湖北省武汉市吴家山中学高三数学 常用逻辑用语误区辩析复习资料 文.doc

例析常用逻辑用语中的思维误区常用逻辑用语一章，概念较多，抽象性强，对于初学者，困难较大.在教学过程中，笔者发现，有些学生由于受到某些因素的影响，往往望文生义，想当然地去解决问题，导致频繁出错.为了澄清误解，纠正错误，本文就一些常见的思维误区进行归类剖析，并以示错的方式呈现出来，希望对大家的学习有所启发.误区之一、对命题概念理解不透、把握不准例1判断语句“对于(x1)20，有2x10”是不是命题.错解 不是命题.思维误区 上述解法错误的原因是没能准确理解命题的概念，误认为只有判断语句(陈述句)才能表示命题.事实上，只要是能够判断真假的语句都是命题.正解 是命题.因为(x1)20，即x1时，2x10不成立，所以该命题为假命题.点拨 判断一个语句是不是命题，关键在于是否能判断真假.何为“可以判断真假”？即可以下肯定的判断或否定的判断.另外，从形式上看，命题不只有两种规范形式：“若p，则q”和“如果p，那么q”，命题也可写成“只要p，就有q”的形式（教材p3注释）.因此，将题中的语句改写成“若(x1)20，则2x10”或“只要(x1)20，就有2x10”，是否为命题就一目了然了.例2 已知命题p：0，则p对应的x的集合为()ax|1x2bx|1x2 cx|2x1 dx|2x1错解p的否定p为0，即x2x20，解得1x0得p：x2或x1，所以p对应的x值的取值范围是x|1x2，故选b.点拨 由真值表知，求否定等价于求补集，即p与p的并集应是全集. 解决此类问题时，不宜直接通过式子的变形或运算得出命题p，而是先由原命题为真得出参数的取值范围，再由p与p的并集是全集得出p为真时参数的取值范围误区之二 对关键词的否定形式理解失误例3 命题“a、b都是零”的否定是 错解 其否定是：a、b都不是零思维误区 对关键词“都是”的否定失误，认为“都是”的否定为“都不是”正解 其否定是： “a、b不都是零”或“a、b中至少有一个不是零” 点拨 要把握好命题的否定和正确写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定如“一定”的否定是“不一定”， “任意的”的否定是“某个”， “所有的”的否定是“某些”， “至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，等等 误区之三、一般命题与全称、特称命题区分不清 例4 已知命题“，若，则”，则它的逆否命题是（ ）a，若，则 b，若，则 c，若，则 d，若，则错解 选d.思维误区 上述解答误解了命题的构成形式，以为原命题是全称命题，“，”是全称量词，从而造成失误.正解 选a.点拨 构造其它形式的命题时，先要弄清命题的大前提、条件和结论，最好将命题改写成规范格式“如果，那么”或“若，则”的形式，然后依据定义进行构造即可.此例中，“，”是大前提，而不是全称量词.误区之四、混淆逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”的含义例5 命题p：方程的根是1.命题q：方程的根是3.则命题“方程的根是1或3”是 命题（填“真”或“假”） .错解 因为命题p与命题q都是假命题，而命题“方程的根是1或3”为形式的命题，故由真值表知其为假命题，填“假” .思维误区 上述解答混淆了逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”的涵义，命题“方程的根是1或3”中的“或”不是逻辑联结词，而是“和”的意思.正解 填“真”.点拨 要正确理解逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”的涵义：一方面，作为逻辑联结词的“或”，用在数学命题上有三层涵义，例如：或就包含了“但，但，且”三种情形；而日常生活中的“或”相当于“和”，具有二者选其一的涵义.另一方面，作为逻辑联结词“且”与“或”用来联结两个命题或语句，而作为连词的“且”与“或”用来联结两个对象. 误区之五、忽视对逻辑联结词“或”与“且” 的否定例6 写出命题：“若，则，且”的否命题.错解 否命题为：“若，则，且” .思维误区 上解法对结论进行否定时，忽视了对关键词“且”的否定，从而导致失误.正解 否命题为：“若，则，或” .点拨 在对含有逻辑联结词“或”与“且”的命题进行否定时，一定要注意：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”，也即它们是互为否定的. 误区之六 充分、必要条件关系颠倒，分不清条件、结论的“顺序关系”例7 已知p是r的充要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件错解 选c.思维误区 上解答误解了“必要条件”的概念，未理清条件、结论的“顺序关系”.事实上，“必要条件”是由“结论条件”，但条件却不一定能推出结论.正解 由题意知prsq，但s成立不一定能推出r成立，所以有，但q成立不一定能推出p成立，所以选a.点拨 （1）要正确理解充要条件的概念，特别是“充要条件”、“必要条件”的概念.（2）判断充要条件的方法主要有定义法，集合法，命题法三种.在进行推理时，要注意以下二点：一要弄清先后顺序，“a是b的充分不必要条件”指的是“但”，而“a的充分不必要条件是b”则是指“但”；二要注重反例的应用，当正面判断命题的正确与否较为困难时，则可通过“举反例说明该命题是错误的”来判断.例8 使不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件是()ax0 bx2 cx1,3,5 dx或x3错解b或d思维误区分不清条件和结论，即分不清是选项推出不等式还是不等式成立推出选项正解依题意所选选项能使不等式2x25x30成立，但当不等式2x25x30成立时，却不一定能推出所选选项由2x25x30的得x3或x，所以应选c.点拨 充分、必要条件颠倒也是常见的导致错误的原因之一当判断p与q之间的关系时，要注意方向性，理清推理顺序，然后根据要求作答另外，解决此类问题时，也要注意转化.根据命题之间的关系，若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；同理，若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件；若是的充要条件，则是的充要条件.误区之七、 忽视原命题中的隐含条件例8 命题：若，则，则其逆否命题是 .错解 逆否命题为：若，则.思维误区 上解答看似没有问题，但仔细推敲，就会发现漏洞：令，则有，但却不成立，因为复数与实数0不能比较大小.这就出现了“原命题为真，其逆否命题为假”的怪现象.究其原因，问题出现在原命题的“隐含条件”（大前提）上.事实上，“”本身隐含了“”这个“大前提”，但在上解法中却没有体现这个大前提，因此，上述逆否命题不是原命题的逆否命题.正解 原命题即为：当时，若，则.其逆否命题为：当时，若，则.点拨 对于某些命题，要改写为其它形式的命题，最好利用其逆否命题来判别一下是否等价，若是，则可继续改写；若否，则要进一步明确题中的隐含条件（或大前提），将原命题补充完整后再继续改写.误区之八 忽视对“量词”的否定例9 已知命题：对任意实数，方程必有实数根，则为 .错解 为：对任意实数，方程没有实数根.思维误区 令，则方程没有实数根，故命题为假命题；令，则方程有实根，故命题也为假命题.这与“命题与必有一真一假”的结论相矛盾.失误原因是忽视了对全称