数学建模优秀论文——上海世博会最短路线模型.doc

大学数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C 参赛队员 (打印并签名) ：1. (负责人)2. 3. 日期 20 年 5 月 3 日数学建模竞赛论文论文名称： 世博会最短路线问题学 院： 信息科学与技术学院参赛组别： 本科组 组 员： 电 话： 电子邮箱： 提交日期： 世博会最短路线问题 摘要 本文讨论的是世界32大城市距离世博会的举行城市上海市的最短路线问题和在北京、伦敦、莫斯科、纽约、巴黎这五条最短路线上（或附近）的最近的其他一个大城市的经纬度以及该城市到此路线距离的问题。为求解两城市之间所的最短距离和最短路线上（或附近）的最近的其他一个大城市的经纬度以及该城市到此路线距离，本文以球面上两点之间距离最短是这两点所在圆以球心为圆心所对应的劣弧作为建立模型的依据，建立城市经纬度矩阵，通过MATLAB程序调用数据来实现模型的计算，最终求出最优解。并进行了误差分析,模型的评价与推广。在模型 1中，将地球视为一个球体，以球面上两点之间距离最短是这两点所在圆以球心为圆心所对应的劣弧作为本文建立模型的依据。先推算出两点之间的球面距离公式，再以上海作为固定起点，分别以其他城市作为终点，建立城市经纬度矩阵，通过MATLAB程序调用数据来实现模型的计算得出各大城市与上海的最短路线的距离。在模型2中，采用逐步逼近最优的方法，首先设一个城市A（此城市与上海不相同），设上海为C。做一个矩形，使得矩形长经过A、C两点，即纬度相同，再做矩形的宽使之稍长于A、C两点的经度差。在此范围内可以确定点部分城市可能是从C到A最短路线上所经过（或附近）的大城市，然后在矩形框架范围内用椭圆优化一个小范围，排除部分城市，然后看筛选城市是否符合题目范围城市，最后借助MATLAB程序找出五大城市与上海的最短路线距离最短的点并计算距离。在模型3中，采用试值法确定点的经度和纬度。过C点分别作于C点经度、纬度相同的弧线，交AB弧线相交于中点D，然后确定由中点的坐标计算公式由MATLAB程序计算出D点的经度和纬度。最后，结合实际情况和MATLAB程序简化模型，并在一定的假设条件下求解出了最优结果。关键词距离最短；矩阵；MATLAB程序；逼近最优法； 一、问题的重述为迎接2010年世博会的召开，设想在上海东方明珠电视塔内标出上海到世界35个大城市之间的距离.这些大城市(按英语字典序排)是：1阿姆斯特丹2安卡拉3雅典4奥克兰5曼谷最短距离6巴萨罗那7北京8柏林9布鲁塞尔10布达佩斯11开罗12哥本哈根13哈瓦那14赫尔辛基15香港16约翰内斯堡17吉隆坡18伦敦19澳门20墨西哥城21莫斯科22新德里23纽约24奥斯陆25巴黎26罗马27斯德哥尔摩28悉尼29台北30东京31多伦多32维也纳33华沙34惠灵顿35苏黎世问题一：计算上海市到以上各大城市间的距离（最短连线的长度），并填在以上表格的空格内(数值单位为千米，舍入到千米)。问题二：分别求出从上海到北京、伦敦、莫斯科、纽约、巴黎这五条最短路线上所经过(或最近)的其他一个大城市的名称(英文名或中文名皆可)、经纬度(单位度.分)、离开最短路线的距离(数值单位为千米，舍入到0.1千米)， 最短路线上与最近大城市距离最近的点的经纬度，（数值单位：度.分，舍入到分）并填入以下表格：北京伦敦莫斯科纽约巴黎(城市名)(城市经纬度)(距离)(最短线上点)注：1）已知地球的平均半径为 R = 6371千米. 2）以上各城市的经纬度和范围，数据参照附录一二、问题的假设1. 将地球视为一个圆球体，各城市海拔均记为0；2. 所有城市均作为一个点；3. 在此模型中我们仅仅是求两点球面的最短距离，那么我们就将地球表面作为光滑的，不考虑在实际中能否作为道路通行。4. 题目以及查阅数据来自科学的检测，稳定可靠。三、符号说明a:角AOC的余弦值； b:角BOC的余弦值c:角AOB的余弦值 d:弧CD所对应的弧长f:角COD的余弦值 L：弧AD所对应的长度k,m,M:表示在等式计算过程中的一个代换符号x0:E点的经度 Y0：F点的纬度X1:A点的经度 X2：A点的纬度X3:B点的经度 X4：B点的纬度X5:C点的经度 X6：C点的纬度X7:D点的经度 X8：D点的纬度四、模型的建立与求解（一）问题一1.1 问题分析该问题是一个求球面上两点之间球面距离最短问题。对于此问题，我们将上海作为一个固定点，再求其他城市到上海的球面最短距离（球面上两点之间球面距离最短是这两点所在圆以球心为圆心的劣弧最短）。由于考虑到地球的纬度分南北两纬，那么此问题就将分为两部分进行计算，根据城市所在的纬度，将处于南、北纬的城市分别分开。从附表1中知，上海的纬度是北纬3110，那么我们就先求与上海处于赤道两侧的城市到上海的球面最短距离；然后再求与上海处于赤道同侧的城市到上海的球面最短距离;由于两个城市不可能重合，故没有和上海的经纬度都相同的城市。题中的西经和南纬均被设为负值，故在做本题时就应考虑到地球的特殊性。1.2 模型建立1.2.1 与上海分别处于赤道两侧的城市，其计算方法如下：1.2.1.1 先假设A，D两点经度不相同时，则：如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，D点表示世界上其它任意一个城市，A点的经度和纬度分别为（X1，X2）；D点的经度和纬度分别为（X3，X4） 求弧AD的长度？ 简图1如下 解：分别作OD在平面BOC的投影的延长线OC OA的投影延长线OB；且：作DEOC，垂点是E 作AFOB，垂点是F 那么 DE平面BOC AF平面OBC有地球的本身经纬度的分布知：A，D两点的经度差BOC=X1-X3; A点的纬度为X2=AOB； D点的纬度为X4=COD； DE平面BOC，AF平面BOC，且A、D的经度不相同，则：AF与DE不共线 AF/DE AF与DE确定一个平面为AFDE 并连接AD AD与EF相交，并设交点为H（如图） 又 OA=0B=0C=0D=R，X1，X2，X3，X4已知且 DE=R*Sin(X4) ；AF=R*Sin(X2)OE=R*Cos(X4) ；OF=R*Cos(X2)由于考虑到地球经度的特殊性则一、当点经度在东经时： EF2=OF|2+|OE|2-2*|OE|*|OF|Cos(X1-X3) 为方程1 设：EH=k FH=m k/m=DE/AF= Sin(X4)/ Sin(X2) 为方程2k+m =EF为方程3由方程1，2，3得 k=Sin(x4)*cos(X4)2+cos(X2)2-2*cos(X4)* cos(X2) * cos(X1-x3) Sin(x4)+ Sin(x2) m= Sin(x2) *cos(X4)2+cos(X2)2-2*cos(X4)* cos(X2) * cos(X1-x3) Sin(x4)+ Sin(x2) 令M=cos(X4)2+cos(X2)2-2*cos(X4)* cos(X2) * cos(X1-x3)AD=DE2+ k2 +AF2+ m2cos(AOD)= |OD|2+|OA|2-|AD|22*|OD|*|0A| = 2*R2-R2*（Sin(X4)+ Sin(X2)）2*（1+M2（Sin(X4)+ Sin(X2)） 2）/(2*R2) =1-1/2*（Sin(X4)+ Sin(X2)）2+M2 =1-1/2*(2+ Sin(X4)* Sin(X2)- cos(X4)* cos(X2)* cos(X1-X3) = cos(X4)* cos(X2)* cos(X1-X3)Sin(X4)* Sin(X2)二、当D点经度为西经时：cos(AOD)= = cos(X4)* cos(X2)* cos(360-X1+X3)Sin(X4)* Sin(X2) 弧AD的长度=arccosAOD*R*pi1801.2.1.2 当 A,D两点的经度相同且纬度的绝对值相等时(即A、D关于赤道对称)； 如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，D点表示世界上其它任意一个城市， A 点的经度和纬度分别为（X1，X2）； D点的经度和纬度分别为（X1，X4） 求弧AD的长度？ 简图2如下 解：分别作OA和OD在赤道平面的投影的延长线OC 连接AD A、D两点关于赤道对称，且作ABOB，作EDOB B点是AD与OC的交点那么AB赤道平面 BD赤道平面由地球的本身经纬度的分布知：A，D两点的经度差为0; A点的纬度为X2=AOD； D点的纬度为X4=BOD； cos(AOD)=cos(x2+x4)=cos(x2)*cos(x4)*cos(0)-sin(x2)*sin(x4) 弧AD的长度=arccosAOD*R*pi1801.2.1.3 当 A,D两点的经度相同但纬度的绝对值不相等(即A、D经度相同但不关于赤道对称)； 则：如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，D点表示世界上其它任意一个城市， A 点的经度和纬度分别为（X1，X2）； D点的经度和纬度分别为（X1，X4） 且X2X4 则：求弧AD的长度？ 简图3如下 解：分别作OA和OD在赤道平面的投影的延长线OC 且：作ABOB，作EDOB 那么AB赤道平面 ED赤道平面 且AB/DE 则：由地球的本身经纬度的分布知：A，D两点的经度差为0; A点的纬度为X2=AOD； D点的纬度为X4=BOD； cos(AOB)=cos(x2+X4)=cos(x2)*cos(x4)*cos(X1-X3)-sin(x2)*sin(x4)综上所述：当A，D分别位于在赤道两侧时： 一、当D点的经度为东经时：弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(X1-X3)Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 二、当D点的经度为西经时：弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(360-X1+X3)-Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 （D点的经度为西经）1.2.2 与上海分别处于赤道同侧的城市，其计算方法如下：1.2.2.1 先假设A，D两点的纬度相同但经度不相同，则：如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，D点表示世界上其它任意一个城市，A点的经度和纬度分别为（X1，X2）；D点的经度和纬度分别为（X3，X2） 求弧AD的长度？简图4如下 解：如图所示，作AFOB于F; 作DEOC于E 由题知:DE/AF DE平面OBC AF平面OBC 又A、D两点纬度相等 A，D两点的经度差BOC=X1-X3; A点的纬度为X2=AOB； D点的纬度为X4=DOC则 AO在BO上投影为OF DO在CO的投影为OE一、当D点经度为东经时故：由余弦定理得 EF2=OE2+OF2-2*OE*OF*cos(X1-X3) 方程1 AD2=OD2+OF2-2*OD*OA*cosAOD 方程2 又EF=AD 且 OE=OD*cosDOC OF=OA*cosAOB AO=DO=BO=OC=R由方程1、2得cosAOD=cos（X2）2*cos(X1-X3)+sin(X2)2 二、当D点经度为西经时cosAOD=cos（X2）2*cos(360-X1+X3)+sin(X2)2那么弧AD长为:L= arccosAOD*R*pi1801.2.2.2 设A，D两点的经度相同但纬度不相同 则如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，D点表示世界上其它任意一个城市，A点的经度和纬度分别为（X1，X2）；D点的经度和纬度分别为（X1、X4） 求弧AD的长度？ 简图5如下解：如图所示分别作AO、DO在赤道平面的投影 故有：AFOC于F; 作DEOC于E所以：DE/AF A，D两点的经度差BOC=X1-X1=0； A点的纬度为X2=AOC； D点的纬度为X4=COD； 故：AOD=COD-AOC 得：CosAOD=cos(X4-X2)=cos(X4)cos(X2)*cos(X1-X1)+sin(X4)*sin(X2)即：弧AD的长度= arccos(AOD)*R*pi1801.2.2.3设A，D两点的经纬度均不相同 则如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，D点表示世界上其它任意一个城市，A点的经度和纬度分别为（X1，X2）；D点的经度和纬度分别为（X3、X4） 求弧AD的长度？简图6如下 解：分别作OD在平面BOC的投影的延长线OC OA的投影延长线OB；且：作DEOC，垂点是E 作AFOB，垂点是F 那么DE平面BOC AF平面OBC有地球的本身经纬度的分布知：A，D两点的经度差BOC=X1-X3; A点的纬度为X2=AOB； D点的纬度为X4=COD； DE平面BOC，AF平面BOC，且A、D的经度不相同，则：AF与DE不共线 AF/DE 故：AFDE确定一个平面 作AMDE于M一、当D点的经度为东经时 由余弦定理得：EF2=OE2+OF2-2*OE*OF*cosBOC 1AD2=AO2+DO2-2*DO*AO*cosAOD 2又 DE=R*sin(X4) AF=R*sin(X2) OE=R*cos(X4) OF=R*cos(X2)且 AD2=AM2+DM2 3 DM=DE-ME=DE-AF 4 由方程1234得R2+R2-2*R2*cosAOD=R2*cos(X4)+R2*cos(X2)-2*R2*cos(X1-X3)+R2*sin(X4)2+R2*sin(X2)2-2*R2*sin(X2)*sin(X4) cosAOD=cos(X4)*cos(X2)*cos（X1-X3）+sin(X4)*sin(X2) 二、当D点的经度为西经时cosAOD=cos(X4)*cos(X2)*cos（360-X1+X3）+sin(X4)*sin(X2) 弧AD的长度=arccos(AOD)*R*pi180综上所述：当A，D分别位于在赤道同侧时：一、D点经度为东经时弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(X1-X3)+Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 二、D点经度为西经时弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(360-X1+X3)+Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 1.3模型求解.当A，D分别位于在赤道两侧时：弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(X1-X3)Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 （D点的经度为东经）弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(360-X1+X3)Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 （D点的经度为西经） .当A，D分别位于在赤道同侧时：弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(X1-X3)+Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 （D点的经度为东经）弧AD的长度=arc(cos(X4)* cos(X2)* cos(360-X1+X3)+Sin(X4)* Sin(X2)*R*pi180 （D点的经度为西经） 将数据带入以上相应的代数式得：（解法见附录二）阿姆斯特丹安卡拉雅典奥克兰曼谷86717738854693772886巴萨罗那北京柏林布鲁塞尔布达佩斯98311074840390138348开罗哥本哈根哈瓦那赫尔辛基香港834882591383973791219约翰内斯堡吉隆坡伦敦澳门墨西哥城11776374311618126412915莫斯科新德里纽约奥斯陆巴黎682342491185980939273罗马斯德哥尔摩悉尼台北东京9125777478806761766多伦多维也纳华沙惠灵顿苏黎世139648482797397369018注:数值单位为千米，舍入到千米（二） 问题二2.1.1 对于求从上海到北京、伦敦、莫斯科、纽约、巴黎这五条最短路线上所经过(或附近)的其他一个大城市和这个城市的经，纬度；最短路线距离2.1.2 问题分析此问题是已知路线经过（或附近）的多个点到已知路线最短距离的最优点问题,并取最小值的点作为最优解.如果有在已知路线上的点,那么该点就将作为最优点（不包括两个端点，即：上海和另外一个已知城市）.如果没有在已知路线上的点，那么就取离已知路线最近的点作为最优点。对于此问题我们就将其转化为求最优解的优化问题。在求最优解的点时，我们先得求出表示最优解得代数式，再根据优化筛选出来的城市进行求得最优解.从而找到最优点。2.2 模型建立2.21 由于题中的五个已知城市均与上海处在地球的同一侧。则如图所示：为地球的立体图，O为球心，A点表示上海，B点表示世界上其它五个城市中任意一个城市，C点为弧线AB附近或经过弧线AB的点。 A点的经度和纬度分别为（X1，X2）；B点的经度和纬度分别为（X3，X4）；C点的经度和纬度分别为（X5,X6）。要使在随机选取C点中到弧AB的距离最短，只有当经过C点的弧面与弧AB所确定的弧面垂直时，且交点为D，C点到弧AB的距离最段。 求弧CD的弧长？ 简图7如下解：设 D为弧AB上离C最近的点 E为BE和OD的交点，且BEOD 平面OCD平面AOB，BEOD，面OCD面AOB=OEBE平面OCDcos(BOC)=cos(COD)*cos(BOD ) 5同理可得： Cos(AOC)=cos(COD)*cos(AOD) 6 （因为上海与其它五个城市都在北纬） cos(AOC)=cos(X2)*cos(X6)*cos(X1X5)+sin(X2)*sin(X6) 7 Cos(BOC)=cos(X4)*cos(X6)*cos(X3X5)+sin(X4)*sin(X6) 8 Cos(AOB)= cos(AOD) *cos(BOD) sin(AOD) * sin(BOD)9若：已知城市的经度为东经时Cos(AOB)= cos(X2)* cos(X4) *cos(X1-X3)+sin(X2)*sin(X4) 10 已知城市的经度为西经时Cos(AOB)= cos(X2)* cos(X4) *cos(360-X1+X3)+sin(X2)*sin(X4) 11令cos(AOC)=a, Cos(BOC)=b, Cos(AOB)=c, cos(COD)=fcos(AOD )=a/f cos(BOD)=b/f 12由方程5，6，7，8，9，10，12得：c=a*bf 2-(1-a2f2)*(1-b2f2)a*b-c*f2=(f2-a2)*(f2-b2) (c2-1)f4+(a2+b2-2*a*b*c)*f2=0解得： 当a2+b2-2*a*b*c0时f=0,f=-(2*a*b*c-a2-b2)(c2-1),f=(2*a*b*c-a2-b2)(c2-1) 弧CD要取的最小值，即COD要取得最小值f=(2*a*b*c-a2-b2)(c2-1)当a2+b2-2*a*b*c0时， f=0 f=0时，COD所对应的值为90度，所以不可取。 综上所述： f=(2*a*b*c-a2-b2)(c2-1)弧CD的长为：d=arc(f)*pi*R/180 这样就能带入不同的C点，并可以得到不同的CD弧长，在得到不同CD弧长后，我们就可以进行比较，选择出最短距离找到最优点。近而我们又能知道C点的经，纬度。2.22确定从上海到其它大城市最短路线上所经过（或附近）的其他一个大城市的名称，其计算方法如下：先假设一个城市A，此城市与上海不相同，则： 第一步：如图所示，做一个矩形（蓝色），使得矩形长经过A、C两点，即纬度相同，再做矩形的宽使之稍长于A、C两点的经度差。在此范围内可以确定点D、M、K、H、L、I、F、E肯能是从C到A最短路线上所经过（或附近）的大城市。 第二步：如图所示，在AC连线的延长线上做N、O两点，过N、O做一个小的椭圆形，使之接近N、O弧长，由此可以在第一步的基础上优化结果，得到城市M、K、H、L、I肯能是从C到A最短路线上所经过（或附近）的大城市。第三步：根据题的要求，在M、K、H、L、I中检验出属于题目所要求的城市L、I肯能是从C到A最短路线上所经过（或附近）的大城市，并找出其经度、纬度，。第四步：根据MATLAB程序（附录三）分别计算出L、I两点到C到A最短路线上的距离，比较结果，求出最小距离。222对于从上海到北京、伦敦、莫斯科、纽约、巴黎这五条最短路线上所经过(或附近)的其他一个大城市，最短路线上与最近大城市距离最近的点的经纬度？问题分析：由上可知，若要求出D点的经，纬度，用单纯的解方程是比较麻烦的，且可能存在在解的过程中没有解的现象，所以根据这种情况我们尝试用“试值法“ 由上题可以知道A，B，C，的经，纬度分别为（X1，X2），（X3，X4），（X5，X6） 解：设，D的经，纬度为（X7，X8） 在弧AB上找两点E，F且设经，纬度分别为（X0，X6），（X5，Y0） 简图8如下 弧CF弧CE，弧EF弧CD D为弧EF的中点 X7=（X0+X5）/2，X8=（X6+Y0）/2 根据A，B，E的经，纬度可以建立一个近似相等的等式， （X1-X0）/（X0-X3）=（X2-X6）/（X6-X4）A，B，E之间的经，纬度差之比 经这个等式就可以得出X7的值， 同理可以根据A，B，F之间的经，纬度可以得出X8的值 利用微积分的思维逐步求得X7和X8趋于准确的值，利用程序（附录四），并将在（X7，X8）上下波动的范围内的数据带入，（操作1）操作1就能的出相对准确的D点的经，纬度。 将数据带入以上相应的代数式得：（解法见附录三）北京伦敦莫斯科纽约济南阿姆斯特丹济南多伦多（117；36，41）（4，53；52，22）（117；36，41）（-79,23；43,39）11471518855003（117，44；37，50）（3，08；53，16）（116，19；36，06）（-76,11；46,58）巴黎布鲁塞尔（4，22；50，52）803（5，17；50，24）注：数值单位为千米，舍入到0.1千米五、模型的误差分析.1.本文对于两点之间最短距离和已知路线附近（包括线路上，但不包括端点）的最近点，对于距离、经纬度均有一定的数据取舍。并且为了方便计算，将地球视为一个标准球体，忽略地球本身的不规则性。与实际的地球表面路径将有一定的误差。将城市看为一个点，忽略了城市的板型对城市内的距离影响。2本文针利用“逼近推优”的方法和微积分的思想建立模型，虽然原理正确，但是城市的数量有限，不是特别多，所以就会使求得结果不是绝对精确。六、模型的评价1模型的优点1.1本模型在针对问题一时，分为了六种可能出现的情况进行讨论。对于每种可能出现的情况又根据地球经度的特殊性进行分析，依靠大量的数学定理、推论以及球体的特性求得精确的数学表达式。1.2 MATLAB计算方法与其他计算方法比较：本文的模型建立过程中设计大量的计算，计算过程繁琐，并且部分是没有办法通过人力计算，建立城市经纬度的矩阵，运用MATLAB程序调用数据，计算不仅提高速度也提高了准确性，是模型建立的重要支撑，同时MATLAB相对于其他计算方法是简单易行的。1.3 逼近最优法：逼近最优法是在世界范围内逐步优化，经过排除达到最优，结果精确可靠。1.4 忽略复杂计算.：例如忽略城市的大小，直接作为点进行建模；再如将地球作为一个光滑的圆球体，不考虑地形特征，在误差范围内简化了模型。 15微积分思想：利用微积分的思想，逐步推断，得到最优解，相对准确。2模型的不足21由于本文的数据存在一定的取舍，不能作为需要有太高精确度的参考数据。2.2本文确定上海到另外一个大城市最短路线上（或附近）点到最短路线的最短距离的点的确定比较复杂，步骤比较繁杂，结果不是绝对精确。七、模型的改进及推广1模型的改进1.1 在计算已知路线附近（或经过）的点时如果采用MATLAB编程利用Dijkstra算法将所有点均加入计算会是数据更加精确。1.2 在对问题一求解时如果采用遗传法求解，将是模型更加完善。2模型的推广解决最短路线问题在对于交通运输、道路建造、涉外旅游、导弹的运行路线等问题中广泛利用，所以改进和研究解决最短路线问题对实际的工业生产、国防、人们的生活是有重要意义，同时可以将此程序运用到运输等行业，从而减少耗油量，节约原料，保护环境。八、参考文献1徐全智，杨晋浩, 数学建模(第二版)。 北京:高等教育出版社， 20082赵静 ，但琦, 数学建模与数学实验(第三版)。 北京:高等教育出版社，20083季毅民，丁思齐, 世界知识地图集。 哈尔滨:哈尔滨地图出版社，20084吴礼斌，李柏年, 数学实验与建模。 北京：国防工业出版社，20075胡守信，李柏年，基于Matlab的数学实验。北京：科学出版社，2004 6刘毅 ，世界分国地图集 北京：中国地图出版社 2008.1九、附录 附录一所了解的一些城市的经，纬度城市 纬度（度 分） 经度（度 分）(纬度中负号表示南纬, 经度中负号表示西经) Amsterdam, 52 22 4 53 (1)Ankara, 39 55 32 55 (2)Athens, 37 58 23 43 (3)Auckland, -36 52 174 45 (4)Bangkok, 13 45 100 30 (5)Barcelona, 41 23 2 9 (6)Beijing, 39 55 116 25 (7)Berlin, 52 30 13 25 (8)Brussels, 50 52 4 22 (9)Budapest, 47 30 19 5 (10)Cairo, 30 2 31 21 (11)Copenhagen, 55 40 12 34 (12)Havana, 23 8 -82 23 (13)Helsinki, 60 10 25 0 (14)Hong Kong, 22 20 114 11(15)Johannesburg, -26 12 28 4 (16)Kuala Lumpur, 3 8 101 42 (17)London, 51 32 -0 5 (18)Macao, 22 13 113.36 (19）Mexico City, 19 26 -99 7 (20)Moscow, 55 45 37 36 (21)New Delhi, 28 35 77 12 (22)New York 40 47 -73 58 (23)Oslo, 59 57 10 42 (24)Paris, 48 48 2 20 (25)Rome, 41 54 12 27 (26)Stockholm, 59 17 18 3 (27)Sydney, -34 0 151 0 (28)Taipei, 25 05 121 32 (29)Tokyo, 35 40 139 45 (30)Toronto, 43 39 -79 23 (31)Vienna, 48 14 16 20 (32)Warsaw, 52 14 21 0 (33)Wellington, -41 17 174 47 (34) Zrich, 47 21 8 31(35)Shanghai, 31 10 121 28 (36)(以上括号中的数字是题目中城市的编号, 以下是其他城市的纬度和经度)城市 纬度（度 分） 经度（度 分）BRISBANE, -27 28 153 02 CANBERRA, -35 17 149 08 DARWIN, -12 28 130 50 DERBY, -17 19 123 38 NADI, -17 47 177 29 NEWMAN, -23 20 119 34PERTH, -31 56 115 50TOWNSVILLE, -19 13 146 48BANGALORE, 12 58 77 35BOMBAY, 18 56 -74 35CALCUTTA, 22 30 88 20COLOMBO, 6 55 79 52DELHI, 28 40 77 14 HANOI, 21 01 105 52HARBIN, 45 45 126 41JINAN, 36 41 117 00HO CHI MINH, 10 46 106 43ISLAMABAD, 33 40 73 08JAKARTA, -6 08 106 45KAGOSHIMA, 31 37 130 32KANDLA, 23 03 70 11KARACHI, 24 51 67 02 KATHMANDU, 27 42 85 19GUNUNGSITOLI, -6 03 116 32KOTA, 2 33 102 10KUALA LUMPUR, 3 08 101 42KUNMING, 25 04 102 41MALANG, -7 59 112 45MANDALAY, 21 57 96 04MANILA, 14 35 120 59NAGPUR, 21 10 79 12PADANG, -6 12 120 27PALU, -8 19 121 44PENANG, 5 30 100 28PONTIANAK, -0 05 109 16RANGOON, 16 47 96 10SAPPORO, 43 05 141 21SEOUL, 37 30 127 00 SINGAPORE 1 18 103 50 SORONG, -0 50 131 17THIMBU, 27 32 89 43TONHIL, 46 19 93 54ULAANBAATAR, 47 54 106 52URUMQI, 43 43 87 38WUHAN, 30 35 108 54XIAN, 34 16 108 54YUMEN, 39 54 97 43ANADYR, 64 50 177 50ARKHANGELSK, 64 32 40 40ASHKHABAD, 37 58 58 24BAKU, 40 22 49 53BARNAUL, 53 21 83 45CHITA, 52 03 113 35IGARKA, 67 31 86 33INARIGDA, 63 15 107 40KIEV, 50 25 133 43KRASNODAR, 45 02 39 00MAGDAGACHI, 53 27 125 44OKHOTSK, 59 20 143 15PERM, 58 01 56 10PETROPAVLOVSK, 54 53 69 13TASHKENT, 41 16 69 13TULUN, 54 32 100 35VANINO, 49 05 140 14VLADIVOSTOK, 43 09 131 53VORKUTA, 67 27 64 00YAKUTSK, 62