函数基本性质知识点梳理.doc

函数基本性质知识点梳理一、函数的奇偶性1、函数的奇偶性反映的是函数的整体性质，由函数的奇偶性定义可知：若一个函数具有奇偶性，则对于定义域内任意一个自变量x，-x也一定在定义域内。这说明，一个函数具有奇偶性的必要条件（或者说是前提）是此函数的定义域关于原点对称。因此，若要判断一个函数是否具有奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，若不是，则该函数一定不具有奇偶性（或者说该函数既非奇函数又非偶函数）。2、若函数是奇函数，且0在定义域内，则必有。3、一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴轴对称。4、设，的定义域分别为和，且，则在其公共定义域上有：奇（偶） 奇（偶）= 奇（偶）；奇（偶） 奇（偶）= 偶，奇 偶 = 奇.5、复合函数的奇偶性若函数与满足复合条件，则复合函数的奇偶性当内函数为偶函数时，复合函数即为偶函数；当内函数为奇函数时，复合函数与外函数有相同奇偶性。6、函数图像的奇偶性是一种较为特殊的对称性，更为一般的对称性结论如下：若对定义域内任意一个自变量，都有成立，则函数的图像关于直线轴对称；若对定义域内任意一个自变量，都有成立，则函数的图像关于点中心对称.二、函数的单调性1、函数的单调性是针对某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质。有些函数在整个定义域上不具有单调性，但在定义域的某些区间上却存在单调性。如函数，在整个定义域上不具有单调性，但在定义域的子区间和上均有单调性。因此书写单调区间过程中，一定要注意一些在整个定义域上不具有单调性的函数，它们可能多个不同的单调区间，应该将他们分开书写，用逗号或“和”连接，同时指明是单调增区间还是单调减区间，一定不能将具有相同单调性的区间写成并集的形式！注意：单调区间是多个区间的并集的情况时存在的，如函数就是一个在定义域上均单调递增的函数。2、由于函数在其定义域内某一确定的点处函数值是唯一确定的，因此，我们一般不讨论函数在某点处的单调性。书写单调区间时，区间的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；但若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。3、函数单调性的等价形式：若函数对于，且，都有或，则在区间上单调递增（减）。注意：可视作在区间上的函数图像上的两点与间连线的斜率，从而函数的单调性又可以用如下方式判断：若在区间上的函数图像上，任意两点间连线的斜率均大（小）于0，则该函数是区间上的单调增（减）函数。4、在公共区间上，增（减）函数 增（减）函数 = 增（减）函数；增（减）函数 减（增）函数 = 增（减）函数；恒正增（减）函数 恒正增（减）函数 = 增（减）函数；恒负增（减）函数 恒负增（减）函数 = 减（增）函数。5、奇（偶）函数在对称区间上具有相同（相反）的单调性。6、若函数是区间上的增（减）函数，则它在的任意一个子区间上也是增（减）函数。问题：是否存在定义在一个连续区间（如）上的函数，满足在的任意一个子区间上均不单调？7、复合函数单调性：若函数为区间上的单调函数，为区间上的单调函数，且对，有，则复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，即当内外层函数具有相同单调性时为增函数，反之，则为减函数。注意：在利用“同增异减”原则求复合函数单调区间前，必须先求复合函数的定义域，单调区间一定是定义域的子区间，这点务必加以重视！三、函数的最值性定理1：闭区间上连续函数必有最大、最小值。定理2：闭区间上单调函数必在区间端点出取得最大、最小值。 就现阶段学习内容而言，首先，四类基本函数的单调性、值域及图像特征是我们解决其他复杂函数的值域相关问题的基本出发点，请务必熟练掌握；其次，利用函数图像变换（平移与翻折）的观点，我们可以有效地将一些复杂函数转化为上述四类基本函数类型来进行研究，把握住函数图像变换前后的内在联系是解决此类问题，实现问题的转化的关键。1、一次函数型：2、反比例函数型：函数的图像是双曲线：原函数可化为，为反比例函数平移后的形式，其中比例系数为两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点；当，即时，函数在与上均单调递减，值域为；当，即时，函数在与上均单调递增，值域为.3、二次函数型：4、型：耐克函数型；伪耐克函数型（1）当时，函数的定义域为，值域为；若，单调增区间为和，单调减区间为和；若，单调增区间为和，单调减区间为和.（2）当时，函数的定义域为，值域为；若，单调增区间为和；若，单调减区间为和. 单个闭区间上求值域问题：（1）看开口：二次函数看二次项系数正负号；耐克函数看同正还是同负，同时注意是正半支（即的部分）还是负半支（即的部分）。（2）轴与区间的关系：二次函数是对称轴；耐克函数是。 （3）确定单调性：轴不在区间内，则对于两类函数而言，在该区间一定都是单调的；若轴在区间内，则对于对于两类函数而言，轴都是单调性改变的分界点。（4）根据开口及单调性得出函数在该区间上的最大最小值。进而得出值域。注意：（1）勿忘数形结合，画出图像添直观。（2）利用换元法解题时，务必注意引进新变量的取值范围！（3）对于多个区间并集的情况，应逐段求出值域在取并集。 求函数值域几种常用方法：（1）直接法（2）反表示法（3）判别式法（4）单调性法（5）换元法（6）分离常数法（7）图像法四、函数的零点1、函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的横坐标是一致的，在解题过程中要注意这三者间的转换与联系。2、定理零点存在定理：设函数在闭区间上连续，设，若，则，使得；介值定理：设函数在闭区间上连续，设，若，则不妨设，从而对于， ，使得.注意：介值定理是零点存在定理的一个一般化推论。 二次函数零点分布问题先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号：图象（）根分布情况结论一般结论两根均大于p两根均小于q一根大于r ，一根小于r两根均在一个区间内两根包含一个区间两根分别含于两个区间内区间内恰有一根或或或 给定区间上的恒成立问题（1）分离参数，转化为求函数在给定区间上的最值问题，此法中数形结合也是常用的辅助手段：不等式对恒成立，不等式对恒成立.（2）转化为二次函数零点分布问题. 给定区间上有解问题（1）分离参数方程有解；不等式有解；不等式有解.（2）转化为二次函数零点分布问题.注意：解决上述两类问题，方法是类似的，但对于非二次函数的题型，一般采用分离参数的方法，同时辅以数形结合，会对解题带来极大便利。还有一点需要提醒注意是，转化为求函数最值问题后，对于最值是否可以取到务必小心，这将直接影响到最终参数取值范围的端点开闭情况。五、函数的图象变换1、平移变换：（左加右减，上加下减）（1）：当向左平移单位；当向右平移单位；（2）：当向下平移单位；当向上平移单位。2、对称变换：（关于谁对称，谁不变，关于原点对称都要变）（1），新函数图象由原函数图象关于y轴镜像得到；（2），新函数图象由原函数图象关于x轴镜像得到；（3），新函数图象由原函数图象关于原点中心对称（旋转180）得到；（4），新函数图象由原函数图象保留y轴右方图象，将右方图象关于y轴向左翻折后得到；（5），新函数图象由原函数图象保留x轴上方图象，将下方图象关于x轴向上翻折后得到。 图象变换后的单调性及值域：1、平移变换左右平移，函数的单调区间相应发生平移，值域不发生改变；上下平移，函数的单调区间不发生改变，值域相应发生平移。即：设在单调递增，则其在上的值域为，（1）在单调递增，则其在上的值域为；（2）在单调递增，则其在上的值域为。2、对称变换镜像对称（含翻折）必会改变单调性，中心对称不改变单调性；设在单调递增，则其在上的值域为，（1）在单调递减，值域不发生改变，为；（2）在单调递减，值域变为对称区间，为；（3）在单调递增，值域变为对称区间，为；（4），分情况讨