表示 3 在 2 成立的条件下 在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰 直角三角形 如果存在 请求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 由于抛物线的顶点 C 的坐标为 0 2 所以抛物线的对称轴为 y 轴 且与 y 轴交点的纵坐 标为 2 即 b 0 c 2 再将 A 1 0 代入 y ax2 bx c 求出 a 的值 由此确定该抛物线的 解析式 然后令 y 0 解一元二次方程求出 x 的值即可得到点 B 的坐标 2 设 P 点坐标为 m n 由于 PDB BOC 90 则 D 与 O 对应 所以当以 P D B 为顶 点的三角形与以 B C O 为顶点的三角形相似时 分两种情况讨论 OCB DBP OCB DPB 根据相似三角形对应边成比例 得出 n 与 m 的关系式 进而可得到点 P 的坐 标 3 假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q x 2x2 2 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直 角三角形 过点 Q 作 QE l 于点 E 利用 AAS 易证 DBP EPQ 得出 BD PE DP EQ 再分 两种情况讨论 P m P m 2 m 1 都根据 BD PE DP EQ 列出方程组 求出 x 与 m 的值 再结合条件 x 0 且 m 1 即可判断不存在第一象限内的点 Q 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形 解答 解 1 抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为 C 0 2 PDF pdfFactory Pro b 0 c 2 y ax2 bx c 过点 A 1 0 0 a 0 2 a 2 抛物线的解析式为 y 2x2 2 当 y 0 时 2x2 2 0 解得 x 1 点 B 的坐标为 1 0 2 设 P m n PDB BOC 90 当以 P D B 为顶点的三角形与以 B C O 为顶点的三角形相似时 分两种情况 若 OCB DBP 则 即 解得 n 由对称性可知 在 x 轴上方和下方均有一点满足条件 此时点 P 坐标为 m 或 m 若 OCB DPB 则 即 解得 n 2m 2 由对称性可知 在 x 轴上方和下方均有一点满足条件 此时点 P 坐标为 m 2m 2 或 m 2 2m 综上所述 满足条件的点 P 的坐标为 m m m 2m 2 或 m 2 2m 3 假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q x 2x2 2 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直 角三角形 如图 过点 Q 作 QE l 于点 E DBP BPD 90 QPE BPD 90 DBP QPE 在 DBP 与 EPQ 中 DBP EPQ BD PE DP EQ 分两种情况 当 P m 时 B 1 0 D m 0 E m 2x2 2 PDF pdfFactory Pro 解得 均不合题意舍去 当 P m 2 m 1 时 B 1 0 D m 0 E m 2x2 2 解得 均不合题意舍去 综上所述 不存在满足条件的点 Q 点评 此题是二次函数的综合题 其中涉及到二次函数解析式的确定 相似三角形 全等三角形的判定和 性质 等腰直角三角形的性质等知识 在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下 一定要注 意分类讨论 以免漏解 25 14 分 2013 绵阳 我们知道 三角形的三条中线一定会交于一点 这一点就叫做三角形的重心 重心有很多美妙的性