最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第九章解析几何 (6).pdf

第九章第九章解析几何 9 4 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 专题 1 直线与圆的位置关 系 2015江西重点中学协作体一模 直线与圆的位置关系 选择题 理 11 已知两点 A 1 2 B 3 1 到直线 l的距离分别是 则满足条件的直线 l 共有 条 A 1B 2C 3D 4 解析 A 1 2 到直线 l的距离为 直线 l 是以 A 为圆心 为半径的圆的切线 同理 B 3 1 到直线 l的距离为 直线 l是以 B 为圆心 为半径的圆的切线 满足条件的直线 l为以 A为圆心 为半径的圆和以 B 为圆心 为半径的圆的公切线 AB 两个半径分别为 两圆外切 两圆公切线有 3 条 故满足条件的直线 l有 3条 答案 C 专题 4 空间直角坐标 系 2015江西三县部分高中一模 空间直角坐标系 选择题 理 9 空间直角坐标系中 点 M 2 5 8 关于 xOy平面对称的点 N 的坐标为 A 2 5 8 B 2 5 8 C 2 5 8 D 2 5 8 解析 由题意 关于平面 xOy 对称的点横坐标 纵坐标保持不变 竖坐标变为它的相反数 从而有点 M 2 5 8 关于平面 xOy对称的点的坐标为 2 5 8 答案 C 9 5 椭圆椭圆 专题 1 椭圆的定义及标准方 程 2015江西重点中学协作体一模 椭圆的定义及标准方程 选择题 理 3 已知椭圆 G 的中心在坐标原 点 长轴在 x轴上 离心率为 且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12 则椭圆 G 的方程为 A 1B 1 C 1D 1 解析 由题意设椭圆 G 的方程为 1 a b 0 因为椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12 所以 a 6 因为离心率为 所以 解得 c 3 所以 b2 a2 c2 36 27 9 则椭圆 G 的方程为 1 答案 A 专题 2 椭圆的几何性 质 2015江西师大附中 鹰潭一中模拟 椭圆的几何性质 选择题 理 11 椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦 点分别为 F1 F2 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P 使得 F1F2P 为等腰三角形 则椭圆 C 的离心率的 取值范围是 A B C D 解析 当点 P 与短轴的顶点重合时 F1F2P构成以 F1F2为底边的等腰三角形 此种情况有 2 个满足条件的等腰 F1F2P 当 F1F2P 构成以 F1F2为一腰的等腰三角形时 以 F2P 作为等腰三角形的底边为例 F1F2 F1P 点 P 在以 F1为圆心 半径为焦距 2c 的圆上 因此 当以 F1为圆心 半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 个交点时 存在 2个满足条件的等腰 F1F2P 在 F1F2P1中 F1F2 PF1 PF2 即 2c 2c 2a 2c 由此得知 3c a 所以离心率 e 当 e 时 F1F2P 是等边三角形 与 中的三角形重复 故 e 同理 当 F1P 为等腰三角形的底边时 在 e 且 e 时也存在 2 个满足条件的等腰 F1F2P 这样 总共有 6 个不同的点 P使得 F1F2P 为等腰三角形 综上所述 离心率的取值范围是 e 答案 D 2015江西重点中学协作体二模 椭圆的几何性质 选择题 理 12 已知圆 O1 x 2 2 y2 16 和圆 O2 x2 y2 r2 0 re2 则 e1 2e2的最小值是 A B C D 解析 当动圆 M与圆 O1 O2都相内切时 MO2 MO1 4 r 2a e1 当动圆 M与圆 O1相内切而与 O2相外切时 MO1 MO2 4 r 2a e2 e1 2e2 令 12 r t 10 tb 0 由题意得解得 a 2 c 1 b 所以椭圆的标准方程为 1 2 当直线 l与 x 轴垂直时 B1 B2 又 F1 1 0 此时 0 所以以 B1B2为直径的圆不经过 F1 不满足条件 当直线 l不与 x 轴垂直时 设 l y k x 1 由即 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 因为焦点在椭圆内部 所以恒有两个交点 设 B1 x1 y1 B2 x2 y2 则 x1 x2 x1x2 因为以 B1B2为直径的圆经过 F1 所以 0 又 F1 1 0 所以 1 x1 1 x2 y1y2 0 即 1 k2 x1x2 1 k2 x1 x2 1 k2 0 所以解得 k2 由得 k2x2 2k2 4 x k2 0 因为直线 l与抛物线有两个交点 所以 k 0 设 A1 x3 y3 A2 x4 y4 x3 x4 2 x3x4 1 所以 A1A2 x3 x4 p 2 2 2015江西上饶一模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 设椭圆 E 1 a b 0 其长轴长是短轴长 的倍 过焦点且垂直于 x轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 1 求椭圆 E 的方程 2 设过右焦点 F2且与 x轴不垂直的直线 l 交椭圆 E于 P Q 两点 在线段 OF2 O 为坐标原点 上是否存 在点 M m 0 使得以 MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说 明理由 解 1 不妨设焦点的坐标是 c 0 则过焦点且垂直于 x轴的直线与椭圆的交点坐标为 c y0 代入 1可得 y0 因为过焦点且垂直于 x轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 所以 2 2 由题意得 a b 代入上式解得 a 2 b 故所求椭圆方程为 1 2 假设在线段 OF2上存在点 M m 0 0 m1 1 求椭圆 C的方程 用 a 表示 2 求三角形 F1AB面积的最大值 解 1 由题意知 椭圆的上顶点为 0 1 下顶点为 0 1 当 B 与上顶点 或下顶点 重合时 三角形 F1BF2的面积最大 S 2c 1 c 椭圆 C 的方程为 y2 1 2 AB 2c sin c AB sin 为 F2B 与 x 轴正向所成的角 设椭圆的右焦点 F2 c 0 直线 AB y k x c 与椭圆联立 x2 a2k2 x c 2 a2 1 a2k2 x2 2a2k2cx a2k2c2 a2 0 x1 x2 x1x2 AB S c AB sin 1 当 a 时 S a 2 当 1 ab 0 上的点 P 到左 右两焦点 F1 F2的距离之和为 2 离心率为 1 求椭圆的方程 2 过右焦点 F2的直线 l交椭圆于 A B 两点 若 y轴上一点 M满足 MA MB 求直线 l 斜率 k 的值 是否存在这样的直线 l 使 S ABO的最大值为 其中 O 为坐标原点 若存在 求出直线 l 的方程 若不存 在 说明理由 解 1 PF1 PF2 2a 2 a e c 1 b2 a2 c2 2 1 1 椭圆的标准方程为 y2 1 2 已知 F2 1 0 设直线的方程为 y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 联立直线与椭圆方程化简得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 x1 x2 x1x2 y1 y2 k x1 x2 2k AB 的中点坐标为 G 当 k 0 时 不满足条件 当 k 0 时 MA MB kMG 整理得 2k2 3k 1 0 解得 k 1 或 k 当 k 0 时 直线方程为 x 1 代入椭圆方程 此时 y S ABO 当 k 0 时 S ABO y1 y2 k R k 0 4 1 S ABOb 0 的 离心率为 右焦点为 F1 点 F1到直线 ax by 0 的距离为 1 求椭圆的方程 2 点 M 在圆 x2 y2 b2上 且 M 在第一象限 过 M 作圆 x2 y2 b2的切线交椭圆于 P Q 两点 求 证 PF1 QF1 PQ 为定值 解 1 左焦点设为 c 0 则 c 0 到直线 ax by 0 的距离为 d b2 c2 a2 由 得 a2 9 b2 8 椭圆方程为 1 2 证明 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 1 PF1 0 x1 EF 2 动点 Q 的轨迹是以 E 0 F 0 为焦点 长轴长 2a 4 的椭圆 即动点 Q 的轨迹方程为 y2 1 2 依题结合图形知直线 l的斜率不为零 设直线 l的方程为 x my n m R 直线 l x my n 0 与圆 O x2 y2 1 相切 1得 n2 m2 1 又 点 A B 的坐标满足 消去 x整理得 m2 4 y2 2mny n2 4 0 由韦达定理得 y1 y2 y1y2 又 AB y1 y2 点 O 到直线 l的距离 d 1 S AOB d AB y1 y2 n y1 y2 2 2 x1x2 y1y2 my1 n my2 n y1y2 m2 1 y1y2 mn y1 y2 n2 又 令 t 1 m2 即有 t 3 6 S AOB 2 2 2 t t 6 S AOB S AOB的取值范围为 9 6 双曲线双曲线 专题 2 双曲线的几何性 质 2015江西重点中学协作体一模 双曲线的几何性质 选择题 理 10 点 P 在双曲线 1 a 0 b 0 上 F1 F2是这条双曲线的两个焦点 F1PF2 90 且 F1PF2的三条边长成等差数列 则此双曲线的离 心率是 A B C 2D 5 解析 设 PF2 PF1 F1F2 成等差数列 且分别设为 m d m m d 则由双曲线定义和勾股定理可知 m m d 2a m d 2c m d 2 m2 m d 2 解得 m 4d 8a c d a d 故离心率 e 5 答案 D 2015江西南昌十所省重点中学高考模拟 双曲线的几何性质 选择题 理 11 以椭圆 1 的长轴顶点 为焦点 焦点为顶点的双曲线 C 其左 右焦点分别是 F1 F2 已知点 M 坐标为 2 1 双曲线 C 上点 P x0 y0 x0 0 y0 0 满足 则等于 A 2B 4C 1D 1 解析 因为椭圆方程为 1 所以其长轴顶点坐标为 3 0 3 0 焦点坐标为 2 0 2 0 所以双曲线方程为 1 PF1 PF2 4 由 可得 所以 MP平分 F1PF2 结合平面几何知识可得 F1PF2的内心在直线 x 2 上 所以点 M 2 1 就是 F1PF2的内心 故 1 4 1 2 答案 A 2015江西新余一中高考模拟 双曲线的几何性质 选择题 理 12 设直线 x 3y m 0 m 0 与双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别交于点 A B 若点 P m 0 满足 PA PB 则该双曲线的离心率是 A B C D 1 解析 由双曲线的方程可知 渐近线为 y x 分别与 x 3y m 0 m 0 联立 解得 A B AB 的中点坐标为 点 P m 0 满足 PA PB 3 a 2b c b e 答案 A 2015沈阳大连二模 双曲线的几何性质 填空题 理 16 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 左 右顶点为 A1 A2 左 右焦点为 F1 F2 P为双曲线 C 上异于顶点的一动点 直线 PA1斜率为 k1 直线 PA2斜率为 k2 且 k1k2 1 又 PF1F2内切圆与 x 轴切于点 1 0 则双曲线方程为 答案 x2 y2 1 2015江西三县部分高中一模 双曲线的几何性质 选择题 理 12 如图 F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 以坐标原点 O 为圆心 OF1 为半径的圆与该双曲线左支交于 A B 两点 若 F2AB 是等边三角形 则双曲线的离心率为 A B 2C 1D 1 解析 连接 AF1 F1F2是圆 O 的直径 F1AF2 90 即 F1A AF2 又 F2AB是等边三角形 F1F2 AB AF2F1 AF2B 30 因此 Rt F1AF2中 F1F2 2c F1A F1F2 c F2A F1F2 c 根据双曲线的定义 得 2a F2A F1A 1 c 解得 c 1 a 双曲线的离心率为 e 1 答案 D 2015江西重点中学十校二模联考 双曲线的几何性质 选择题 理 9 线段 AB 是圆 C1 x2 y2 2x 6y 0 的一条直径 离心率为的双曲线 C2以 A B为焦点 若 P 是圆 C1与双曲线 C2的一个公共点 则 PA PB A 2B 4C 4D 6 解析 圆 C1 x2 y2 2x 6y 0 的半径 r 线段 AB 是圆 C1 x2 y2 2x 6y 0 的一条直径 离心率为的双曲线 C2以 A B 为焦点 双曲线 C2的焦距 2c AB 2 P 是圆 C1与双曲线 C2的一个公共点 PA PB 2a PA 2 PB 2 40 PA 2 PB 2 2 PA PB 4a2 c e a 2 PA PB 32 PA 2 PB 2 2 PA PB PA PB 2 72 PA PB 6 答案 D 9 7 抛物线抛物线 专题 2 抛物线的几何性 质 2015沈阳大连二模 抛物线的几何性质 选择题 理 8 设 F 为抛物线 C y2 2px 的焦点 过 F且倾斜角 为 60 的直线交曲线 C 于 A B 两点 B 点在第一象限 A点在第四象限 O 为坐标原点 过 A 作 C的准 线的垂线 垂足为 M 则 OB 与 OM 的比为 A B 2C 3D 4 答案 C 专题 3 直线与抛物线的位置关 系 2015江西上饶一模 直线与抛物线的位置关系 选择题 理 11 已知抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 点 M 2 2 过点 F 且斜率为 k的直线与 C 交于 A B 两点 若 0 则 k A B C D 2 解析 由抛物线 C y2 8x得焦点 2 0 由题意可知 斜率 k存在 设直线 AB 为 y k x 2 代入抛物线方程 得到 k2x2 4k2 8 x 4k2 0 0 设 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 4 x1x2 4 y1 y2 y1y2 16 又 0 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 4 0 k 2 答案 D 2015江西师大附中 鹰潭一中模拟 直线与抛物线的位置关系 解答题 理 20 已知抛物线 E y2 2px p 0 的准线与 x 轴交于点 K 过点 K 作圆 C x 2 2 y2 1 的两条切线 切点为 M N MN 1 求抛物线 E 的方程 2 设 A B是抛物线 E上分别位于 x轴两侧的两个动点 且 其中 O 为坐标原点 求证 直线 AB必过定点 并求出该定点 Q 的坐标 过点 Q作 AB 的垂线与抛物线交于 G D 两点 求四边形 AGBD 面积的最小值 解 1 由已知可得 K 圆 C x 2 2 y2 1 的圆心 C 2 0 半径 r 1 设 MN与 x轴交于 R 由圆的对称性可得 MR 于是 CR 即有 CK 3 即有 2 3 解得 p 2 则抛物线 E 的方程为 y2 4x 2 证明 设直线 AB x my t A B 联立抛物线方程可得 y2 4my 4t 0 故 y1 y2 4m y1y2 4t 由 可知 y1y2 解得 y1y2 18 或 2 舍去 即 4t 18 解得 t 则有 AB 恒过定点 Q 由 可得 AB y2 y1 同理 GD y2 y1 则四边形 AGBD 的面积 S AB GD 4 令 m2 2 则 S 4是关于 的增函数 则当 2时 S 取得最小值 且为 88 当且仅当 m 1 时 四边形 AGBD 面积的最小值为 88 2015江西新余一中高考模拟 直线与抛物线的位置关系 填空题 理 16 已知抛物线 y2 2px p 0 的 焦点为 F F 关于原点的对称点为 P 过 F作 x 轴的垂线交抛物线于 M N 两点 有下列四个命题 PMN必为直角三角形 PMN不一定为直角三角形 直线 PM 必与抛物线相 切 直线 PM不一定与抛物线相切 其中正确的命题是 填序号 解析 抛物线方程为 y2 2px p 0 焦点为 F 则 P 点坐标为 可求出点 M N PF MN p MPN 90 故 正确 不正确 联立直线 PM方程与抛物线方程 得 x2 px 0 其判别式 0 直线 PM必与抛物线相切 故 正确 不正确 综上 正确 答案 9 8 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 专题 1 轨迹与轨迹方 程 2015江西重点中学协作体一模 轨迹与轨迹方程 解答题 理 20 设 F 点 A 在 x轴上 点 B 在 y 轴上 且 2 0 1 当点 B 在 y 轴上运动时 求点 M 的轨迹 E 的方程 2 设点 F 是轨迹 E上的动点 点 R N 在 y轴上 圆 x 1 2 y2 1 内切于 PRN 求 PRN 的面积的最小值 解 1 设 M x y 由 2 得点 B为线段 AM 的中点 B A x 0 由 x 0 得 y2 2x 动点 M的轨迹 E 的方程为 y2 2x 2 设 P x0 y0 R 0 b N 0 c