河南省中原、豫南九校联考高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

河南省中原名校、豫南九校联考 2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合p=x|x2x20，q=x|log2（x1）1，则（rp）q等于( )a2，3b（，13，+）c（2，3d（，1（3，+）2设复数z1=1i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1z2的虚部为( )a1b1cidi3已知sin（）=，那么sin2x的值为( )abcd4记数列an的前n项和为sn，且sn=2（an1），则a2=( )a4b2c1d25“m0”是“函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件6若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )a2bcd7已知loga1，（）b1，2c=，则( )aabcbcabcacbdcba8一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )abc2d9如图所示的程序框图中输出的结果为( )a2b2cd10已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( )a（0，1）b（1，+）c（1，0）d（，1）11o是平面上一点，a、b、c是平面上不共线三点，动点p满足：=+（+），1，2，已知=1时，|=2，则+的最大值为( )a2b24c48d9612抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足afb=120过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最小值为( )abc1d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是_14已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为_15表面积为6的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为_16已知an的通项an=3n11，若为数列an中的项，则所有m的取值集合为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角c的大小，（2）若c=2，求使abc面积最大时a，b的值18某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制成如图所示的频率分布直方图（）求直方图中x的值；（）求续驶里程在200，300的车辆数；（）若从续驶里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率19如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，acbc，e、f分别在线段b1c1和ac上，b1e=3ec1，ac=bc=cc1=4（1）求证：bcac1；（2）试探究满足ef平面a1abb1的点f的位置，并给出证明20设函数f（x）=x2+axlnx（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1上是减函数，求a的取值范围21已知椭圆m的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆m的方程；（2）设直线l与椭圆m相交于a、b两点，以线段oa、ob为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆m上，o为坐标原点，求点o到直线l的距离的最小值四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b，c两点，且，作直线af与圆e相切于点f，连结ef交bc于点d，已知圆e的半径为2，ebc=30（1）求af的长；（2）求证：ad=3ed【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为 （为参数），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin（+）=4（1）求曲线c1的普通方程与曲线c2的直角坐标方程；（2）设p为曲线c1上的动点，求点p到c2上点的距离的最小值，并求此时点p坐标【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|2x1|（1）若对任意a、b、cr（ac），都有f（x）恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）3x河南省中原名校、豫南九校联考2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合p=x|x2x20，q=x|log2（x1）1，则（rp）q等于( )a2，3b（，13，+）c（2，3d（，1（3，+）考点：交、并、补集的混合运算 专题：函数的性质及应用；集合分析：由一元二次不等式的解法求出集合p，由对数函数的性质求出集合q，再由补集、交集的运算分别求出rp和（rp）q解答：解：由x2x20得，1x2，则集合p=x|1x2，由log2（x1）1=得0x12，解得1x3，则q=x|1x3所以rp=x|x1或x2，且（rp）q=x|2x3=（2，3，故选：c点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题2设复数z1=1i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1z2的虚部为( )a1b1cidi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数z1=1i，z2=2+i，z1z2=（1i）（2+i）=3i其虚部为1故选：a点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题3已知sin（）=，那么sin2x的值为( )abcd考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x），再利用二倍角公式求得它的值解答：解：已知sin（）=，sin2x=cos（2x）=12 =12=，故选b点评：本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题4记数列an的前n项和为sn，且sn=2（an1），则a2=( )a4b2c1d2考点：数列的求和；数列递推式 专题：计算题分析：先根据题设中递推式求得a1，进而根据s2=2（a21）求得答案解答：解：s1=2（a11），a1=2a1+a2=2（a21），a2=4故选a点评：本题主要考查了数列求和问题属基础题5“m0”是“函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：利用特殊值法，令m=0，代入可以求出函数f（x）=m+log2x（x1）的零点，从而进行判断；解答：解：m0，函数f（x）=m+log2x（x1），又x1，log2x0，y=log2x在x1上为增函数，求f（x）存在零点，要求f（x）0，必须要求m0，f（x）在x1上存在零点；若m=0，代入函数f（x）=m+log2x（x1），可得f（x）=log2x，令f（x）=log2x=0，可得x=1，f（x）的零点存在，“m0”是“函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点”充分不必要条件，故选a；点评：此题以对数函数为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题6若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )a2bcd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线的离心率为，可得，解得即可解答：解：双曲线的离心率为，解得其渐近线的斜率为故选：b点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题7已知loga1，（）b1，2c=，则( )aabcbcabcacbdcba考点：不等关系与不等式 专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性即可得出解答：解：，；，b0；，cab故选：b点评：本题考查了对数函数、指数函数、幂函数的单调性，属于基础题8一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )abc2d考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：此几何体是底面积是s=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出解答：解：此几何体是底面积是s=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，v=点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题9如图所示的程序框图中输出的结果为( )a2b2cd考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当i=2014时，退出循环，输出a的值为2解答：解：执行程序，有i=1，a=2i=2，a=1i=3，a=i=4，a=2i=5，a=1a的取值周期为3，2013=3671i=2013时，a的值与i=3时一样，即a=i=2014时，a=2故选：a点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查10已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( )a（0，1）b（1，+）c（1，0）d（，1）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：数形结合：要使方程f（x）=k有两个不相等的实根，只需y=f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数f（x）=的图象，根据图象即可求得k的范围解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得：当k（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，即方程f（x）=k有两个不同的实根，故选：a点评：本题考查方程根的存在性及根的个数判断，属中档题，数形结合是解决本题的强有力工具11o是平面上一点，a、b、c是平面上不共线三点，动点p满足：=+（+），1，2，已知=1时，|=2，则+的最大值为( )a2b24c48d96考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据向量的数量积，以及数量的加减运算，以及二次函数的性质即可求出最大值解答：解：由满足：=+（+），得=（+），当=1时，由|=2，得+=，|+|=2，又+=（+）=（+）=（+）（+2（+），=（21）（+）2=4（22）=8（）22，1，2，当=2时，有最大值，最大值为24，故选：b点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想，属于中档题12抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足afb=120过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最小值为( )abc1d考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先画出图象、做出辅助线，设|af|=a、|bf|=b，由抛物线定义得2|mn|=a+b，由题意和余弦定理可得|ab|2=（a+b）2ab，再根据基本不等式，求得|ab|2的取值范围，代入化简即可得到答案解答：解：如右图：过a、b分别作准线的垂线aq、bp，垂足分别是q、p，设|af|=a，|bf|=b，连接af、bf，由抛物线定义，得|af|=|aq|，|bf|=|bp|在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab，配方得|ab|2=（a+b）2ab，因为ab，则（a+b）2ab（a+b）2=（a+b）2，即|ab|2（a+b）2，所以=3，则，即所求的最小值是，故选：d点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是6考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：通过平均数求出x，然后利用方差公式求解即可解答：解：由=34，解得x=32所以方差为：=6故答案为：6点评：本题考查均值与方差的计算，基本知识的考查14已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数求得z=4x+y的最大值解答：解：由约束条件作出可行域如图，由z=4x+y，得y=4x+z，由图可知，当直线y=4x+z过a时，直线在y轴上的截距最大，z最大，等于42+0=8故答案为：8点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15表面积为6的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为2考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：导数的概念及应用；空间位置关系与距离分析：设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积v的解析式，求出v取最大时的h与r的比值解答：解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，表面积为2r2+2rh=6，即r2+rh=3，h=；圆柱的体积为v=r2h=r2=r（3r2）=3rr3，v=33r2，令v=0，解得r=1，此时v最大；此时h=2，=2故答案为：2点评：本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题16已知an的通项an=3n11，若为数列an中的项，则所有m的取值集合为3或4考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式进行计算即可解答：解：=am+9+，an=3n11=3（n4）+1，若为数列an中的项，则必须是3的倍数，则am在1，2，3，6中取值，由于am1是3的倍数，am=1或2，由am=1得m=4，由am=2，得m=3，故m=3或4，故答案为：3或4点评：本题主要考查数列递推关系的应用，根据等差数列的通项公式进行化简和运算是解决本题的关键三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角c的大小，（2）若c=2，求使abc面积最大时a，b的值考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sina不为0求出cosc的值，即可确定出c的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosc的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形abc面积的最大值，以及此时a与b的值即可解答：解：（1）a+c=b，即cos（a+c）=cosb，由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinacosc+sinbcosc=sinccosb，即2sinacosc=sinbcosc+cosbsinc=sin（b+c）=sina，sina0，cosc=，c为三角形内角，c=；（）c=2，cosc=，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc，即4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab，（当且仅当a=b时成立），s=absinc=ab，当a=b时，abc面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，abc的面积最大为点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制成如图所示的频率分布直方图（）求直方图中x的值；（）求续驶里程在200，300的车辆数；（）若从续驶里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：（i）利用小矩形的面积和为1，求得x值；（ii）求得续驶里程在200，300的车辆的频率，再利用频数=频率样本容量求车辆数；（iii）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算解答：解：（）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）50=1，x=0.003；（）由题意可知，续驶里程在200，300的车辆数为：20（0.00350+0.00250）=5；（）由（）及题意可知，续驶里程在200，250）的车辆数为3，续驶里程在250，300的车辆数为2，从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；其中恰有一辆汽车的续驶里程为200，250）抽法有=6种，恰有一辆车的续驶里程为200，250）的概率为=点评：本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高组距=19如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，acbc，e、f分别在线段b1c1和ac上，b1e=3ec1，ac=bc=cc1=4（1）求证：bcac1；（2）试探究满足ef平面a1abb1的点f的位置，并给出证明考点：直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）证法一：利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：利用面面平行的判定定理解答：证明：（1）aa1平面abc，aa1bc，又acbc，aa1ac=a，bc平面aa1c1c，bcac1（2）解法一：当af=3fc时，ef平面aa1b1b证明如下：在平a1b1c1内过e作ega1c1交a1b1于g，连接agb1e=3ec1，又afa1c1且=，afeg且af=eg，四边形afeg为平行四边形，efga，又ef面aa1b1b，ag平面aa1b1b，ef平面aa1b1b解法二：当af=3fc时，fe平面a1abb1证明：在平面abc内过e作egbb1交bc于g，连接fgegbb1，ega1abb1，bb1平面a1abb1，eg平面a1abb1b1e=3ec1，bg=3gcfgab，又ab平面a1abb1，fg平面a1abb1fg平面a1abb1又egfg=f，平面efg平面a1abb1ef平面a1abb1点评：熟练掌握线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键20设函数f（x）=x2+axlnx（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1上是减函数，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）求出函数f（x）的导数，利用导数的正负性判断单调性，从而求函数的极值；（2）求出g（x）的导数，化简构造函数h（x），求出h（x）的导数，讨论函数h（x）正负性，判断h（x）的单调性，根据h（x）的正负性，判断g（x）的单调性，从而求出参数a的取值范围解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2+xlnx，定义域为（0，+），f（x）=2x+1=，当0x，时f（x）0，当x时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，（2）g（x）=，定义域为（0，+），g（x）=，令h（x）=，则h（x）=2x+2a，h（x）=20，故h（x）在区间（0，1上单调递减，从而对（0，1，h（x）h（1）=2a当2a0，即a2时，h（x）0，y=h（x）在区间（0，1上单调递增，h（x）h（1）=0，即f（x）0，y=f（x）在区间（0，1上是减函数，a2满足题意；当2a0，即a2时，由h（1）0，h（）=+a2+20，01，且y=h（x）在区间（0，1的图象是一条连续不断的曲线，y=h（x）在区间（0，1有唯一零点，设为x0，h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1上单调递减，h（x0）h（1）=0，而h（ea）=e2a+（2a）ea+aea+lnea0，且y=h（x）在区间（0，1的图象是一条连续不断的曲线，y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x，即y=f（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x，又f（x）在区间（0，x）上单调递减，在（x，1）上单调递增，矛盾，a2不合题意；综上所得：a的取值范围为（，2点评：本题考查的是利用导数求函数的单调区间，同时考查了利用导数解决参数问题，利运用了二次求导，是一道导数的综合性问题属于难题21已知椭圆m的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆m的方程；（2）设直线l与椭圆m相交于a、b两点，以线段oa、ob为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆m上，o为坐标原点，求点o到直线l的距离的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，由0，化为2+4k2m20，设a（x1，y1），b（x2，y2），p（x0，y0）可得x0=x1+x2，y0=y1+y2代入椭圆方程利用点到直线的距离公式可得：点o到直线l的距离d=即可得出当直线l无斜率时时，由对称性可知：点o到直线l的距离为1即可得出解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，解得a=2，b2=2，椭圆m的方程为（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，=16k2m24（1+2k2）（2m24）0，化为2+4k2m20，设a（x1，y1），b（x2，y2），p（x0，y0）x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=点p在椭圆m上，+=1，化为2m2=1+2k2，满足0又点o到直线l的距离d=当且仅当k=0时取等号当直线l无斜率时时，由对称性可知：点p一定在x轴上，从而点p的坐标为（2，0），直线l的方程为x=1，点o到直线l的距离为1点o到直线l的距离的最小值为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b，c两点，且，作直线af与圆e相切于点f，连结ef交bc于点d，已知圆e的半径为2，ebc=30（1）求af的长；（2）求证：ad=3ed考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：（1）延长be交圆e于点m，连结cm，则bcm=90，由已知条件求出ab，ac，再由切割线定理能求出af（2）过e作ehbc于h，得到edhadf，由此入手能够证明ad=3ed解答：（1）解：延长be交圆e于点m，连结cm，则bcm=9