（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第3节 空间点 直线 平面之间的位置关系习题 理.doc

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质3,6,14点、线、面的位置关系1,4,5,11异面直线所成的角2,7,8,9,10,12,13基础对点练(时间:30分钟)1.(2016黑龙江大庆高三月考)下列说法正确的是(d)(a)若a,b,则a与b是异面直线(b)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面(c)若a,b不同在平面内,则a与b异面(d)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面解析:由异面直线的定义可知选d.2.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45,连接各边中点所得四边形的面积是(a)(a)62 (b)12(c)122(d)242解析: 如图,已知空间四边形abcd,对角线ac=6,bd=8,易证四边形efgh为平行四边形,efg或fgh为ac与bd所成的45角,故s四边形efgh=34sin 45=62,故选a.3.若直线上有两个点在平面外,则(d)(a)直线上至少有一个点在平面内(b)直线上有无穷多个点在平面内(c)直线上所有点都在平面外(d)直线上至多有一个点在平面内解析:根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.选d.4. (2016淄博实验阶段测试)如图所示,在正方体abcda1b1c1d1中,m,n分别是棱c1d1,c1c的中点.给出以下四个结论:直线am与直线c1c相交;直线am与直线bn平行;直线am与直线dd1异面;直线bn与直线mb1异面.其中正确结论的序号为(b)(a)(b)(c)(d)解析:am与c1c异面,故错;am与bn异面,故错;,正确.5.(2016福州质检)已知命题p:a,b为异面直线,命题q:直线a,b不相交,则p是q的(a)(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件解析:若直线a,b不相交,则a,b平行或异面,所以p是q的充分不必要条件,故选a.6. 如图,abcda1b1c1d1是长方体,o是b1d1的中点,直线a1c交平面ab1d1于点m,则下列结论正确的是(a)(a)a,m,o三点共线(b)a,m,o,a1不共面(c)a,m,c,o不共面(d)b,b1,o,m共面解析: 连接a1c1,ac,则a1c1ac,所以a1,c1,c,a四点共面,所以a1c平面acc1a1,因为ma1c,所以m平面acc1a1,又m平面ab1d1,所以m在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上,同理o在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上,所以a,m,o三点共线.7.(2016洛阳一模)已知正四棱柱abcda1b1c1d1中,aa1=2ab,则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于(a)(a)23(b)33(c)23(d)13解析: 如图所示,因为bd平面acc1a1,所以平面acc1a1平面bdc1.在rtcc1o中,过c作chc1o于h,连接dh,则cdh即为所求.令ab=a,显然ch=cocc1c1o=22a2a4a2+(22a)2=2a292a=23a,所以sin cdh=23aa=23,即cd与平面bdc1所成角的正弦值为23.8. (2016揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱abca1b1c1中,d是ac的中点,aa1ab=21,则异面直线ab1与bd所成的角为.解析:如图,取a1c1的中点d1,连接b1d1,因为d是ac的中点,所以b1d1bd,所以ab1d1即为异面直线ab1与bd所成的角.连接ad1,设ab=a,则aa1=2a,所以ab1=3a,b1d1=32a,ad1=14a2+2a2=32a.所以,在ab1d1中,由余弦定理得cos ab1d1=ab12+b1d12-ad122ab1b1d1=3a2+34a2-94a223a32a=12,所以ab1d1=60.答案:609. 如图所示,在直三棱柱abca1b1c1中,acb=90,aa1=2,ac=bc=1,则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是.解析:由于aca1c1,所以ba1c1(或其补角)就是所求异面直线所成的角.在ba1c1中,a1b=6,a1c1=1,bc1=5,cos ba1c1=6+1-5261=66.答案:66能力提升练(时间:15分钟)10.导学号 18702358三棱柱abc-a1b1c1中,aa1与ac,ab所成的角均为60,bac=90,且ab=ac=aa1,则a1b与ac1所成角的正弦值为(d)(a)1(b)13(c)33(d)63解析: 如图所示,把三棱柱补成四棱柱abdca1b1d1c1,连接bd1,则bd1ac1,则a1bd1就是异面直线a1b与ac1所成的角,设ab=a,在a1bd1中,a1b=a,bd1=3a,a1d1=2a,所以sin a1bd1=63.11.(2016福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错.答案:12.(2015四川卷) 如图,四边形abcd和adpq均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点m在线段pq上,e,f分别为ab,bc的中点.设异面直线em与af所成的角为,则cos 的最大值为.解析:如图,建立空间直角坐标系axyz,设ab=2,qm=m(0m2),则f(2,1,0),e(1,0,0),m(0,m,2),af=(2,1,0),me=(1,-m,-2),cos =|cos|=|afme|af|me|=|2-m5m2+5|=|m-2|5m2+25.设y=(m-2)25m2+25(0m2),则y=2(m-2)(5m2+25)-(m-2)210m(5m2+25)2=(m-2)(10m2+50)-(m-2)10m(5m2+25)2=(m-2)(50+20m)(5m2+25)2.当0m2时,y0,所以y=(m-2)25m2+25在0,2上单调递减.所以当m=0时,y取最大值,此时cos 取最大值,(cos )max=|0-2|502+25=25.答案:2513. 导学号 18702359已知三棱柱abca1b1c1的侧棱长和底面边长均为2,a1在底面abc内的射影o为底面abc的中心,如图所示.(1)连接bc1,求异面直线aa1与bc1所成角的大小;(2)连接a1c,a1b,求三棱锥c1bca1的体积.解:(1)连接ao,并延长与bc交于点d,则d是bc边上的中点.因为点o是正abc的中心,且a1o平面abc,所以bcad,bca1o.因为ada1o=o,所以bc平面ada1.所以bcaa1.又aa1cc1,所以异面直线aa1与bc1所成的角为bc1c.因为cc1bc,bc=cc1=b1c1=bb1=2,即四边形bcc1b1为正方形,所以异面直线aa1与bc1所成角的大小为4.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2,所以可求得ad=3,ao=23ad=233,a1o=aa12-ao2=263.所以vabca1b1c1=sabca1o=22,va1bcc1b1=vabca1b1c1-va1abc=423.所以vc1bca1=va1bcc1=12va1bcc1b1=223.14.导学号 18702361已知正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为d1c1,c1b1的中点,acbd=p,a1c1ef=q.求证:(1)d,b,e,f四点共面;(2)若a1c交平面dbfe于r点,则p,q,r三点共线.证明:(1) 如图所示,因为ef是d1b1c1的中位线,所以efb1d1.在正方体ac1中,b1d1bd,所以efbd.所以ef,bd确定一个平面.即d,b,f,e四点共面.(2)在正方体abcd-a1b1c1d1中,设平面a1acc1确定的平面为,又设平面bdef为.因为qa1c1,所以q.又qef,所以q.则q是与的公共点,同理,p点也是与的公共点.所以=pq.又a1c=r,所以ra1c,r且r.则rpq,故p,q,r三点共线.好题天天练1. 导学号 18702362如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是bc1,cd1的中点,则下列判断正确的是 .(填所有正确结论的序号)mn与cc1垂直;mn与ac垂直;mn与bd平行;mn与a1b1平行.解题关键:连接b1c,则点m是b1c的中点,根据三角形的中位线,证明mnb1d1.解析: 连接b1c,b1d1,则点m是b1c的中点,mn是b1cd1的中位线,所以mnb1d1,因为cc1b1d1,acb1d1,bdb1d1,所以mncc1,mnac,mnbd,故正确.又因为a1b1与b1d1相交