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文档简介

10 4旋转曲面的面积 通过对不均匀量 如曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 的分析 采用 分割 近似代替 求和 取极限 四个基本步骤确定了它们的值 并由此抽象出定积分的概念 我们发现 定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具 那么 究竟哪些量可以通过定积分来求值呢 一定积分的元素法 或微元法 为了说明微元法 我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程 step1 分割 任意划分 a b 为n个小区间 step2 近似 微元法 step3 求和 step4 取极限 分析 在上述问题注意到 所求量 即面积 A满足 1 与区间 a b 及 a b 上连续函数f x 有关 2 对 a b 具有可加性 3 实际上 引出A的积分表达式的关键步骤是第二步 因此求解可简化如下 微元法 step1 选取积分变量及积分区间 如x属于 a b step2 取微区间 x x dx 求出 step3 这种方法称为定积分的元素法或微元法 微元法 一般的 如果某一实际问题中所求量Q符合条件 1 Q是与某一变量x的变化区间 a b 有关的量 2 Q对于 a b 区间具有可加性 3 局部量 那么 将Q用积分来表达的步骤如下 step1 选取积分变量及积分区间 step2 取微区间 x x dx 求出 step3 微元法 求 的步骤 分割 用分点 将 区间分成n个小区间 以直线代曲 把 在小区间上的局部量 用某个函数f x 在 的值与 之积代替 求和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值 即 设量 非均匀地分布 a b 上 由此可知 若某个非均匀量 在区间 a b 上满足两个条件 1 总量在区间上具有可加性 即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和 2 局部量可用 近似表示 它们之间只相差一个 的高阶无穷小 不均匀量 就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法 求极限 1求微元 写出典型小区间 上的局部量 的近似值 这就是局部量的微元 2求积分 即把微元 在区间 a b 上 作积分表达式 求它在 a b 上的定积分 即 这就是微元法 无限积累 起来 相当于把 例 解 图一 旋转曲面的面积为 二旋转
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