“精致练习”促进学生理解数学概念.pdf

的大小 通过对此题的深入分 析 回顾和复习了本章的主要知识内容 你能否同样 设计一个简单的数学问题 并简要说明如何利用其对 必修 第三章 三角恒等变换 的主要公式进行回顾 与复习 请您设计一个必修 第三章 三角恒等变 换 复习课的小结 我们知道 复习课教学的精髓在于 选好题 点 好睛 所谓 选好题 就是要选择一批优质高效的题 目 以题目为载体 起到涵盖基本知识点 巩固主要思 想方法之目的 点好睛 是指章节小结要对学生理解 整个章节精髓起到画龙点睛 提纲挈领的功效 数学教师应立足工作实际 关注常态课堂 对课 堂教学应认真完成至少一轮的系统研究 对于每一节 课 课前应认真进行教学任务分析 教学重难点确立 教学思路预设 板书设计等工作 教后应及时进行教 学反思 教学重难点确定是否合理 教学预设是否充 分 课堂上生成了哪些有意义的东西 板书设计应如 何调整等等 并将这些反思内容详细记录下来 然后 再将原有的设计进行调整 只有对课堂教学完成一轮系统的研究 我们对高 中数学教学才会形成个人整体的认识 在这个过程 中 我们对各类基本课型的授课原则与方法才会慢慢 形成个人独特的理解 关注课 研究课 用心反思课会 让我们的课越来越精彩 工作越来越有幸福感和成就 感 结束语 前苏联教育家马卡连柯说过 学生可以原谅教师 严厉 刻板甚至吹毛求疵 但不能原谅他们不学无 术 提升学科素养 增添学科底气 这是每一位数 学教师应有的责任和义务 举行学科素养测试显然不 是教师专业发展的最后归宿 但它是一场 及时雨 它给处在专业发展困顿之中的教师指明了一个努力 的方向 我坚信 只要我们沿着它指引的方向坚定不 移地走下去 塌塌实实去提升我们的学科素养 我们 的专业根基就会不断牢固 我们的课堂教学也就会更 显生命活力 更会不断收获专业成长的喜悦 诚然 学科素养内涵十分丰富 本文论述不足之 处请各位同仁批评指正 作者简介 高洪武 年生 四川省南部县人 教育 硕士 中学一级教师 温州市学科骨干教师 发表各类文章 余篇 论文曾获得浙江省一等奖 精致练习 促进学生理解数学概念 北京市海淀区教师进修附属实验学校 夏繁军 概念理解的过程和目前存在的问题 促进学生的理解 为理解而教 成为现代教与 学研究的核心 由于数学基本上都是概念组成的 因 此在数学学习中 理解 主要是指 概念理解 概念 理解 的具体说法不一 比如斯根普认为 对某个事 物的理解 指的是将它同化进入一个适当的图式之 中 具体说 理解是在感知的基础上 通过思维加工 把新学的内容同化到已有的认知结构 中 或者改组扩大原有的认知结构 把新学习的内容 概括进去逐步达到认识事物的本质和规律的一种思 维活动 我认为 概念理解 是学生对所学概念不断加深 认识 逐步完善 永无止境的累积过程 学生从学习一 个新概念起 就开始进入概念的理解 从观察某一类 事物的各种属性 分化出他们的共同属性 再概括 抽 象出本质属性 形成概念 用符号表示概念 这是理解 的初级阶段 通常称概念的形成 然后应用概念分析 解决与概念有直接或间接关系的问题 进入概念的应 用阶段 这是概念的理解的第二个阶段 这个阶段从 课堂一直延伸到课后 学生在应用中逐步加深对于所 学概念的理解 所以理解就是一个动态的 分水平的 反反复复的 永无止境的建构过程 概念理解的层级 性 与概念发展的抽象性 概念表征的多元性 学生个 体心理发展水平 学习的次序性都有关 基于新课程实 施 年来课堂教学和课后练习的观察 结合与数学教 师的访谈 我们发现大家对于概念的形成阶段比较重 视 包括情境创设 概念建构和形成 但是对于提供适 当的练习来促进学生对概念的理解做法随意性比较 强 精致性不够 影响学生对概念的理解 为此我结合 自身教学实践谈三点做法供大家参考 精致练习 促进学生理解数学概念的三种做法 精准制导 目标与评估材料相一致 由美国人工智能专家和心理学家安德森 等人创立的 思维适应性控制 理论在国际心理学界 独树一帜 他们的基本观点是 复杂认知是有相对简单 中学数学杂志 年第 期 的知识单元组成的 而这些知识单元则是通过相对简 单的原理获得的 在 理论中 概念理解指拥 有高度可用的陈述性信息块和产生式规则的庞大网 络 用于灵活解决包含概念的不同背景的问题 理论承认概念的理解有顿悟的部分 但更多 的是长期积累的结果 正是理解的 累积过程 决定 理解必须要有一个 熟能生巧 的过程 与中国的 学 而时习之 温故而知新 是一致的 熟能生巧 必须为学生提供必要的训练 但这 并不等于说练习的次数越多越好 这有一个临界值 超过这个临界值可能会 孰能生笨 因此只有 精致 的练习 才能导致真正的学习和 理解 精致练习就是指有良好的动机 接受有意义的 反馈及仔细的 不断的指导与反馈 编写精致练习 课题和课后练习 一定是从一个单元的目标进行统 筹规划 详细分解 依据学生个体学习情况 概念理解 阶段 目标分解越具体 评估材料就越有针对性 在计 划安排每一个练习材料时 都要问自己 这个问题到 底能促进学生对问题的哪方面的理解 并随时关注 学生的反馈情况 对学生的反馈给予及时评价 案例 几何概型 人教版必修 第三章第二单 元 本节课的总目标是 理解几何概型的概念 会用 几何概型的公式求解问题 从而学会估计与判断 对 于每一项子目标我都设计相关的问题来评价学生理 解的程度 参照布卢姆的认知目标分类表 教学目标 要求学生达到的 认知维度 相应评估问题说 明 理解几何概 型的概念 举例 抽象 对照 构建 你能举几个几何概型的例子吗 请你根据这几个例子 总结一下什么是几何 概型 几何概型与古典概型有何区别 说说对于等可能事件的认识 这是概念形成的一般结构 让学 生经历观察 归纳概括 然后检 查学生是否理解 用举例方法 对相近概念进行比较 加深学 生理解 把所学新知识纳入原 来认知结构中 与原来的认知 结构建立联系 增进理解 几何概型的 求法 使用 区分 例 一海豚在水池中自由游弋 水池为长 宽 的长方形 求此刻海豚嘴尖离岸 边不超过 的概率 例 平面上画了些彼此相距 的平行线 把 一枚半径 的硬币任意掷在这平面上 求 硬币不与任一条平行线相碰的概率 例 的模型易于识别 关键是 用公式计算 属于程序性知 识 例 重点体现转化 无限到有 限 面积到长度 圆到圆心 随机事件的 概率求法 区分 判断 例 甲乙两人相约在 到 之间会面 约定先到者等候另一人一刻钟 这时可以离 去 试求两人能会面的概率 该题不容易识别出是一个二 维几何概型 要想从众多的数 据中找到关键数据 判断是几 何概型 然后才能应用公式求 解 用进废退 适当提高问题的难度 适当提高问题的难度有着生理基础和心理基础 首先人的大脑有着非常的加工能力 大脑不停地进行 知觉登记 每小时超过 个视觉刺激 监控我们 的生命特征 心脏 激素水平 呼吸消化 不断更新现 状 匹配新的学习和已有表征 从神经生物学的角 度看对于某些任务 如果人们不断进行长期训练和反 复练习 大脑便会为这些任务分配额外的神经元 这 就像计算机会给复杂程序分配更多的记忆内存一样 这些额外分配的神经元或多或少被永久地保留下来 例如专业键盘手或弦乐师拥有更多的运动皮层来控 制手指和手部的运动 如果训练完全停止 不再被使用 的神经元最终会分配给其他任务 技巧的熟练程度就 会随之降低 换言之 用进废退 从心理角度说学生更愿意在挑战中获得兴奋和 成功感觉 因此我们的训练材料适当提高难度 有利 于学生对所学问题的掌握 提高难度并不是把高三复 习题直接放在高一 高二用 而是用好以下两点 第一 是注意问题的多元表征 第二是把高三学生应该达到 的难度进行分解前移 表征是用某一种形式将事物和想法重新表现出 来 以达到交流的目的 当其所表现的意义能切实掌 中学数学杂志 年第 期 握后 表征可进一步地成为思维的材料 从而简化解 题过程 根据信息加工理论 表征就是以一物代替另一 物 数学概念的层级性决定数学概念表征的多层性 多样性 同一个数学概念可以用符号 语言 图形 操作 等方面认知它 这是学生理解概念遇到的一个困难 其次是学生不能够熟练地在不同表征之间相互转换 在新问题情境中识别概念的表征 莱什等人 认为学生必须具备下列条件才算了解一个概 念 他必须将此概念放入到不同的表征系统中 在给定的表征系统内 他必须能很有弹性的处理 这个概念 他必须很精确地将此概念从一个表征 系统转换到另一个表征系统 为达到这个目的 我 认为对于数学概念 公式 法则 要注意在数学表现形 式上的变化 变式教学一部分 让学生在经历 化生 为熟 的过程中学会识别数学对象的实质 只要教师 有这个意识 就会在平时教学中时时用 坚持下来你 的学生的概念表征就会丰富 转换就会灵活 比如对等比数列 学生习惯于 形式 你就故意变形以下不同形式 数列 又例如已知 求 的最 小值问题 学生比较熟悉解法 我把条件 换成 看学生能否识别 把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高 一 高二 要求教师对高中三年数学知识 教学进程 学生水平发展非常熟悉 做好难度分解实施计划 案例 应用导数研究函数性质的三个难点和 难点在高一 高二的分解 难点所在 分解教学阶段题目样例 求单调区间时 分类讨 论不全 必修 二次函数 幂函数图象 必修 解一元二次不等式 选修 函数与导数 解不等式 在求参数范围时 不会 把问题进行转化 必修 二次函数 幂函数图象 必修 三角函数图像和性质 在 上有解 求 的取值范围 不能够结合函数草图研 究函数变化趋势 必修 必修 必修 涉及函数 图像问题 研究函数 的性质 集腋成裘 建构自己的微单元网 老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师 脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路 求解 路线 因此让学生构建知识网络图 概念地图 是促 进学生深刻理解知识和灵活 熟练解决问题的有效方 法 概念图 最早是在 世纪 年代由 美国康奈尔大学的诺瓦克 教授等 人提出的 是指利用图示的方法来表达人们头脑中的 概念 思想 理论等 把人脑中的隐性知识显性化 可 视化 便于人们思考 交流与表达 但是概念图不是简 单的知识的罗列 学生常见情况 单元目录 公式的罗 列 关键是在理解的基础上建立概念间的联系 联结 越深 学生理解越好 概念图不能期望学生在学完一 部分知识后马上就能建立起来 这需要教师在设计教 学时 埋下种子 帮助学生建构一个个 微单元网 积 少成多 集腋成裘 案例 在学完椭圆单元 我给学生一个开放性 问题 你有哪种方式得到一个椭圆 第二天你看学生 得到结论 圆锥 或圆柱 的截口曲线 见人教 版教材 证明用 球 回归定义 椭圆的第一定义 见教材 由圆压缩 或拉伸 而成 见教材 例 由 此可推得很多结论 比如椭圆的面积 过椭圆 上一点的切线方程等 平面内到两个定点 的斜 率之积是 且 的点的轨迹 见教材 例 椭圆的第二定义 见教材 例 圆内中垂线说 见教材 组练习 内切于已知圆的动圆圆心说 比如 动圆 经 过点 且与圆 内切 求动 圆圆心 的轨迹方程 这个问题引导学生回归教材 训练了求轨迹方程 中学数学杂志 年第 期 的方法 直接法 定义法 待定系数法 相关点法 微 单元网建成了 前面所给椭圆单元设计的研究方法 也是一个 微单元网 案例 均值不等式的多种形式 除了建构 微单元网 另一个加深学生理解的方 法就是让学生在学完一章后写单元总结 或小论文 一开始学生不会写 老师要进行指导 但一定要坚持 时间长了学生就会找到感觉 参考文献 鲍建生 周超 数学学习的心理基础与过程 上海 上海教育出版社 美 詹森著 梁平译 基于脑的学习 教学与训练的 新科学 修订版 上海 华东师范大学出版社 美 认知神经科学与学习国家重点实验 室脑与教育应用研究中心译 脑与学习 北京 中国轻工业出版社 夏繁军 给高三复习材料加点 创新 成分 中学数 学杂志 作者简介 夏繁军 男 山东泰安人 年 月生 中 学高级教师 省级教学能手 骨干教师 省中学数学优质课一 等奖 主要研究教学设计 解题教学 学生学习 现已发表论文 多篇 主编 课程标准校本化实施 中学数学卷 刍议信息技术与算法初步教学的整合 江苏南通高等师范学校 施永新 信息技术的基本支撑载体是算法 信息技术的硬 件是固化的算法 应用计算机解决一类问题的核心是 程序设计 而程序设计的关键通常是选择或构造一个 合适的算法 因此称算法是程序的灵魂 算法在科学技 术 社会发展中发挥着越来越大的作用 并且融入了社 会生活的许多方面 算法思想已经成为现代人应具备 的一种数学素养 高中算法初步中涉及的算法 就是可 以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤 这些 程序或步骤必须是明确和有效的 而且能够在有限步 之内完成 所以信息技术与算法初步教学既有整合的 基础更有整合的必要 整合 能有效检验算法的正确性与合理性 算法初步中赋值语句 输入 输出语句 条件语句 循环语句的教学 必须结合实例进行编程来说明各语 句的作用 实践性 操作性强 如果只是在黑板上编程 教学 那无异是 纸上谈兵 学生体验不深 而且所编 的程序有时自认为是正确的 但往往因为一个小的疏 忽 而在计算机上不能运行通过或结果错误 例如我在 讲解循环语句时 在课堂练习中请学生先做了这样一 道练习题 设计计算 的一个算 法程序 对这道题大部分同学都能比较顺利地写出程 序 程序 接着笔者提出如下 问题 这个程序执行完共 循环了多少次 能否修 改程