第3章 功和能 习题解答.pdf

大学物理学 习题解答 3 1 习题 3 3 1 一质点所受合力为76 N Fij 合 当质点从原点运动到3416 m rijk时 求F所做的功 如果质点到r处时需0 6s 求合力做功的平均功率 如果质点的质量为1mkg 求质点动能的变化 解 1 因为合力为恒力 所以合力做功 d7 3 6 445J xyz AFxFyFz F rFr 2 45 75W 0 6 A P t 3 45J k EA 3 2 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比 在铁锤击第一次时 能将小钉击入木板内1cm 问击第二次时能击入多深 假定铁锤两次 打击铁钉时的速度相同 解 铁锤和钉子碰撞后 一起运动 钉子进入木板 受到木板阻力作用 阻力做功 铁 锤和钉子的动能减小 设钉子进入木板的深度为x时 阻力大小为fkx 其中k为比例 系数 k E 为钉子进入木板过程中铁锤和钉子动能的增量 A为阻力所做的功 则 k EA 设第一次敲击时 钉子进入木板的深度为 1 d 则有 11 2 1 00 1 dd 2 dd k EAfxkxxkd 铁锤两次打击铁钉时的速度相同 则 k E 相等 设第二次敲击时 钉子进入的深度为 2 d 则 22 11 22 21 1 dd 2 dd k dd EAfxkxxk dd 由上两式可得 第二次敲击时钉子进入的深度是 211 21 21 10 414cmdddd 3 3 设已知一质点 质量为m 在其保守力场中位矢为r点的势能为 P n k Er r 试求 质点所受保守力的大小和方向 解 力沿径向的分量为 1 d d r n E rnk F rr 即 2n nk r Fr 第 3 章 功和能 3 2 保守力的方向与位矢r的方向相同 即位矢r方向相同 3 4 一人用质量为1kg的水桶从深为10m的井中提水 水桶刚离开水面时桶中装有 10kg的水 由于水桶漏水 每升高1m要均匀的漏去0 2kg的水 若人把水桶匀速地从水 面提到井口 在此过程中需做多少功 解 令0 2kg mk 表示水桶漏水的速率 以水面为高度零点 水桶高度为h时 水 的质量为 0 mmkh 其中 0 11kgm 水桶匀速运动 所以人提升水桶的力为Fmg 提升高度为dh时 人 做的功为 2 00 00 1 d d 2 HH AF hmkh g hm gHkH g 2 1 11 9 8 100 2 109 8980J 2 3 5 一质量为m的陨石从距地面高h处由静止开始落向地面 忽略空气阻力 求 1 陨石下落过程中 万有引力的功是多少 2 陨石落地时的速率是多少 设地球可看作质量 均匀的球体 其质量为M 半径为R 解 1 万有引力是保守力 所以陨石下落过程中 万有引力的功 P GmMGmMGmMh AE RRhR Rh 2 由动能定理 有 2 1 2 GmMh Am R Rh v 得陨石落地时的速率为 2GMh R Rh v 3 6 质量为m的质点在外力F作用下沿Ox轴运动 已知0t 时质点位于原点 且初 速度为零 设外力F随距离线性减小 且0 x 时 0 FF 当xL 时 0F 试求质 点从0 x 运动到xL 处的过程中F对质点做的功和质点在xL 处的速率 解 由题意 外力F随距离线性减小 且0 x 时 0 FF 当xL 时 0F 可 得力与距离的关系为 大学物理学 习题解答 3 3 0 0 F FxF L 0t 时 00 0 0 x v 因此质点将在外力作用下沿外力方向作直线运动 从0 x 到 xL 的过程中 外力的功为 0 00 00 1 d d 2 LL F AF xFxxF L L 由质点的动能定理 F对质点做的功 22 00 111 222 AF Lmm vv 将 0 0 v代入 得到质点在xL 处的速率 0 F L m v 3 7 一物体在介质中按规律 3 xct 沿 x 轴正向作直线运动 c为一正的常量 设介质 对物体的阻力和速度的平方成正比 即阻力 2 fk v k为阻力系数 为正的常量 试求 物体由 0 0 x 运动到xl 时 阻力所做的功 解 因为 2 d 3 d x ct t v 2 fk v 则在t时刻阻力做功为的功率为 33 6 27Pfkkc t vv 由 3 xct 可知 0 x 时 0 txl 时 1 3 l t c 物体从 0 0 x 到xl 的过程中 阻 力所做功为 1 3 27 33 0 27 d 7 l c AP tkc l 3 8 一质量为m的地球卫星 沿半径为 0 3R的圆轨道绕地球运动 已知 0 R为地球半径 0 m为地球质量 求 1 卫星的动能 2 卫星的引力势能 3 卫星的机械能 解 1 地球引力为卫星提供做圆轨道运动所需之向心力 因此 由 n Fma 有 2 0 2 00 3 3 mmm G RR v 所以卫星的动能为 第 3 章 功和能 3 4 2 0 0 1 26 k Gmm Em R v 2 取卫星在无限远处时的势能0 P E 则卫星的引力势能为 0 00 P 2 3 0 d 3 R GmmGmm Er rR 3 卫星的机械能为 0 KP 0 6 Gmm EEE R 3 9 一根劲度系数为 1 k的轻弹簧A的下端 挂一根劲度系数为 2 k的轻弹簧B B的 下端挂一重物C 重物C的质量为M 如图 求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹 性势能之比 解 如图所示 平衡时 有弹簧AB 及重物C受力的关系为 AB FFMg 又 11A Fkx 22B Fkx 所以静止时两弹簧伸长量之比为 12 21 xk xk 弹性势能之比为 2 11 P12 2 P21 22 1 2 1 2 kx Ek Ek kx 3 10 试计算 1 月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P 距月球表面的距离是多少 2 如果一个 1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零 那么它在P点的势 能为多少 已知地球质量为 24 5 98 10 kg 地球中心到月球中心的距离 8 3 84 10 m 月球 质量 22 7 35 10 kg 月球半径 6 1 74 10 m 解 1 设在距月球中心为r的 P 点 FF 月引地引 由万有引力定律 有 22 mMmM GG r Rr 月地 其中R为地球中心到月球中心的距离 整理 得 2 k 1 k M A B 题 3 9 图 C 大学物理学 习题解答 3 5 M rR MM 月 地月 22 8 2422 7 35 10 3 48 10 5 98 107 35 10 6 38 32 10 m 则P点处至月球表面的距离为 67 38 32 1 74 103 66 10 mhrr 月 2 质量为1kg的物体在P点的引力势能为 P MM EGG rRr 月地 2224 1111 77 7 35 105 98 10 6 67 106 67 10 3 83 1038 43 8310 6 1 28 10 J 3 11 一质量为m的质点 系在细绳的一端 绳的另一端固定在平面上 此质点在粗糙 的水平面上作半径为r的圆周运动 设质点的最初速率是 0 v 当它运动一周时 其速率为 0 2 v 求 1 摩擦力做的功 2 滑动摩擦系数 3 在静止以前质点运动了多少圈 解 1 由动能定理 质点运动一周时摩擦力做的功为 2 222 0 KK000 1111 22222 AEEmmmm v vvv 2 0 3 8 m v 2 质点运动时受到的摩擦力大小不变 为fmg 其方向总与质点的位移dr方向 相反 它对质点所做的功为 dddAf smgsmgs fr 其中2sr 为质点的路程 将 式代入上式 得滑动摩擦系数 2 0 3 16 gr v 3 假设静止前质点运动了n圈 根据动能定理有 nA 2 KK00 1 0 2 EEm v 即得 4 3 n 圈 第 3 章 功和能 3 6 3 12 由水平桌面 光滑铅直杆 不可伸长的轻绳 轻弹簧 理想滑轮以及质量为 1 m和 2 m的滑块组成如图所示装置 弹簧的劲度系数为k 自然长度等于水平距离BC 2 m与桌 面间的摩擦系数为 最初 1 m静止于A点 AB BC h 绳已拉直 现令滑块 1 m落下 求它下落到B处时的速率 解 取B点为重力势能零点 弹簧原长为弹性势能零点 设滑块 1 m下落到B处时的速 率为v 则由功能原理 有 21 AEE 即 22 2121 11 22 m ghmmm ghkl v 式中l 为弹簧在A点时比原长的伸长量 即 21 lACBCh 联立上述两式 得 2 2 12 12 221mmghkh mm v 3 13 如图所示 一物体质量为2kg 以初速度 1 0 3m s v从斜面A点处下滑 它与 斜面的摩擦力为8N 到达B点后压缩弹簧20cm后停止 然后又被弹回 求弹簧的劲度系 数和物体最后能回到的高度 解 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点 弹簧原长处为弹性势能零点 则 由功能原理 有 22 0 11 cossin 22 fsmgskxmmgs v 2 0 2 1 sin 2 1 2 mmgsfs k x v 2 2 1 2 32 9 84 80 2 sin3784 80 2 2 1 0 2 2 1 1390 N m 再次运用功能原理 求木块弹回的高度 h 有 题 3 12 图 大学物理学 习题解答 3 7 2 1 sin 2 fsmgskx 代入有关数据 解得 1 4 ms 则木块弹回高度 o sin1 4sin370 84 mhs 3 14 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽 如图所示 质量为m的小 球从曲面的顶端滑下 大木块放在光滑水平面上 二者都作无摩擦的运动 而且都从静止开 始 求小球脱离大木块时的速度 解 小球m从大木块M上的弧形槽下滑的过程中 以m M 地球为系统 机械能守 恒 在m脱离M瞬间 设小球m的速度大小为v 方向水平向右 大木块M的速度大小 为V 方向向左 以最低点为重力势能零点 则有 22 11 22 mgRmMV v 且小球m下滑过程 以m M为系统 水平方向动量守恒 则水平方向有 0mMV v 联立以上两式 解得小球脱离大木块时的速度大小 2MgR mM v 方向水平向右 3 15 一质量为M的平顶小车在光滑的水平轨道上以速度 0 v做匀速直线运动 在车顶 的前部边缘A处轻放一质量为m的小物体 即放置时 小物体相对地面的速度为零 设物 体与车顶之间的摩擦系数为 为使物体不至于从车顶滑出 问车顶的长度L最短为多少 解 小物体m刚放置到在小车M上时 相对于小车向后运动 受到向前的滑动摩擦力 而加速向前运动 小车受到向后的摩擦力而减速向前运动 设