河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

河南省郑州市新郑一中分校2015届高 考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1x），则ab=( )a（0，2b（，1）（2，+）c1，1）d（1，0）（0，2）2已知复数z=1+ai（ar）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=( )a2b2cd3如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )acxbxaccbdbc4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )abcd5直线l1与l2相交于点a，点b、c分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60，且，则=( )abcd6若x（1，4），设，则a、b、c的大小关系为( )acabbbaccabcdbca7在正项等比数列an中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an1anan+1=324，则n=( )a11b12c14d168已知直线x+yk=0（k0）与圆x2+y2=4交于不同的两点a、b，o是坐标原点，且有，那么k的值为( )a2bcd49关于函数与函数，下列说法正确的是( )a函数f（x）和g（x）的图象有一个交点在y轴上b函数f（x）和g（x）的图象在区间（0，）内有3个交点c函数f（x）和g（x）的图象关于直线对称d函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称10已知：x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )a（，24，+）b（，42，+）c（2，4）d（4，2）11如图，等腰梯形abcd中，abcd且ab=2ad，则以a、b为焦点，且过点d的双曲线的离心率e=( )abcd12若直角坐标平面内的两个不同的点m、n满足条件m、n都在函数y=f（x）的图象上；m、n关于原点对称则称点对m，n为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对m，n与n，m为同一“友好点对”）已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有( )a0对b1对c2对d3对二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13若实数x，y满足，则z=x+2y的最大值是_14abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若（2a+c）cosb+bcosc=0，则b的值为_15若一个正方体的表面积为s1，其外接球的表面积为s2，则=_16定义在r上的函数f（x）满足f（x）f（x5）=0，当x（1，4时，f（x）=x22x，则函数f（x）在0，2013上的零点个数是_三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17函数f（x）=asin（x+）（a0，0，）（xr）的部分图象如图所示（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x，时，求f（x）的取值范围18等比数列an的前n项和为sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列的前n项和tn19如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=2，ab=bc，abbc，o为ac中点（1）证明：a1o平面abc；（2）若e是线段a1b上一点，且满足，求a1e的长度20椭圆=1（ab0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2（） 求椭圆的方程；（） 过点m（0，1）作直线l交椭圆于a，b两点，交x轴于n点，满足=，求直线l的方程21已知函数f（x）=ex（ax22x2），ar且a0（1）若曲线y=f（x）在点p（2，f（2）处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a0时，求函数f（|sinx|）的最小值选修题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知o和m相交于a、b两点，ad为m的直径，直线bd交o于点c，点g为bd中点，连接ag分别交o、bd于点e、f连接ce（1）求证：agef=cegd；（2）求证：【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23已知曲线c的极坐标方程为=4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线c的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线c与直线l相交于p、q两点，以pq为一条边作曲线c的内接矩形，求该矩形的面积【选修4-5：不等式选讲】24设函数（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为r，试求a的取值范围河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1x），则ab=( )a（0，2b（，1）（2，+）c1，1）d（1，0）（0，2）考点：交集及其运算 专题：计算题分析：解不等式x2x20可得1x2，根据对数函数的定义域可得函数y=ln（1x）的解析式有意义时，1x0，x1，代入集合交集运算公式，可得答案解答：解：解x2x20可得1x2，集合a=x|x2x20=1，2若使函数y=ln（1x）的解析式有意义则1x0，即x1故b=x|y=ln（1x）=（，1）ab=1，1），故选c点评：本题考查的知识点是交集及其运算，熟练掌握二次不等式的解法及对数函数的图象和性质是解答的关键2已知复数z=1+ai（ar）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=( )a2b2cd考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：依题意，由（1+ai）（1ai）=1+a2=5可得a=2，而1+ai在第四象限，从而可得答案解答：解：z=1+ai（ar）在复平面上表示的点在第四象限，a0，又z=（1+ai）（1ai）=1+a2=5，a=2，而a0，a=2，故选b点评：本题考查复数的代数运算，熟练利用共轭复数的性质是解决问题的突破口，属于基础题3如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )acxbxaccbdbc考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量x=c解答：解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，条件成立时，保存最大值的变量x=c故选a点评：本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积v=+=故选a点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键5直线l1与l2相交于点a，点b、c分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60，且，则=( )abcd考点：余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由题意，abc中a=60，ab=2，ac=4，由余弦定理可得结论解答：解：由题意，abc中a=60，ab=2，ac=4，由余弦定理可知bc2=ab2+ac22abaccosa=12，故选b点评：本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题6若x（1，4），设，则a、b、c的大小关系为( )acabbbaccabcdbca考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由于x1，所以根据指数函数性质，即ba1；再由1x4，得到c1，由此能判断a、b、c的大小关系解答：解：由于x1，所以根据指数函数性质，即ba1；又因为1x4，所以，所以，即c1，所以bac，故选b点评：本题考查有理数指数幂和对数的运算性质和运算法则，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7在正项等比数列an中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an1anan+1=324，则n=( )a11b12c14d16考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：正项等比数列an中，由a1a2a3=4，a4a5a6=12，知=4，=12，=36，=108，=324，再由an1anan+1=324，能求出n解答：解：正项等比数列an中，a1a2a3=4，a4a5a6=12，=4，=12，=36，=108，=324，an1anan+1=324，n=14故选c点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答8已知直线x+yk=0（k0）与圆x2+y2=4交于不同的两点a、b，o是坐标原点，且有，那么k的值为( )a2bcd4考点：向量的模；向量在几何中的应用 专题：平面向量及应用分析：根据当时，o，a，b三点为矩形的三个顶点，可知oaob，然后根据图形可知直线（2，0）点，从而可求出k的值解答：解：当时，o，a，b三点为矩形的三个顶点，可知oaob，由图可知直线过（2，0）点，此时k=2，故选a点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，同时考查了作图的能力和运算求解的能力，属于基础题9关于函数与函数，下列说法正确的是( )a函数f（x）和g（x）的图象有一个交点在y轴上b函数f（x）和g（x）的图象在区间（0，）内有3个交点c函数f（x）和g（x）的图象关于直线对称d函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：先利用诱导公式对函数进行化简变形，然后根据sin（2x）=sin（2x+）可得函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称，从而得到正确结论解答：解：=而sin（2x）=sin（2x+）则y=与关于原点对称，函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称故选d点评：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y=asin（x+）的图象变换和对称问题，同时考查了转化的能力，属于基础题10已知：x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )a（，24，+）b（，42，+）c（2，4）d（4，2）考点：基本不等式；函数恒成立问题 专题：计算题分析：x+2ym2+2m恒成立，即m2+2mx+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可解答：解：x0，y0，且，x+2y=（x+2y）（）=2+28（当且仅当x=4，y=2时取到等号）（x+2y）min=8x+2ym2+2m恒成立，即m2+2m（x+2y）min=8，解得：4m2故选d点评：本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题11如图，等腰梯形abcd中，abcd且ab=2ad，则以a、b为焦点，且过点d的双曲线的离心率e=( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题可知，双曲线离心率，由此可得结论解答：解：由题可知，双曲线离心率，设|ad|=|bc|=t则|ab|=2t，|cd|=2t2tcos60=t，所以，故选b点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题12若直角坐标平面内的两个不同的点m、n满足条件m、n都在函数y=f（x）的图象上；m、n关于原点对称则称点对m，n为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对m，n与n，m为同一“友好点对”）已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有( )a0对b1对c2对d3对考点：进行简单的合情推理 专题：新定义分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x0）交点个数即可解答：解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x（x0）由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象及函数f（x）=log3x（x0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个故选：c点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13若实数x，y满足，则z=x+2y的最大值是5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足约束条件的可行域，将目标函数z=x+2y化为的形式，结合图象分析出直线过（1，2）点时，z取得最大值，代入可得答案解答：解：满足约束条件的可行域为如图所示阴影部分，由目标函数z=x+2y得可知，当直线过（1，2）点时，取得最大值，即z取得最大值zmax=1+22=5故答案为：5点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据图象中的可行域及直线斜截式的几何意义，分析出目标函数的最优解是解答的关键14abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若（2a+c）cosb+bcosc=0，则b的值为考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式可将（2a+c）cosb+bcosc=0化为 2sinacosb+sina=0，可得，由此求得b的值解答：解：abc中，（2a+c）cosb+bcosc=0，由正弦定理可得 2sinacosb+sin（b+c）=0，即2sinacosb+sina=0，b=，故答案为 点评：本题主要考查正弦定理和诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题15若一个正方体的表面积为s1，其外接球的表面积为s2，则=考点：球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：设出正方体的棱长，然后求出正方体的表面积，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积，即可得到二者的比值解答：解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：s1=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：s2=4（）2=3，所以=，故答案为：点评：本题考查球的体积表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是基础题16定义在r上的函数f（x）满足f（x）f（x5）=0，当x（1，4时，f（x）=x22x，则函数f（x）在0，2013上的零点个数是1207考点：函数的周期性；根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）f（x5）=0可判断出函数的周期性，由x（1，4时函数的解析式，可以求出一个周期内函数的零点个数，进而可得函数f（x）在0，2013上的零点个数解答：解：f（x）f（x5）=0f（x）=f（x5）f（x）是以5为周期的周期函数，又f（x）=x22x在x（1，4区间内有3个零点，f（x）在任意周期上都有3个零点，x（3，2013上包含402个周期，又x0，3时也存在一个零点x=2，故零点数为3402+1=1207故答案为：1207点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知分析出函数的周期性是解答的关键三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17函数f（x）=asin（x+）（a0，0，）（xr）的部分图象如图所示（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x，时，求f（x）的取值范围考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）由图象可求得a=1，由=可求得，f（x）过（，1）点可求得，从而可求得函数y=f（x）的解析式；（2）当x，时，可求得x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的取值范围解答：解：（1）由图象得a=1，=，t=2，则=1；将（，1）代入得1=sin（+），而，所以=，因此函数f（x）=sin（x+）；（2）由于x，x+，所以1sin（x+），所以f（x）的取值范围是1，（ 12分）点评：本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图象与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识，属于中档题18等比数列an的前n项和为sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列的前n项和tn考点：等比数列的通项公式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等比数列的公比为q，根据，建立关于q的等式，从而可求出数列an的通项公式；（2）先求出数列bn的通项公式，然后根据数列的通项的特点利用裂项求和法进行求和即可解答：解：（1）设等比数列的公比为q，由题意，所以，即，因此（2），所以，=点评：本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧，属于基础题19如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=2，ab=bc，abbc，o为ac中点（1）证明：a1o平面abc；（2）若e是线段a1b上一点，且满足，求a1e的长度考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由等腰三角形三线合一，可得a1oac，进而由侧面aa1c1c底面abc，结合面面垂直的性质定理可得a1o平面abc；（2）由，可得，即，解rta1ob求出a1b，进而可得a1e的长度解答：证明：（1）aa1=a1c=ac=2，且o为ac中点，a1oac，又侧面aa1c1c底面abc，侧面aa1c1c底面abc=ac，a1o侧面aa1c1c，a1o平面abc解：（2），因此，即，又在rta1ob中，a1oob，bo=1，可得a1b=2，则a1e的长度为点评：本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20椭圆=1（ab0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2（） 求椭圆的方程；（） 过点m（0，1）作直线l交椭圆于a，b两点，交x轴于n点，满足=，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据圆的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2，建立方程组，可求椭圆的方程；（）设a （x1，y1），b（x2，y2），n（x0，0），利用=，可得（x1x0，y1）=（x2x0，y2），设直线l的方程为y=kx1（k0），与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+18k2=0，由此即可求得直线l的方程解答：解：（）椭圆的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2，c=，a=2，b=，椭圆的方程为；（）设a （x1，y1），b（x2，y2），n（x0，0）=，（x1x0，y1）=（x2x0，y2）y1=y2易知直线斜率不存在时或斜率为0时不成立于是设直线l的方程为y=kx1（k0）与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+18k2=0y1+y2=y1y2=由可得y2=，y1=代入整理可得：8k4+k29=0k2=1此时为5y2+2y7=0，判别式大于0直线l的方程为y=x1点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题21已知函数f（x）=ex（ax22x2），ar且a0（1）若曲线y=f（x）在点p（2，f（2）处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a0时，求函数f（|sinx|）的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件 专题：导数的综合应用分析：（1）欲求实数a的值，只须求出切线斜率的值列出关于a的等式即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为0即可求得a；（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，再根据导数求函数的单调性，从而可求出函数的最小值解答：解：由题意得：f（x）=（ex）（ax22x2）+ex（ax22x2）=；（1）由曲线y=f（x）在点p（2，f（2）处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得f（2）=0，即=，解得a=1；（2）设|sinx|=t（0t1），则只需求当a0时，函数y=f（t）（0t1）的最小值令f（x）=0，解得或x=2，而a0，即从而函数f（x）在（，2）和上单调递增，在上单调递减当时，即0a2时，函数f（x）在0，1上为减函数，ymin=f（1）=（a4）e；当，即 a2时，函数f（x）的极小值，即为其在区间0，1上的最小值，综上可知，当0a2时，函数f（|sinx|）的最小值为（a4）e；当a2时，函数f（|sinx|）的最小值为点评：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的几何意义，用导数来研究函数的单调性、极值等，考查学生解决问题的综合能力选修题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知o和m相交于a、b两点，ad为m的直径，直线bd交o于点c，点g为bd中点，连接ag分别交o、bd于点e、f连接ce（1）求证：agef=cegd；（2）求证：考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段 专题：证明题；压轴题分析：（1）要证明agef=cegd我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题（2）由（1）的推理过程，我们易得dag=gdf，又由公共角g，故dfgagd，易得dg2=aggf，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论解答：证明：（1）连接ab，ac，ad为m的直径，abd=90，ac为o的直径，cef=agd，dfg=cfe，ecf=gdf，g为弧bd中点，dag=gdf，ecb=bag，dag=ecf，cefagd，agef=cegd（2）由（1）知dag=gdf，g=g，dfgagd，dg2=aggf，由（1）知，点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边