数学归纳法的学习.doc

数学归纳法，对于同学们无论在中学阶段还是在大学阶段的数学学习，都是一个经常用到的工具，因此是高中代数的一个重点。由于它所解决的问题五花八门，应用时的情况扑塑迷离，所以，它又是高中数学的一个难点。（一） 概念的理解1. 不完全归纳法和完全归纳法在数学推理过程中，由于一般到特殊，根据已知准确的判断去做出新的判断，称做演绎推理，反过来，从分析一些特例的共同特征，得出一般性的结论，这种由特殊到一般的推理方法，称作归纳推理。如果只从一些有限特例的验证，就得到一般性的结论，这种归纳推理，称为不完全归纳法。显然，它所得到的结论不一定可靠的，但常常利用它。提出猜想，然后严格证明。对于与自然数有关的数学命题，一句数学归纳法原理，可以得到可靠结论的一种归纳推理方法（事实上，是把归纳和演绎结合起来了），称作数学归纳法。它是一种完全归纳法。2. 数学归纳法（1） 数学归纳法原理设一个与自然数有关的命题，如果当n取第一个值n0（列如n=1，或2等）时命题成立；若n=k（k N，且kn0）时命题的成立，能导致n=k+1是命题也成立.那么，这个命题对于一切自然数n（nn0）都成立。（2）用数学归纳法证明一个命题的步骤10、证明当n取第一个n0 (列如n=1或2等)时，结论成立；20、假设n=k（k N且k ）时结论正确，证明n=k+1时，结论也正确.结论，所以命题对于从n0开始的所有自然数n 都成立。（3）弄清几个问题n0宜取尽可能小的自然数字，这样可使命题的成立范围较大，但不一定必须取1。必须先证明n= n0是结论正确。不能因为在(2)中的20得到了n=k+1时命题成立的结论，证明就完成了。因为，得到“n=k+1时命题成立”结论的前提是“n=k时命题成立，”它只是假定，称作归纳设，它必须以“n= n0时命题成立”为基础.有时，由“假设n=k时命题成立”，易推出n=k+2时命题成立.这时，只要在（2）中的10中明归纳假设基础存在时，分别证明，n= n1及n= n2时，命题都成立。这里n1，n2一个是奇数一个是偶数。那么，欲证命题则对于一切大于或等于n1、n2较大者的自然数都成立。如果由“n=k时命题成立”，易于推出n=k+3.或n=k.或n=k+4.或时命题成立，处理方法类似。（二） 用好数学归纳法从假设n=k时命题成立，推出n=k+1时命题成立，是完成数学归纳学的关键一步，也是难点所在，要掌握和用好数学归纳法，需要总结、掌握处理这一步的思考规律。1、熟悉从“假设n=k时命题成立”推导“n=k时命题成立”的一般方法。下面，通过例题，介绍用数学归纳法证明等式或不等式时，处理这一步的一般办法.例1 求 14+27+310+n（3n+1）=n(n+1) （n N）.证法一 10、当n=1时，因为 左=1（31+1）=4， 右=1（1+1） =4， 左=右.所以命题成立.2o 、若n=k（k N）时，等式成立，即 14+27+310+k（3k+1）=k（k+1）2 则 14+27+310+k（3k+1）+（k+1）3(k+1)+1 =k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+12。即n=k+1时，等式成立。综合10与20，等式对于一切n N成立。证法二 (从证法一的式开始)则（k+1）（k+1）+12=（k+1）(k+1) 2+ (2k+3) =k(k+1) +(k+1) +(k+1)(2k+3) =k(k+1)2 +(k+1)（k+1）+2k+2+1=K(k+1) 2 +(k+1)3(k+1)+1=14+27+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1.即 n=k+1时，等式成立（以下略）证法三 （从证法一的式开始）若需证n=k+1时等式成立，只需证14+27+k(3k+1)+（k+1）3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+1 , 成立，则只需证 （k+1）3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+1 -k(k+1) 成立，即只需证 3k+3+1=k2+4k+4-k2-k 成立。而式显然成立。故n=k+1时，等式成立（以下略）。说明 1法一是从欲证的n=k+1时的等式的左端化向它的右端。证法二则相反。从这两个的证法比较来就看，以从复杂端（本题是左端）化向简单端，比较易于思考。2 证法三是通过对欲证等式的逆推分析（通常所称的分析法），把证明等式转化为证明条件等式（在本题例为式），降低了思考的难度，转化的方式等价式-式，对于用数学归纳法证明较复杂的不等式，这种方法尤可降低思维的难度，这将在下一个例子的“证法一”中明显的表现出来.3无论哪种证法，都利用了归纳假设中写出的具体等式，在要求必须应用数学归纳法来完成证明的题目里，如果没有利用归纳假设，不能被认为是正确的解答。例2 用数学归纳法证明：说明 1证法一运用了例1中证法所以的方法，降低了思考难度，必须注意的是，式的得到是在的基础上，寻找出使式成立的一个充分（不一定必要）条件，具体做法是，用式的左端减去式的左端得到的式子作为新不等式的左端；用、的不等号方向（、不等号的方向一定要