黑龙江省牡丹江一中高二数学上学期期中试题 理.doc

牡一中2014-2015学年度上学期期中考试高二数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）1、抛物线的焦点坐标为（ ）a. b. c. d. 2、动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）a双曲线 b双曲线的一支 c两条射线 d一条射线3、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）a b c或 d以上都不对4、平面上动点满足，,则一定有（ ）a b c. d5、设，（其中是两两垂直的单位向量），若，则实数的值分别是（ ）a. b. c. d. 6、在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）7、已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为( )a b c d 8、 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）a b c d9、如图，是直三棱柱，点和分别是和的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）图a b c d10、已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )a. b. c. d. 11、过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（ ）a. b. c. d. 12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )a. b. c. d二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13、已知向量,且，则的值为 14、已知过点且与平行的直线经过抛物线的焦点，则实数= 15、给出下列命题：1）空间中点的柱坐标为，则点的直角坐标为；2）若曲线表示双曲线，则的取值范围是；3）已知，直线相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为；4）已知双曲线方程为，则过点可以作一条直线与双曲线交于两点，使点是线段的中点.其中正确命题的序号是 16、 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点满足，则该双曲线的离心率是_三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（1）求双曲线的方程;（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离.edcba18、(本题满分12分）如图，正方形所在平面与平面垂直，是和的交点，且.m (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.19、（本小题满分12分）已知直线的参数方程：，曲线的参数方程： （为参数）,且直线交曲线于两点.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时,线段的长度,（2）已知点，求当直线倾斜角变化时, 的范围.20、（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线方程；（2）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为，求证：直线 恒过定点，并求出该定点.21、(本小题满分12分）如图,在四棱锥中,平面平面,已知(1) 设是上的一点,求证:平面平面;(2) 当三角形为正三角形时，点在线段（不含线段端点）上的什么位置时，二面角的大小为22、（本小题满分12分）已知是椭圆的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足过点作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点，1）求点坐标;2）求证:直线的斜率为定值;3）求面积的最大值.2014-2015学年度上学期期中考试高二学年数学理科试题答案一、选择题：序号123456789101112答案ddcbbdccaaca序号13141516答案5 62)三、解答题：17、（本小题满分10分）(1)设双曲线方程为：，点代入得：，所以所求双曲线方程为： （2）18、（本小题满分12分）（1）正方形所在平面与平面垂直，且两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系设正方形边长为1，则， edcbazyx ， m(2)由(1)知为的一个法向量，设所求角大小为，则直线与所成角的大小为.19、（本小题满分12分）（1）曲线的普通方程 当时 (2) 直线参数方程代入得20、（本小题满分12分）（1）设动圆圆心坐标为，根据题意得，化简得.（2）设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，(现在用直线与抛物线联立判别式等于0)其切线方程为即同理以点为切点的方程为又两条切线的均过点，则，点的坐标均满足方程，即直线的方程为：因为，所以直线的方程为故直线恒过点21、（本小题满分12分）（1）因为，得，又因为，所以有即 又因为平面平面，且交线为ad，所以，故平面平面（2）由条件可知，三角形pad为正三角形，所以取ad的中点o，连po，则po垂直于ad，由于平面平面，所以po垂直于平面abcd，过o点作bd的平行线，交ab于点e,则有,所以分别以为轴，建空间直角坐标系所以点，由于且，得到，设（，则有，因为由（1）的证明可知，所以平面pad的法向量可取：，设平面mad的法向量为，则有即有由二面角成得故当m满足：时符合条件22、（本小题满分12分）（1）点的坐标为（2）由题意知，两直线的斜率必存在 设直线