将数学建模融入高等数学教材.pdf

收稿日期 2004 03 22 基金项目 十五0国家级规划教材项目资助 第 21 卷第 2 期大 学 数 学Vol 21 l 2 2005 年 4 月COLLEGE MAT HEMAT ICSApr 2005 将数学建模融入高等数学教材 钮 海 王宝富 四川大学 数学学院 成都 610064 摘 要 根据新编教材编写体会 简述了将数学建模的思想与方法融入到高等数学内容中的尝试 关键词 数学建模 高等数学 教材 中图分类号 G64210 文献标识码 B 文章编号 1672 1454 2005 02 0039 03 通过多年全国大学生数学建模竞赛的实践表明 数学建模对培养学生观察力 想象力 逻辑思维能 力以及分析 解决实际问题的能力起到了很大的作用 但是限于竞赛的规模及对参赛水平的要求 参与 数学建模竞赛只是少部分学生 尽管许多院校每年也为学生开设数学建模选修课及数学建模培训班 但 课程对学生数学知识要求较高 因此这些课程并不适合大众化教育 要全面提高大学生的素质 培养有 创新精神的复合型应用人才 责任应该落在平时的传统数学课程 其中高等数学就是一个理想的载体 作为一门基础课 高等数学是理工科学生的必修课 在高等数学中引入数学建模无疑影响是最广 的 高等数学的教学不仅仅是一门知识的传授和学习现代自然科学的工具 更主要的是以此作为提高学 生的素质素养以及培养学生分析问题 逻辑思维和创新能力的一种手段和途径 这已是大多数教育工作 者的共识 然而以往的教材一直以来缺少数学建模的内容 更没有系统的数学建模体系 因此对传统教 材的改革势在必行 这次我们参与的 十五0国家级规划教材项目一个主要目的就是尝试将数学建模融 入高等数学教材 其着眼点主要有以下几个方面 1 在数学概念的引入中融入数学建模过程 中国科学院院士李大潜指出 数学的教学不能和其他科学和整个外部世界隔离开来 只是一个劲 地在数学内部的概念 方法和理论中打圈子 这不利于了解数学的概念 方法和理论的来龙去脉 不利于 启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题 不利于提高学生的数学素养 在开设和改进数 学建模课程的基础上 逐步将数学建模的精神 内涵和方法有机地体现到一些重要的数学课程中去 并 在条件成熟时最终取消专门开设的数学建模类课程 或将其变为课外训练的辅助环节 应该是一个努力 的方向 0数学建模的思想和方法对于学生的创造性思维 意识和能力具有特殊的意义和良好的效果 高等数学的微积分概念是现代数学的精髓之一 事实上 在高等数学的微积分概念的形成中本身就 渗透着数学建模思想 因此在数学概念的引入时 融入数学建模过程是完全可行的 为了在概念的引入中展现数学建模 首先必须提出具有实际背景的引例 例如在新教材中重积分的引例 我们是用 飞机机翼的质量问题0为实例提出的 实例如下 在使用计算机辅助设计 CAD 进行研制新型飞机时 为了缩短研制周期 减少开发费用 在设计 飞机的过程中 飞机工程师需要根据所设计的飞机机体的形状 用计算机计算设计好后的飞机的机体重 量 借以分析飞机空气动力特性以及估计飞机载油量 由于机翼在飞机飞行的空气动力学上具有重要作用 因此工程师首先需要解决机翼的质量问题 0 其次 根据数学建模的规律 在处理实例的过程中 可以按照 展开机理分析 提出合理假设 建立数 学模型0这几个数学建模过程进行 具体过程如下 i 展开机理分析 根据空气动力学原理 设计飞机时 机翼各个部分的厚度是不同的 现在 我们以 机翼正面的垂直投影作为求解机翼重量的研究对象 其边界为平面曲线 在机翼正面投影所在平面 根 据其边界曲线适当建立平面直角坐标系 则机翼正面投影就可以用平面闭区域表示 同时 将此平面区 域内任意一点 P 作为相应机翼上的一条垂直细线的质点 根据点 P 处机翼的垂直厚度 细线的长度 点 P 在该平面区域的密度则可表示为与该点相关的二元函数 这样机翼重量问题即可描述为物理学中 的非匀质平面物体的质量问题 ii 给出合理的假设 点 P 的密度在该平面区域是连续函数 由于密度是连续的 因此在机翼正面投 影上任意一点的很小的邻域内可将密度函数近似看成常数 所以 对这一微小区域 其质量近似等于机 翼密度 小区域面积 iii 建立数学模型 设飞机机翼正面投影占有 xOy 面上的有界闭区域为D 在点 x y 处机翼的面密度为 Q x y 面密度指单位面积的质量 现在要求该机翼的质量 M 首先将机翼正面投影 区域 D 划分成 n 个直径很小的区域 D1 D2 Dn 在每一个区域 Di上任意取一点 Ni Gi 由于 Ni Gi 与 Di中其它各点之间的距离很小且 Q x y 为连续函数 因此 Di中各点处的面密度近似地等于 Q Ni Gi 所以 第 i 个小区域的质量Mi近 似地等于Q Ni Gi Ri 其中 Ri是 Di面积 即 MiUQ Ni Gi Ri 1 i n 求和得到整个机翼的质量 M 的近似值 M E n i 1 MiU E n i 1 Q Ni Gi Ri 显然 上述整个计算过程中的误差主要产生于将 Di上的密度函数看成常数Q Ni Gi 减少误差 的一个方法就是将 Di切得更细小 令 K是 D1 D2 Dn的直径的最大值 则当 K y0 时 上述和式将趋于质量 M 的精确值 即 M lim K y0E n i 1 Q Ni Gi Ri 因此 机翼的质量可表示为一个和式的极限 0 通过以上过程 得出二重积分问题的基本思想 1 将整体量划分成部分量之和 2 局部以常量 代替变量 求出部分量的近似值 3 求和得出整体量的近似值 4 取极限得出整体量的精确值 由 此很自然抽象出二重积分的概念 2 在求解微积分计算问题中保持数学模型引例 为了保持数学建模体系 因此在求解微积分计算问题时 应该从引入概念的实例着手 例如在提出解决二重积分计算问题 我们仍然以 飞机机翼的质量问题0为对象 具体求解过程如 下 模型求解 考虑置于平面直角系下飞机机翼 假设机翼正面投影所占区域为 D D 是由直线x a x b a b 以及曲线 y y1 x y y2 x 所围成 其中当 a x b 时 y1 x y2 x 又设在 D 内任一 点 x y 处 机翼的密度为 f x y 由重积分的概念及引例知机翼的质量 M k D f x y dxdy 在 a b 内任取一点 x 用直线 x x 切割区域 D 记所得的机翼上线状切片为 M 当 x 取固定值 40大 学 数 学 第 21 卷 时 M 质量与y 轴上的区域 y1 x y2 x 有关 并在 y1 x y y2 x 时 M 上一点y 的相应密度 为f x y 故 M 的质量为Q y2 x y1 x f x y dy 现将 M 沿平行于 y 轴方向向 x 轴收缩 使 M 上每一点都收缩到 x 轴上 这时 M 的质量就完 全集中于点x 如果将机翼看成是由无数个稠密排列的与 M 类似的线状组织所构成 并采用与 M 同样的方法对这些机翼组织进行收缩 则整个机翼就收缩为 x 轴上位于 a b 段的一个线状物体 L 而 在点 x 处 该物体 的线密度就等于 M 的 质量Q y2 x y1 x f x y dy 因此 L 即机翼 的质量 M Q b aQ y2 x y1 x f x y dy dx 所以 k D f x y dxdy Q b aQ y2 x y1 x f x y dy dx 3 在微积分章节后加入相应数学试验内容 数学试验是对数学建模内容的加强 通过数学试验可以让学生进一步掌握数学建模的方法和思想 同时也让学生学会使用数学软件处理微积分中所遇到的计算问题 因此在每章内容之后 我们在新教材 中引入了数学试验 考虑到章节内容衔接以及学生数学知识的限制 合适的数学试验内容的选取很重要 在重积分一 章 对应于二重积分 我们以典型的 通讯卫星的覆盖面积问题0作为建模例题 试验练习则选择 火山喷 发后高度变化问题0 新教材在融入数学建模的同时还增加大量的实际例题和应用实例部分 这里不再 赘述 经过一年的教学实践 学生的反映对高等数学的学习兴趣普遍增强 对用数学方法处理实际问题也 有了初步体会 数学建模融入的尝试体现出了效果 参 考 文 献 1 姜启源 数学模型 M 北京 高等教育出版社 1993 8 2 徐茂良 在传统数学课中渗透数学建模思想 J 数学的实践与认识 2002 32 4 702 704 3 毛京中 创新力的培养与工科数学教学的创新 J 大学数学 2003 19 1 51 53 4 李心灿 高等数学应用 205 例 M 北京 高等教育出版社 1997 8 Permeating Ideas of Mathematical Modeling in the Higher Mathematical Teaching Material NI U Hai WA NG Bao f u Department of Mathematics Sichuan University Chengdu 610064 China Abstract New ideas and methods based on experiences of author from teaching pratice writing teaching material and directing mathematical modeling competition were involved in teaching program of higher mathematics in orde