第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课.pdf

湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 第六章 常微分方程初值问题的数值解法 习题课 1 欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格 库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格 库塔法的局部截断误差的阶为 2 欧拉法的绝对稳定实区域为 二阶龙格 库塔法的绝对稳定实区域为 三阶龙格 库塔法的绝对稳定实区域为 四阶龙格 库塔法的绝对稳定实区域为 3 求解初值问题欧拉法的局部截断误差是 yxy yxfy 改进欧拉法的局部截断误差是 四阶龙格 库塔法的局部截断误差是 A O h2 B O h3 C O h4 D O h5 4 改进欧拉法的平均形式公式是 A cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy B cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy C cpk pkkc kkkp yy h y yxhfyy yxhfyy D cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy 答案答案 D 5 解微分方程初值问题的方法 的局部截断误差为O h3 A 欧拉法 B 改进欧拉法 C 三阶龙格 库塔法 D 四阶龙格 库塔法 答案答案 B 解答解答 改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度 O h3 6 对Euler公式推导局部截断误差及其主项 并指出该方法是几阶方法 解 解 其局部截断为 11nnnnn xyxhfxyxyT 对在处作Talor展开 有 1 n xy n x 2 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 而且 因此其局部截断为 nnn xyxfxy 11nnnnn xyxhfxyxyT 2 3 2 hOxy h xyhxy nnn nn xyhxy 2 3 2 hOxy h n 2 hO 所以 显式Euler方法是1阶方法 其截断误差的主项是 2 2 n xy h 7 对隐式Euler公式推导局部截断误差及其主项 并指出该方法是几阶方法 解 解 其局部截断为 1111 nnnnn xyxhfxyxyT 对在处作Talor展开 有 1 n xy n x 2 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 而且 也在处作Talor展开 有 111 nnn xyxfxy n x 2 1 hOxyhxyxy nnn 所以 因此其局部截断为 1111 nnnnn xyxhfxyxyT 2 3 2 hOxy h xyhxy nnn 32 hOxyhxyhxy nnn 2 3 2 hOxy h n 2 hO 所以 隐式Euler方法也是1阶方法 其截断误差的主项是 2 2 n xy h 8 对梯形公式推导局部截断误差及其主项 并指出该方法是几阶方法 解 解 其局部截断为 2 1111 nnnnnnn xyxfxyxf h xyxyT 对在处作Talor展开 有 1 n xy n x 6 2 4 32 1 hOxy h xy h xyhxyxy nnnnn 而且 nnn xyxfxy 111 nnn xyxfxy 对 1 n xy 也在处作Talor展开 有 n x 2 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 所以 因此其局部截断为 2 1111 nnnnnnn xyxfxyxf h xyxyT 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 6 2 4 32 hOxy h xy h xyhxy nnnn 12 2 2 2 4 32 hOxy h xy h xy h xy h xy nnnnn 12 4 3 hOxy h n 3 hO 所以 梯形公式是2阶方法 其截断误差的主项是 12 3 n xy h 9 用欧拉法解初值问题 取步长h 0 2 计算过程保留4位小数 y xxyyy 解解 h 0 2 f x y xy2 首先建立欧拉迭代公式 2 1 0 4 2 0 2 1 kyxy yhxhyyyxhfyy kkk kkkkkkkk 当k 0 x1 0 2时 已知x0 0 y0 1 有 y 0 2 y1 0 2 1 4 0 1 0 800 0 当k 1 x2 0 4时 已知x1 0 2 y1 0 8 有 y 0 4 y2 0 2 0 8 4 0 2 0 8 0 614 4 当k 2 x3 0 6时 已知x2 0 4 y2 0 614 4 有 y 0 6 y3 0 2 0 614 4 4 0 4 0 4613 0 800 0 10 用欧拉预报 校正公式求解初值问题 取步长h 0 2 计算 y 0 2 y 0 4 的近似值 计算过程保留5位小数 l sin y xyyy 解解 步长h 0 2 此时f x y y y2sinx 欧拉预报 校正公式为 2 111 1 kkkkkk kkkk yxfyxf h yy yxhfyy 校正值 预报值 有迭代公式 sin 1 0 sin1 09 0 sin sin 2 sin2 08 0 sin 1 2 11 1 2 11 2 1 2 1 kkkkkk kkkkkkkk kkk kkkkk xyyxyy xyyxyy h yy xyy xyyhyy 校正值 预报值 当k 0 x0 1 y0 1时 x1 1 2 有 sin sin xyyy sin sin yy 当k 1 x1 1 2 y1 0 71549时 x2 1 4 有 sin sin xyyy 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 sin sin yy 0 52608 11 用改进的欧拉法平均公式 取步长h 0 1 求解初值问题 1 0 2 00 y xyxy 计算过程保留4位小数 解解 首先建立迭代格式 kkkcpk kkkpkkc kkkkkp y h hhxxhhyyy xhhxhhyyxhfyy hyhxyxhfyy 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 11 2 1 2 1 当k 0时 x0 0 y0 1 x1 0 1 有 11 11 2 1 0 1 01 1 01 00 1 01 1 0 2 1 2 1 y 当k 1时 x1 0 1 y1 1 11 x2 0 2 有 1242 111 1 2 1 0 1 01 2 01 01 0 1 01 1 0 2 1 2 2 y 12 1 取步长 取步长 h 0 2 用改进用改进 Euler 法求解常微分方程初值问题法求解常微分方程初值问题 22 0 yxyy 0在 在 x 0 6 上的解 上的解 2 对改进 对改进 Eluer 格式进行误差分析 格式进行误差分析 解解 1 改进 改进 Euler 公式公式 2 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 分别将分别将 x 0 2 0 4 0 6 代入上式中计算即可 代入上式中计算即可 2 改进欧拉格式改进欧拉格式 11 1 21 2 ii ii ii h 2 yykk kf x y kf xh yhk 23 4 1 2 3 iiiiii hh y xy xhy xhy xy xyxO h 1 211 2222 11 1 2 2 iii iiiixiiyii xxiixyiiyyii kf x yy x kf xh yhkf x yhfx yhk fx y h fx yh k fx yh k fx yO h 3 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 又又 1 ixiiyiiixiiyii y xfx yfx y y xfx yfx y k 代入代入 11 2 ii h 2 yykk 整理后 整理后 3 1 ii y xy xO h 13 1 取步长为0 1 试用欧拉公式求解常微分方程初值问题 1 0 1 y yxy 在x 0 4处的近似值 计算过程保留3位小数 2 试用泰勒展式估计改进欧拉公式的局部截断误差 解 1 欧拉公式为 1 1 iiii yxhyy 计算结果为 i x 0 0 1 0 2 0 3 0 4 i y 1 000 1 000 1 010 1 031 1 064 2 改进欧拉公式为 2 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 由于讨论的是局部截断误差 因而可设 ii xyy 又 yf x y 故有 xy yfx yy fx y 11iiiii xyhxyhxfyxf 2 hOfyhhfxyxf ii xyxyxii 所以 2 3 2 1 hOxy h xyhxyy iiii 而原方程的解连续可微 有 2 3 2 1 hOxy h xyhxyhxyxy iiiii 通过比较 两式中的次数低于三次的项相同 而三次项不相同 因而 h 3 11 hOyxy ii 改进欧拉公式的局部阶段误差为 3 hO 14 1 取步长取步长 用改进的 用改进的 Euler 公式求解常微分方程初值问题公式求解常微分方程初值问题 0 1h 0 0 y ey yx 在处的近似值 计算结果保留三位小数 在处的近似值 计算结果保留三位小数 0 3x 2 试分析改进欧拉法的局部截断误差 试分析改进欧拉法的局部截断误差 解解 1 改进改进 Euler 公式公式 2 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 分别将分别将 x 0 0 1 0 2 0 3 代入上式中计算即可 代入上式中计算即可 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 2 改进欧拉格式 改进欧拉格式 11 1 21 2 ii ii ii h 2 yykk kf x y kf xh yhk 23 4 1 2 3 iiiiii hh y xy xhy xhy xy xyxO h 1 211 2222 11 1 2 2 iii iiiixiiyi xxiixyiiyyii kf x yy x kf xh yhkf x yhfx yhk fx y h fx yh k fx yh k fx yO h 3 i 又 1 ixiiyiiixiiyii y xfx yfx y y xfx yfx y k 代入 11 2 ii h 2 yykk 整理后整理后 3 1 ii y xy xO h 15 取步长取步长 用预估 校正法解常微分方程初值问题 2 0 h 1 0 32 y yxy 10 x 解 32 32 1 0 32 2 0 0 111 0 1 nnnnnn nnnn yxyxyy yxyy 即 04 078 152 0 1 nnn yxy n 0 1 2 3 4 5 n x 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 n y 1 1 82 5 8796 10 7137 19 4224 35 0279 16 用预估 校正法求解 0 x 1 h 0 2 取两位小数 1 0 y yxy 解 预估 校正公式为 2 1 12 1 211 kyhxhfk yxhfk kkyy nn nn nn n 2 1 0 其中 h 0 2 yxyxf 1 0 y4 3 2 1 0 n 代入上式得 n 1 2 3 4 5 n x 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 n y 1 24 1 58 2 04 2 64 3 42 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 17 用欧拉法 预估用欧拉法 预估 校正法求一阶微分方程初值问题校正法求一阶微分方程初值问题 1 0 y yxy 在0 x 0 1 0 2近似解 解 1 用欧拉法计算公式 1 0 h nnnnnn xyyxyy1 09 0 1 0 1 0 1n 计算得 9 0 1 y 82 01 01 09 09 0 2 y 2 用预估 校正法计算公式 1 0 05 0 1 09 0 0 111 0 1 n yxyxyy xyy nnnnnn nnn 计算得 91 0 1 y 83805 0 2 y 18 写出用四阶经典的龙格 库塔方法求解下列初值问题的计算公式 3 01 01 1 1 2 0 1 0 1 y yxyxyx x y y 1 211 322 433 0 2 1 1 0 1 2222 1 1 11 0 11 2222 1 nnnn nnnnnn nnnnnn nnnn h kf xyxy hhhh kf xykxykxy hhhh kf xykxykxy kf xh yhkxhyhk 解 令 11234 1 21 32 43 1 222 0 222 22 0 22141 22140 0214 6 3 1 3 0 1 10 1 2 3 0 1 10 1 3 0 2 10 2 0 2 6 nn nnnn nn nn nn nn nn xy h yykkkkxy kyx kykx kykx kykx yyk 1234 22 kkk 19 证明对任意参数 下列龙格 库塔公式是二阶的 t 123 1 21 31 2 1 1 nn nn nn nn h yyKK Kf xy Kf xth ythK Kf xt h yt hK 湖北民族学院理学院 数值计算方法 教学辅导材料 陈以平编写 2 3 1 123 2 23 22 n nnnxnnynnnn nnnnnxnn ynnnnnnxnn yh y xy xhy xfxy xfxy xf xy xh hh yyKKyf xyfxy th fxy thf xyO hf xyfxy 证 由一元函数的泰勒展开有 又由二元函数的泰勒展开有 2 2 3 2 3 1 1 1 1 2 2 ynnnn nnnxnnynnnn nn nnnnxnnynnnn nn t hfxyt hf xyO h h yhf xyfxyfxyf xyO h yy x h yyhf xy xfxy xfxy xf xy xO h y xy 为考虑局部截断误差 设上式有 比较与 3 1111 nnn Ry xyO h t 两式 知其局部误差为 故对任意参数 公式是二阶的 20 已知一阶初值问题已知一阶初值问题 1 0 5 y yy 求使欧拉法绝对稳定的步长h值 解 由欧拉法公式 nnnn yhyhyy 51 5 1 nn yhy 51 1 相减得 01 51 51 ehehe n nn 当 151 h 时 4 00 h时 有 0 een 欧拉法绝对稳定 21 试分析分析 Euler 方法的绝对稳定性方法的绝对稳定性 nnnnnnn yhyhyyxhfyy 1 1 1 11 hyy nn 当满足h 11 h Euler方法绝对稳定 所以Euler