高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式（第2课时）学案 新人教A版选修45.doc

一 不等式2.基本不等式1了解两个正数的几何平均与算术平均2会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题1定理1如果a，b_，那么a2b22ab，当且仅当_ 时，等号成立2定理2(基本不等式)(1)定理2：如果_，那么，当且仅当_ 时，等号成立(2)_称为a，b的算术平均，_称为a，b的几何平均(3)基本不等式可以表述为：两个正数的_不小于(即大于或等于)它们的_(4)基本不等式的几何意义直角三角形斜边上的_不小于斜边上的_基本不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”【做一做11】 logablogba2成立的必要条件是()aa1，b1 ba0,0b1c(a1)(b1)0 d以上都不正确【做一做12】 下列各式中，最小值等于2的是()a. b.ctan d2x2x3重要的不等式链设0ab，则a_b.【做一做2】 下列结论中不正确的是()aa0时，a2b.2ca2b22abda2b24应用基本不等式求函数最值已知x，y都为正数，则(1)若xys(和为定值)，则当且仅当_时，积xy取得最大值_；(2)若xyp(积为定值)，则当且仅当_时，和xy 取得最小值_基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律【做一做31】 设x0，则函数y33x的最大值是_【做一做32】 已知lgxlgy2，则的最小值为_答案：1rab2(1)a，b0ab(2)(3)算术平均几何平均(4)中线高【做一做11】 c因为logab与logba互为倒数，符合基本不等式的结构但两个数应是正数，所以a，b同时大于1或a，b都属于区间(0,1)【做一做12】 d2x0,2x0，2x2x22，当且仅当2x2x，即x0时，等号成立3.【做一做2】 b选项a、c显然正确；选项d中，2(a2b2)(ab)2a2b22ab0，a2b2成立；而选项b中，2不成立，因为若ab0，则不满足不等式成立的条件4(1)xy(2)xy2【做一做31】 32y3(3x)32，当且仅当3x，即x时，等号成立ymax32.【做一做32】 lgxlgy2，lg(xy)2.xy102.，当且仅当xy10时，等号成立认识基本不等式中的数a，b剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”例如在试题“已知2xy1，x，yr，求xy的最大值”中，“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2xy1”，而“xy”不是定值，因而要求xy的最大值应视作求(2x)y的最大值，即xy(2x)y()2，当且仅当2xy，即x，y时，等号成立定位准确基本不等式中的“数”是使用基本不等式的大前提再如：在“设实数a，b，x，y满足a2b21，x2y23，求axby的最大值”中要求的“axby”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值axby2.但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“”的条件是这与a2b21和x2y23矛盾因此正确的解法应是三角换元法：令acos ，bsin ，xcos ，ysin ，axbycos cos sin sin (cos cos sin sin )cos()，当且仅当cos()1，即时，等号成立axby的最大值是.题型一 利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a，b，cr，且abc1.求证：(1)(1)(1)8.分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，1，可由此变形入手反思：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明题型二 利用基本不等式求函数最值【例2】 已知x，求函数y4x2的最大值分析：由x，可知4x50，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值反思：在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正；利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决题型三 基本不等式的实际应用【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：(1)两个基本关系式是解题的关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式反思：(1)应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解(2)解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向建立数学模型：根据中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向讨论不等关系：根据题目要求和中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值作出问题结论：根据中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论题型四 易错辨析【例4】 已知两正数x，y满足xy1，求z(x)(y)的最小值错解：方法一：对任意a0恒有a2，z(x)(y)4，z的最小值为4.方法二：xy1，x2y22xy1，x2y212xy，z(x)(y)(x2y2x2y21)(xy)22222.z的最小值为22.错因分析：方法一：z4成立的条件是x且y，即x1且y1，与xy1相矛盾；方法二：z22的条件是xy，即xy，这与0xy相矛盾答案：【例1】 证明：a，b，cr，abc1，1.同理：1，1.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得(1)(1)(1)8，当且仅当abc时取等号【例2】 解：x，54x0.y4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时上式等号成立当x1时，y的最大值为1.【例3】 解：(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x332(3)3.当销售x万件时，年销售收入为150%32(33t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y(t0)(2)y50()50250242，当且仅当，即t7时，等号成立，ymax42，当促销费定在7万元时，年利润最大【例4】 正解：由xy1知x2y22xy1，x2y212xy，从而有z(x)(y)(x2y2x2y21)(2x2y22xy)，令xyt(0t，t时，xy)，则zt2，令f(t)t，不难证明f(t)t在(0，上单调递减，故当t时，f(t)t取最小值，当xy时，z(x)(y)取最小值.1函数y的最小值是()a b3c d2(2012广州三中高考模拟)已知a0，b0，则的最小值是()a2 bc4 d53已知a，b，cr，且abc1，求证：9.4(1)若x0，求f(x)的最小值；(2)若x0，求f(x)的最大值5(2011山东枣庄模拟，理18)如图所示，将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花坛ampn，要求b在am上，d在an上，且对角线mn过c点，已知ab3 m，ad2 m.(1)要使矩形ampn的面积大于32 m2，则an的长应在什么范围内？(2)当an的长度是多少时，矩形ampn的面积最小？并求最小面积；(3)若an的长度不小于6 m，则当an的长度是多少时，矩形ampn的面积最小？并求出最小面积答案：1dy3x23x233，又3x230，0，y.2c因为4，当且仅当ab，1时，等号成立，即ab1时，不等式取最小值4.3分析：(1)注意“1”的代换(2)3()()()这一步为使用基本不等式创造了条件证明：3()()()32229.当且仅当abc时，取等号4解：(1)x0，由基本不等式，得f(x)12.当且仅当3x，即x2时，f(x)取最小值12.(2)x0，x0，则f(x)3x(3x)()(3x) 12，当且仅当3x，即x2时，f(x)取最大值12.5解：(1)设anx(m)(x2)，则nd(x2)m.，am，32，3x232x640，(3x8)(x8)0，2x或x8.an的长的范围为(2，)(8，)(2)由(1)知，s矩形ampn3(x2)1224.当且仅当x4时取等号当an的长度为