湖北省武汉市部分重点中学高一数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷 （理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的）1设a，br，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（）a ba0b a3+b30c a2b20d b+a02若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）a 若ab，则ac2bc2b 若ab0，则a2abb2c 若ab，则d 若ab0，则3规定记号“”表示一种运算，定义ab=+a+b（a，b为正实数），若1k23，则k的取值范围为（）a 1k1b 0k1c 1k0d 0k24不等式ax2（a+2）x+20（a0）的解集为（）a b c d 5一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形abo，若ob=1，那么原abo的面积是（）a b c d 26如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：bm与ed平行cn与be是异面直线cn与bm成60角dm与bn是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）a b c d 7如图，取一个底面半径和高都为r的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为r的半球放在同一水平面上用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为s圆和s圆环，那么（）a s圆s圆环b s圆=s圆环c s圆s圆环d 不确定8已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）a 4cm2b 12cm2c 8+4cm2d 4+4+2cm29已知x，则函数y=4x+取最小值为（）a 3b 2c 5d 710若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线a b c d 11如图所示，正方体abcdabcd的棱长为1，e，f分别是棱aa，cc的中点，过直线e，f的平面分别与棱bb、dd交于m，n，设bm=x，x0，1，给出以下四个命题：平面menf平面bddb；当且仅当x=时，四边形menf的面积最小；四边形menf周长l=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥cmenf的体积v=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）a b c d 12设函数f（x）是定义在（，+）上的增函数，实数a使得f（1axx2）f（2a）对于任意x0，1都成立，则实数a的取值范围是（）a （，1）b 2，0c （22，2+2）d 0，1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13已知四面体oabc各棱长为1，d是棱oa的中点，则异面直线bd与ac所成角的余弦值是14若正实数a使得不等式|2x1|+|3x2|a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是15长方体abcda1b1c1d1中，已知ab=ad=2，aa1=3，棱ad在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是16若x0，y0，且+=2，则6x+5y的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知a=x|x2+3x20，b=x|x2（a+1）x+a0（）求b；（）若ab时，求实数a的取值范围18如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球a和球b），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球b（）求球a的体积；（）求圆柱的侧面积与球b的表面积之比19如图，边长为4的正方形abcd所在平面与正三角形pad所在平面互相垂直，m，q分别为pc，ad的中点，（1）求四棱锥pabcd的体积；（2）求证：pa平面mbd；（3）试问：在线段ab上是否存在一点n，使得平面pcn平面pqb？若存在，试指出点n的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由20如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx（1+k2）x2（k0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由21如图所示，在多面体a1b1d1abcd，四边形aa1b1b，add1a1，abcd均为正方形，e为b1d1的中点，过a1，d，e的平面交cd1于f（）证明：efb1c；（）求二面角ea1db1的正切值；（）求直线a1c与平面b1cd1所成角的余弦值22设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a0）有两个实根x1，x2（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x11，且x21；（3）如果，试求a的最大值湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的）1设a，br，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（）a ba0b a3+b30c a2b20d b+a0考点：不等关系与不等式专题：压轴题分析：由题意可以令a=1，b=0分别代入a，b，c，d四个选项进行一一排除解答：解：利用赋值法：令a=1，b=0ba=10，故a错误；a3+b3=10，故b错误；a2b2=10，故c错误；排除a，b，c，选d点评：此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题2若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）a 若ab，则ac2bc2b 若ab0，则a2abb2c 若ab，则d 若ab0，则考点：不等式的基本性质专题：不等式的解法及应用分析：ac=0时不成立；b利用不等式的基本性质由ab0，可得a2abb2；c取a=1，b=2时，即可判断出；d由ab0，可得解答：解：ac=0时不成立；bab0，a2abb2，正确；c取a=1，b=2时，=1，=，则不成立；d若ab0，则，因此不正确故选：b点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题3规定记号“”表示一种运算，定义ab=+a+b（a，b为正实数），若1k23，则k的取值范围为（）a 1k1b 0k1c 1k0d 0k2考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：由于定义ab=+a+b（a，b为正实数），因此1k23化为3，（|k|+2）（|k|1）0，解出即可解答：解：定义ab=+a+b（a，b为正实数），1k23，3，化为（|k|+2）（|k|1）0，|k|1，1k1故选：a点评：本题考查了“新定义”、一元二次不等式的解法，属于基础题4不等式ax2（a+2）x+20（a0）的解集为（）a b c d 考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：根据a0，把不等式化为（x）（x1）0，求出解集即可解答：解：不等式ax2（a+2）x+20可化为（ax2）（x1）0，a0，原不等式可化为（x）（x1）0，解得x1，原不等式的解集为，1故选：a点评：吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目5一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形abo，若ob=1，那么原abo的面积是（）a b c d 2考点：斜二测法画直观图专题：计算题；作图题分析：可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积解答：解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原abo的面积是故选c点评：本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力6如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：bm与ed平行cn与be是异面直线cn与bm成60角dm与bn是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）a b c d 考点：空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：根据恢复的正方体可以判断出答案解答：解：根据展开图，画出立体图形，bm与ed垂直，不平行，cn与be是平行直线，cn与bm成60，dm与bn是异面直线，故正确故选：c点评：本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题7如图，取一个底面半径和高都为r的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为r的半球放在同一水平面上用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为s圆和s圆环，那么（）a s圆s圆环b s圆=s圆环c s圆s圆环d 不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：根据图形得出，s截面圆=（r2d2），r=d，s圆环=（r2d2），即可判断解答：解：根据题意：半球的截面圆：r=，s截面圆=（r2d2），取一个底面半径和高都为r的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，r=d，s圆环=（r2d2），根据得出：s截面圆=s圆环，故选：b点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题8已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）a 4cm2b 12cm2c 8+4cm2d 4+4+2cm2考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中pa底面abcd，pa=ab=ad=2cm，bc=4cm，底面abcd是以ab为直角角的直角梯形，故spab=spad=22=2cm2，pb=pd=cd=2cm，ac=2cm，pc=cm，故pbbc，spbc=4=4cm2，等腰pcd底边pc上的高为：=cm，故spcd=2cm2，故棱锥的侧面积s=22+4+2=4+4+2cm2，故选：d点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9已知x，则函数y=4x+取最小值为（）a 3b 2c 5d 7考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解：x，4x50则函数y=4x+=4x5+5+5=7，当且仅当x=时取等号函数y=4x+取最小值为7故选：d点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题10若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线a b c d 考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；推理和证明分析：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答解答：解：对于，若直线m，如果，互相垂直，则在平面内，存在与直线m平行的直线故错误；对于，若直线m，则直线m垂直于平面内的所有直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直故正确；对于，若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线故错误；对于，若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线故正确；故选：c点评：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑11如图所示，正方体abcdabcd的棱长为1，e，f分别是棱aa，cc的中点，过直线e，f的平面分别与棱bb、dd交于m，n，设bm=x，x0，1，给出以下四个命题：平面menf平面bddb；当且仅当x=时，四边形menf的面积最小；四边形menf周长l=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥cmenf的体积v=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）a b c d 考点：命题的真假判断与应用专题：压轴题；空间位置关系与距离分析：利用面面垂直的判定定理去证明ef平面bddb四边形menf的对角线ef是固定的，所以要使面积最小，则只需mn的长度最小即可判断周长的变化情况求出四棱锥的体积，进行判断解答：解：连结bd，bd，则由正方体的性质可知，ef平面bddb，所以平面menf平面bddb，所以正确连结mn，因为ef平面bddb，所以efmn，四边形menf的对角线ef是固定的，所以要使面积最小，则只需mn的长度最小即可，此时当m为棱的中点时，即x=时，此时mn长度最小，对应四边形menf的面积最小所以正确因为efmn，所以四边形menf是菱形当x0，时，em的长度由大变小当x，1时，em的长度由小变大所以函数l=f（x）不单调所以错误连结ce，cm，cn，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以cef为底，以m，n分别为顶点的两个小棱锥因为三角形cef的面积是个常数m，n到平面cef的距离是个常数，所以四棱锥cmenf的体积v=h（x）为常函数，所以正确所以四个命题中假命题所以选c点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高12设函数f（x）是定义在（，+）上的增函数，实数a使得f（1axx2）f（2a）对于任意x0，1都成立，则实数a的取值范围是（）a （，1）b 2，0c （22，2+2）d 0，1考点：函数恒成立问题专题：函数的性质及应用分析：解法一：由条件得1axx22a对于x0，1恒成立，令g（x）=x2+axa+1，只需g（x）在0，1上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1axx22a，得（1x）ax2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围解答：解：法一：由条件得1axx22a对于x0，1恒成立令g（x）=x2+axa+1，只需g（x）在0，1上的最小值大于0即可g（x）=x2+axa+1=（x+）2a+1当0，即a0时，g（x）min=g（0）=1a0，a1，故0a1；当01，即2a0时，g（x）min=g（）=a+10，22a2+2，故2a0；当1，即a2时，g（x）min=g（1）=20，满足，故a2综上a1法二：由1axx22a得（1x）ax2+1，x0，1，1x0，当x=1时，02恒成立，此时ar；当x0，1）时，a恒成立求当x0，1）时，函数y=的最小值令t=1x（t（0，1），则y=t+2，而函数y=t+2是（0，1上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，ymin=1故要使不等式在0，1）上恒成立，只需a1，由得a1故选：a点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键注意要利用分类讨论的数学思想二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13已知四面体oabc各棱长为1，d是棱oa的中点，则异面直线bd与ac所成角的余弦值是考点：异面直线及其所成的角专题：空间角分析：先画出四面体oabc，取棱oc中点e，连接de，be，可判断bde便是异面直线bd与ac所成角，并容易求出，这样便可得到cosbde=解答：解：如图，取oc中点e，连接de，be；d是棱oa的中点；deac；bde或其补角为直线bd，ac所成角；则在bde中，bd=be=，de=；bde为异面直线bd，ac所成角，其余弦值为故答案为：点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系14若正实数a使得不等式|2x1|+|3x2|a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是0a考点：绝对值不等式的解法专题：不等式分析：首先分析题目已知不等式|3x2|+|2x1|a2恒成立，求a的取值范围，故可以考虑设y=|2x1|+|3x2|，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数y=|2x1|+|3x2|的最小值，从而求出答案解答：解：设y=|2x1|+|3x2|，当x时，y=2x1（3x2）=x+1当x时，y=2x1+3x2=5x3当x时，y=（2x1）（3x2）=5x+3，故y=|2x1|+|3x2|有最小值不等式|2x1|+|3x2|a2恒成立，即a2必小于等于y=|2x1|+|3x2|的最小值，由a2，解得：a，a是正实数，故答案为：点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到分类讨论去绝对值的思想，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目15长方体abcda1b1c1d1中，已知ab=ad=2，aa1=3，棱ad在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是4s2考点：平行投影及平行投影作图法专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，四边形abcd和add1a1的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成分别求出最小与最大，即可求出长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围解答：解：由题意，四边形abcd和add1a1的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成显然，smin=4若记平面abcd与平面所成角为，则平面add1a1与平面所成角为它们在平面内的射影分别为4cos和6cos（）=6sin，所以，s=4cos+6sin=2sin（+）（其中，tan=），因此，smax=2，当且仅当=时取到因此，4s2故答案为：4s2点评：本题考查长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围，考查三角函数知识，属于基础题16若x0，y0，且+=2，则6x+5y的最小值为考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解：6x+5y=，当且仅当，a=时取等号故答案为：点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知a=x|x2+3x20，b=x|x2（a+1）x+a0（）求b；（）若ab时，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用专题：集合分析：（）b是不等式的解集，解一元二次不等式可得b，由不等式的解法，容易解得b；（）通过解不等式求得集合a，结合限制性条件ab来求a的取值范围解答：解：（）由x2（a+1）x+a0得（xa）（x1）0当a1时，b=a，1当a=1时，b=1当a1时，b=1，a；（）由x2+3x20得x23x+20，即1x2，a=x|1x2若ab时，由（）知a1，且a2，故实数a的取值范围是a2点评：本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可18如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球a和球b），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球b（）求球a的体积；（）求圆柱的侧面积与球b的表面积之比考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：（）设圆柱的半径为r，小球的半径为r，且rr，利用勾股定理可求出r的值，进而得到球a的体积；（）分别求出球的表面积和圆柱的侧面积，可得答案解答：解：（）设圆柱的半径为r，小球的半径为r，且rr由圆柱与球的性质知ab2=（2r）2=（2r2r）2+（2r2r）2，即r24rr+2r2=0，rr，球a的体积（6分）（）球b的表面积圆柱的侧面积圆柱的侧面积与球b的表面积之比为 （6分）点评：本题考查的知识点是旋转体，球的体积与表面积公式，圆柱的侧面积公式，其中求出球的半径r是解答的关键19如图，边长为4的正方形abcd所在平面与正三角形pad所在平面互相垂直，m，q分别为pc，ad的中点，（1）求四棱锥pabcd的体积；（2）求证：pa平面mbd；（3）试问：在线段ab上是否存在一点n，使得平面pcn平面pqb？若存在，试指出点n的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）先证明pq底面abcd，即为底面abcd上的高，进而即可求出其体积；（2）连接底面的对角线交于点o，再连接om，利用三角形的中位线即可证明；（3）由（1）可知：pq底面abcd，因此只要在底面上找到一条直线与bq垂直即可，由平面几何的知识可知，只要取ab的中点n即可解答：解：（1）连接pq，pa=pd=ad=4，aq=qd，pqad，pq=又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，pq底面abcd=（2）证明：连接ac、bd交于点o，连接om则ao=oc，又pm=mc，paompa平面bmd，om平面bmd，pa平面bmd 3）存在，n为ab中点证明：取ab的中点n，连接cn交bq于点e由正方形abcd可知：abqbcn，abq=bcn，cnb+bcn=90，abq+cnb=90，bqcn由（1）可知：pq平面abcd，pqcn又pqqb=q，cn平面pqb，cn平面pcn，平面pcn平面pqb点评：熟练掌握线面、线面的平行与垂直的判定定理与性质定理即锥体的体积是解题的关键20如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx（1+k2）x2（k0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx（1+k2）x2（k0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解解答：解：（1）在 y=kx（1+k2）x2（k0）中，令y=0，得 kx（1+k2）x2=0 由实际意义和题设条件知x0，k0，当且仅当k=1时取等号炮的最大射程是10千米（2）a0，炮弹可以击中目标等价于存在 k0，使ka（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k220ak+a2+64=0有正根由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需=400a24a2（a2+64）0得a6此时，k=0当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21如图所示，在多面体a1b1d1abcd，四边形aa1b1b，add1a1，abcd均为正方形，e为b1d1的中点，过a1，d，e的平面交cd1于f（）证明：efb1c；（）求二面角ea1db1的正切值；（）求直线a1c与平面b1cd1所成角的余弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法