湖南省永州市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

2015年湖南省永州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内）1已知集合m=1，0，1，n=1，0，则mn=（）a1，0，1b1，0c1，1d1，02下列函数中是奇函数，且在区间（0，+）上单调递增的是（）ay=2xby=x2cy=x3dy=3x3在某次测量中得到的a样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88若b样本数据恰好是a样本数据都加2后所得数据，则a，b两样本的下列数字特征对应相同的是（）a众数b平均数c中位数d标准差4已知aob=60，在aob内随机作一条射线oc，则aoc小于15的概率为（）abcd5下列结论成立的是（）a若acbc，则abb若ab，则a2b2c若ab，cd，则a+cb+dd若ab，cd，则adbc6执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）a14b15c16d177一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abc4d88下列说法错误的是（）a命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x3，则x24x+30”b“x1”是“|x|0”的充分不必要条件c若p且q为假命题，则p、q均为假命题d命题p：“xr使得x2+x+10”，则p：“xr，均有x2+x+10”9已知椭圆c： +=1（ab0）的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过f2的直线l交c于a、b两点，若af1b的周长为4，则c的方程为（）a +=1b +y2=1c +=1d +=110将等腰直角三角板adc与一个角为30的直角三角板abc拼在一起组成如图所示的平面四边形abcd，其中dac=45，b=30若，则xy的值是（）abc2d二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上）11已知i是虚数单位，则（1i）i=12已知抛物线的准线方程为x=2，则抛物线的标准方程为13在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为14若变量x，y满足约束条件，则的最大值为15若存在b1，2，使得2b（b+a）4，则实数a的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c且sin2acosa=0（1）求角a的大小；（2）若b=，sinb=sinc，求a17已知数列an中，an0，a1=2，a4=16，且有an2=an1an+1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2an，cn=，求数列cn的前n项和tn18某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分成5组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a的值；（2）若该校决定从第3，4组中用分层抽样的方法抽取5名学生进入第二轮面试，并从这5名学生中随机抽取2名学生接受综合素质测试求第4组中恰有一名学生接受综合素质测试的概率19在abc中（如图1），已知ac=bc=2，acb=120，d，e，f分别为ab，ac，bc的中点，ef交cd于g，把adc沿cd折成如图2所示的三棱锥ca1bd（1）求证：e1f平面a1bd；（2）若二面角a1cdb为直二面角，求直线a1f与平面bcd所成的角20已知函数f（x）=sinxax，g（x）=bxcosx（ar，br）（1）讨论函数f（x）在区间（0，）上的单调性；（2）若a=2b且a，当x0时，证明f（x）g（x）21已知两点p（1，0），q（1，0），直线pg，qg相交于点g，且它们的斜率之积是3，设点g的轨迹为e（1）求曲线e的方程；（2）过定点f（2，0）的直线交曲线e于b，c两点，直线pb、pc分别交直线x=于点m，n，试判断以线段mn为直径的圆是否过点f，并说明理由2015年湖南省永州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内）1已知集合m=1，0，1，n=1，0，则mn=（）a1，0，1b1，0c1，1d1，0【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由m与n，求出两集合的交集即可【解答】解：m=1，0，1，n=1，0，mn=1，0，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2下列函数中是奇函数，且在区间（0，+）上单调递增的是（）ay=2xby=x2cy=x3dy=3x【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可【解答】解：ay=2x为非奇非偶函数，不满足条件by=x2为偶函数，不满足条件cy=x3是奇函数，且在区间（0，+）上单调递增的，满足条件dy=3x是奇函数，在定义域为减函数，不满足条件故选：c【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质3在某次测量中得到的a样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88若b样本数据恰好是a样本数据都加2后所得数据，则a，b两样本的下列数字特征对应相同的是（）a众数b平均数c中位数d标准差【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案【解答】解：a样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88b样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，a错平均数86，88不相等，b错中位数分别为86，88，不相等，c错a样本方差s2= （8286）2+2（8486）2+3（8686）2+4（8886）2=4，标准差s=2，b样本方差s2= （8488）2+2（8688）2+3（8888）2+4（9088）2=4，标准差s=2，d正确故选d【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题4已知aob=60，在aob内随机作一条射线oc，则aoc小于15的概率为（）abcd【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】由题意可得，属于与区间角度有关的几何概率模型，试验的全部区域角度为60，基本事件的区域角度为15，代入几何概率公式可求【解答】解：全部的区间角度为60，“aoc小于15”为事件 a，则满足a的区间角度为15，据几何概率的计算公式可得，p（a）=故选a【点评】本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解5下列结论成立的是（）a若acbc，则abb若ab，则a2b2c若ab，cd，则a+cb+dd若ab，cd，则adbc【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】a当c0时，不成立；b取a=1，b=2即可判断出；c由ab，cd，可得acbd；d利用不等式的基本性质即可判断出【解答】解：对于a当c0时，不成立；对于b取a=1，b=2，不成立；对于cab，cd，acbd，因此不成立；对于dcd，dc，又ab，adbc，因此成立故选：d【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题6执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）a14b15c16d17【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=16时，满足条件a10，退出循环，输出a的值为16【解答】解：执行程序框图，有a=2，b=2不满足条件a10，a=4不满足条件a10，a=16满足条件a10，退出循环，输出a的值为16故选：c【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查7一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abc4d8【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】几何体为一个球切割掉球体，根据几何体的体积为球的体积，把数据代入球的体积公式计算可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：几何体为一个球切割掉球体，故几何体的体积v=8，故选：d【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积和体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键8下列说法错误的是（）a命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x3，则x24x+30”b“x1”是“|x|0”的充分不必要条件c若p且q为假命题，则p、q均为假命题d命题p：“xr使得x2+x+10”，则p：“xr，均有x2+x+10”【考点】四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由逆否命题的定义知a是正确的；x1|x|0成立，但|x|0时，x1不一定成立，故b是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故c不正确；特称命题的否定是全称命题，故d是正确的【解答】解：逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则a是正确的；x1时，|x|0成立，但|x|0时，x1不一定成立，故x1是|x|0的充分不必要条件，故b是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故c不正确；特称命题的否定是全称命题，故d是正确的故选c【点评】本题考查四种命题间的关系，解题时要注意公式的灵活运用9已知椭圆c： +=1（ab0）的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过f2的直线l交c于a、b两点，若af1b的周长为4，则c的方程为（）a +=1b +y2=1c +=1d +=1【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用af1b的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：af1b的周长为4，af1b的周长=|af1|+|af2|+|bf1|+|bf2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆c的方程为+=1故选：a【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10将等腰直角三角板adc与一个角为30的直角三角板abc拼在一起组成如图所示的平面四边形abcd，其中dac=45，b=30若，则xy的值是（）abc2d【考点】向量在几何中的应用【专题】综合题；平面向量及应用【分析】不妨取da=1，则dc=1，ac=，ab=2，bc=可得xb=da+abcos75，yb=absin75，再利用共面向量基本定理即可得出【解答】解：如图所示，不妨取da=1，则dc=1，ac=，ab=2，bc=xb=da+abcos75=1+2=，yb=absin75=+1b（， +1）=+（+1）x=，y=+1，xy=3+故选：b【点评】本题考查了共面向量基本定理、含30与45角的直角三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上）11已知i是虚数单位，则（1i）i=1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】直接利用单项式乘多项式进行复数的乘法运算【解答】解：（1i）i=ii2=1+i故答案为1+i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的乘法，满足实数运算中的单项式乘多项式法则，是基础题12已知抛物线的准线方程为x=2，则抛物线的标准方程为y2=8x【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设抛物线方程为y2=2px（p0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=4，得到抛物线方程【解答】解：由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p0），准线方程是x=，抛物线的准线方程为x=2，=2，解得p=4，故所求抛物线的标准方程为y2=8x故答案为：y2=8x【点评】本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题13在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为【考点】点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程【专题】计算题【分析】根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果【解答】解：直线（cos+sin）=2直线cos+sin=2直线的一般是方程式是：x+y2=0点（1，0）到直线的距离是故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程，本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式方程14若变量x，y满足约束条件，则的最大值为3【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值【解答】解：先画出满足条件的平面区域，如图所示：的几何意义为可行域内的动点与定点（0，0）连线的斜率，所以当过点a（1，3）斜率最大，所以=3，故答案为：3【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题15若存在b1，2，使得2b（b+a）4，则实数a的取值范围是1，+）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【专题】函数的性质及应用【分析】由b1，2，知2b2，4，由2b（b+a）4，能求出实数a的取值范围【解答】解：b1，2，2b2，4，2b（b+a）4，a1实数a的取值范围是1，+）故答案为：1，+）【点评】本题考查实数a的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意指数的性质的灵活运用三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c且sin2acosa=0（1）求角a的大小；（2）若b=，sinb=sinc，求a【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出sina的值，即可确定出a的度数；（2）已知等式利用正弦定理化简，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理列出关系，将b，c，cosa的值代入即可求出a的值【解答】解：（1）由sin2acosa=0，得2sinacosacosa=0，即cosa（2sina1）=0得cosa=0或sina=，abc为锐角三角形，sina=，则a=；（2）把sinb=sinc，由正弦定理得b=c，b=，c=1，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa=3+121=1，解得：a=1【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键17已知数列an中，an0，a1=2，a4=16，且有an2=an1an+1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2an，cn=，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用已知条件判断数列是等比数列，求出公比，然后求数列an的通项公式；（2）利用bn=log2an，求出通项公式，化简cn=，利用裂项法求数列cn的前n项和tn【解答】（本小题12分）解：（1）由得数列an为等比数列，则a1=2，a4=1616=2q3得q=2故数列an的通项公式为（2）由，得则【点评】本题考查数列的求和裂项法的应用，等比数列的判断对数的运算性质，考查计算能力18某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分成5组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a的值；（2）若该校决定从第3，4组中用分层抽样的方法抽取5名学生进入第二轮面试，并从这5名学生中随机抽取2名学生接受综合素质测试求第4组中恰有一名学生接受综合素质测试的概率【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（1）根据样本的频率和等于1，求出a的值；（2）求出第3、4组分别抽取的人数，利用列举法求出从中抽两名学生的基本事件数，以及第4组恰有一名学生入选的事件数，求出概率即可【解答】解：（1）根据样本的频率和等于1，得；（0.01+0.02+a+0.06+0.07）10=1，解得a=0.04；（2）第3、4组的频率比为，第3，4组分别抽取的人数为3人与2人，设第3组的3名学生为a1，a2，a3，第4组的2名学生为b1，b2，则从5名学生中抽两名学生有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），共10种可能； 其中第4组恰有一名学生入选的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2）共6种可能，第4组恰有一名学生接受综合素质测试的概率为；答：第4组中恰有一名学生接受综合素质测试的概率为【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目19在abc中（如图1），已知ac=bc=2，acb=120，d，e，f分别为ab，ac，bc的中点，ef交cd于g，把adc沿cd折成如图2所示的三棱锥ca1bd（1）求证：e1f平面a1bd；（2）若二面角a1cdb为直二面角，求直线a1f与平面bcd所成的角【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由已知e1f为a1bc的中位线，由此能证明e1f平面a1bd（2）连结df，则a1dbd，a1dcd，从而a1d平面bdc，a1fd为直线a1f与平面bcd所成的角，由此能求出直线a1f与平面bcd所成的角【解答】（1）证明：e1，f分别为ac，bc的中点，则e1f为a1bc的中位线，故e1fa1b因为a1b面a1bd，e1f平面a1bd，所以e1f平面a1bd（2）连结df，二面角a1cdb为直二面角，a1dbd，又ac=bc且d为ab的中点，a1dcd，得a1d平面bdc，故a1fd为直线a1f与平面bcd所成的角 在abc中，ac=bc=2，acb=120，得cd=1，cf=1，dcf=60cdf为等边三角形，故df=1，则得a1fd=60故直线a1f与平面bcd所成的角为60【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知函数f（x）=sinxax，g（x）=bxcosx（ar，br）（1）讨论函数f（x）在区间（0，）上的单调性；（2）若a=2b且a，当x0时，证明f（x）g（x）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数的最值【专题】导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数f（x）=cosxa通过余弦函数的值域，讨论a与1，1的范围，判断导数的符号，然后得到函数的单调性（2）用分析法证明f（x）g（x），转化为证明，构造函数m（x）=，通过求解函数的导数，求出函数的最值，然后证明即可【解答】（本小题13分）解：（1）f（x）=sinxax，则f（x）=cosxa当a1时，f（x）0，所以函数f（x）在区间（0，）上单调递减 当a1时，f（x）0，所