公务员考试行测_等差数列与平均数_老师稿.pdf

等差数列与平均数 在这一讲我们一块来学习一有关等差数列和平均数方面的一些考题的内 容 题型 解题方法 这两块我们放在一起是因为我们等差数列和平均数这两类 问题的求解往往是联系在一起的 尤其是等差数列其中某一些的求解往往是借助 于平均数来求解的 而平均数本身自身特别大的难度又没有 所以我们这两块是 可以很合适的合并在一块来看的 我们这一讲的内容主要分为这么三个方面 首先第一个方面对等差数列 和平均数这几年的考题做一个评述 然后我们介绍一下等差数列方面的一些基础 知识 然后再说一下我们在等差数列和平均数这一块常考到的一些题型 以及它 们对应的解题策略 首先我们先来回顾一下这几年的考题 在等差数列这一块我们这一块在 考试中这是一个基础常考的题型 因为它的内容比较基础说实话 在我们等差数 列这一块特别难的题目很少 它最大的难度就是对一个等差数列它可能残缺某一 项 或者冗余某一项 使得这个数列虽然近似于等差数列但还不是等差数列 所 以最难只能难到这种程度 也就是说个等差数列整个题目的难度在我们数量关系 属于中等难度的 属于一个基础常考的题型 考的频率也比较高 希望大家对这 一块有个认识 有个准备 在这一块它侧重考查的能力一个是对公式的套用 因为在我们的等差数 列里边 尤其是这个等差数列求和公式特别常考 我们十道题中至少有八道题是 跟这个公式相关的 所以我们这一块要比较侧重于考查你对这个公式的应用 再 一个是考查你对一个等差数列和项转换的能力 换言之就是知道了项你能不能求 出和 知道和能不能转成项的性质 这种和项转化的能力 在题型上来说我们等 差数列这块考的题型相对而言比较固定 解题的思路一般来说你也可以按照一个 指导性的步骤去做总是可以完成的 而且在其中某一部分题型里边甚至可以说它 有一个公式 你直接套用这个公式就可以了 这是关于等差数列这一块 而对于平均数这一块在我们考试中来说 平均数这一块在考试中涉及到 的题目都属于难度很低的 属于特别基础的题目 难度近似于计算问题 你看到 题目以后你直接按照平均数的定义去计算就可以了 在这一块很少会出现什么难 题 更侧重是一些简单的计算能力和一个基本的分析能力 所谓的基本分析能力 就是题目有可能涉及到的平均数是多个部分 每个部分的平均数 希望你能够求 其中某一些部分合在一起 以后作为一个整体的平均数 它最大的分析能力就是 主要考查在这一点 所以考察的内容都是比较基础的 下面我们一块看一下所涉 及到的基础知识 对于等差数列来说 我们在考试中最重要的一个基础知识就是要掌握这 个等差数列的求和公式 对任何数列来说 我们过去在学的时候可能会学到一个 求和公式是和 2 A1 N N 1 2 D 其中这个 A1 是首项 其中这个 D 是 公差 然后 N 是等差数列的项数 这是我们过去在学等差数列的时候会学到这个 公式 但是记住这个公式在我们考试中你很难会用到 我们更为常用的其实是这 个地方的这些公式 也就是说我们常用的公式一般都是和 首项 末项 2 项数 还等于平均数 项数 注意这地方出现平均数了 这就是我们为什么说等差数列 经常是和平均数联系在一起的 除此之外我们这个和还等于中位数 项数 这三 项是我们在等差数列里边特别常用的求和公式 其中大家要注意到对于第一个来 说 你看对于第一个来说我们经常要用这个公式 你可能在问题中经常会发现它 会给出个首项 或者会给出个末项 你想用这个公式就需要把另外一个项给推出 来 就是你知道要把末项要把首项推出来 知道首项要把末项推出来 这个稍 候会提到这一点 除此之外还要注意到 在这个公式里面我们可以看到 这个项 数在这边都是被乘以的 这个是等于这一个项目乘以一个项目 这个等于平均数 乘以项数 这个等于中位数乘以项数 如果说我们不看这个项数 把项数划掉的 话 实际上这个公式可以给你一个什么结果呢 它就相当于首项 末项 2 就等于 平均数 就等于中位数 这个实际上是我们实现和项转化的一个很重要的一点 也就是说我们知道和 知道项数之后我们往往可以通过直接相除能够求出中位数 或者能够求出平均数 那我们要转化成具体的项 其实就是利用我们这个地方橙 色这一部分 中位数 首项 末项 2 利用这一个点来进行转化 这是我们要注意 的 从这个公式导出来的三个相等的三个量 在这个地方我们所说的中位数大家 应该知道顾名思义就是指在中间的数 一般来说如果说这个项数是奇数项的话 这个中位数就指的是在最中间的那个 如果这个项数是偶数项的话 这个中位数 就指的是最中间那两项的平均数 当然如果是对任意一个数列的话 你要记住求 中位数那一定是先把这个数列由小到大或者由大到小排列 只不过在等差数列里 边已经是这样排列好的 所以你就直接去看中间这个数字或者是中间两个数字的 平均数就可以了 这就是等差数列的求和公式 除了这个之外 我们在等差数列还要注意到我们刚才提到了 因为这个 中位数等于首项 末项 2 是一个常见的转化的公式 然后在这里面我们首项和末 项往往又只能知道一个 所以实际上我们要在这两个之间转化 往往是要用到下 面这个项数公式 什么项数公式 我们一个等差数列的项数它有多少项呢 就等 于末项 首项 公差 1 当然对一个等差数列来说 一般来说公差是我们在题目当 中的通常都是可以预先知道的 这里边如果说我们不知道项数 我们可以通过这 个公式转化把项数求出来 如果说我们知道项数 只知道末项而不知道首项 同 样你把这个公式做一个简单的变形 就可以把首项求出来的 类似的 这就是我 们知道首项求末项 知道末项求首项常用的一个项数公式 那我们上面提到了 你看在这个公式里边我们再回头去看一眼的话 你 会发现一个很有意思的现象 在这地方我们会看到你看和 看第三个公式等于中 位数 项数 那对一个等差数列来说 在我们考试中这个和一般来说都是整数 而这个项数肯定也是个整数 有几项肯定是个整数 所以我们现在唯一不能断定 的是这个中位数究竟是不是整数 它有可能是也有可能不是 但我们知道如果说 总的项数奇数项的话 比如说 7 项 9 项 这个时候中位数就是位于中间的那个 数字 中间一个 这个时候我们就可以知道中位数显然就得是个整数 这个时候 我们就相当于得到和 中位数乘以项数 而且我还知道和 中位数 项数都是整 数 这刚好就符合我们整除特性的第三条原则 题目中存在一个等式 A B C 并 且 A B C 都是满足是整数这样一个要求 这个时候我们就知道和一定能够被中 位数整除 也同样一定能够被项数整除 我们更关心的是能被项数整除 你把这 个合并成我们一个常用的结论的话 实际上就这样说 在等差数列中 连续奇数 项的和一定能够被项数整除 当然这个地方特别提到的连续奇数项的和 比如说 连续五项的和一定能被 5 整除 连续 7 项的和一定能被 7 整除 连续 9 项的和一 定能被 9 整除 当题目涉及到项数是奇数项的话 记住这个推论是特别常用的一 条推论 因为它实际上反映了一种整除性质 这就是关于等差数列我们需要掌握 的一些基础知识 关于平均数我们需要掌握的东西就很简单了 我们只要记住一个公式就 可以了 就是说对任何一个数列 或者对任何的若干项 我们这个总和总是等于 平均数 项数的 这是我们关于平均数的一个转化 实际上我们考题围绕平均数 来说 为什么简单 因为它就是围绕这一个公式来考 题目有可能会给你和让你 其求平均数 有可能会给你平均数让你去求和 万变不离其宗 就是围绕这一个 公式来的 所以说对于平均数来说 你只要掌握这么一个公式就可以了 那在我们考试中关于等差数列和平均数常考的题型可以这样来看 对于 等差数列来说常考的题型有三种 其中前两种最为常考 一个是已经知道其中的 具体项让你求一个和 包括知道首项 包括知道末项 包括知道其他的一些信息 让你去求这个和等于多少 那么求法就是直接应用公式就可以了 反过来也是常 考的一个点 题目会先给你一个和 然后让你去求原来这个数列中某一个特定位 置上的项应该是多少 也就是已知和待求具体的项 这个时候它的求法一般来说 我们就要借助一下平均数的概念 也就是说我先用和除以一下项数 这个值就等 于平均数 通过这个平均数我把它转化成具体项 这就是我们对第二类问题常见 的思考的步骤 第三类问题就是残缺冗余等差数列 我对一个等差数列做一些小小的操 作 使得它可能残缺一项或者冗余一项 在这个基础之上再让你去求一些相应的 性质 所以这一类问题的分析很直观 你的思路其实很直观的 你的思路就是先 把本来不是等差数列的数列 变成一个等差数列 或者说你近似看成一个等差数 列 比如说它残缺了一项 我就先看成它没有残缺那一项我应该怎么做 然后再 去修整 如果它冗余了 我就想还没有冗余这一项 它应该是什么样子的 然后 我再去根据题目的条件逐步调整 这就是等差数列三类题型 其中第三类考的比 较少一些 对于平均数来说 一个方面是应用到等差数列第二类题型里边辅助求解 另外一类就是题目可能经常会给你多个部分 有一个总体是由多个部分组成的 然后我们知道多个部分的平均数待求总体的平均数 你无非就是把每个部分所涵 盖的人数求出来 把它所涵盖的数量求出来 然后再把各个部分乘积相加 得到 一个总体的和 再除以总的项数就可以得到总体的平均数 这就是我们在这一块 常考的一些题型 总体而言难度只有中间这一类题型难度稍高一点 其他题型难 度都是比较低的 我们通过一些例题再来重复体会一下这几点 首先来看这样一个例题 说有一堆钢管 最下面一层是 30 根 逐层往上 每一层都会比下一层少一根钢 管 那么问这一堆钢管最多有多少根 你想想我们这个钢管每一层往上都会少一 根 往上一直上去 要想最多显然最上面那个地方就是一定要挪到只剩一根了 因为我们每一层比它上一层多一根的 所以你想从 30 根这么一层一层的上去 可以多少层呢 最后一层是一根 按照我们的公式就是 30 1 1 然后再加上一个 1 我们那个项数公式 所以相当于我们知道这个东西是有 30 层的 所以我要知 道钢管有多少根就是直接套用公式首项加末项 2 首项是 1 末项是 30 项数是 30 1 30 2 30 就可以得出我们结果 465 这个实际上就是我们最基础的一 个等差数列的问题 已经知道其中的项 待求它的和 已知项 待求和 那我们再来看一个问题 还是看一个求和问题 有一个公交线路一共有 15 站 假设我们有一辆公交车从起点站开始出发 从起点站开始每一站 注意 都会有到前方每一站下车的乘客各一名上车 比如说我在起始站的时候 我前面 还剩 14 站 那就意味着我起始站要上来 14 个人 因为前面还剩的 14 站 每一 站都要有一个人下车 比如说我如果是第 14 站的话 前面就只剩一站了 这个 时候在第 14 站就只上来一个人 因为他要到第 15 站下 就是这个意思 那么我 们的问题就是在第 9 站和第 10 站之下 车上有多少人 实际上相当于说我们知 道这个人不停的在上下 每一站都会上来一些人 但每一站同时也会下去一些人 当然下去的人数比较好确定 我们想知道在第 9 站到第 10 站之间 车上有多少 人 说白了其实就是让你求一下我们过完第 9 站以后 一共上来多少人 下去了 多少人 我减一下差自然就是车说有多少人 我们把这个过程再给大家演示一遍 看得更直观一点 我们假设这些车站 第一个车站这么一直下去 当然我没有画 完 因为我用不到这儿 因为我们最多只是到第 9 站和第 10 站之间就可以了 所以我们就是简单的先罗列一下前面的车站 我刚才说了每一站都会有到前方任 意一站下车的人各一名 那你想一想在第 1 站的时候前面还剩 14 站 所以就会 有 14 个人上来 到了第二站 前面还剩 13 站 所以到了这一站 就会有 13 个 人上来 也就是说其实每一站都会比前一站少上来一个人 因为我的站数在减少 我每次都会少上一个人 所以实际上上车的人数是成这样一个分布的 当然了从 第一站没有人下车 但是到了第二站就会有一个人下车 第三站会有俩人下车 这样依次下去 这是我在每个站下车的人数 那我们的问题相当于是什么 问题 相当于是画到这个地方 题目让我们求一下在此之前我们上来了多少人 然后还 要去要我们下去了多少人 所以实际上说白了这个问题的求解就只是把上面这排 数字 14 往前加一直加到 6 加到第 9 站这个地方 然后再减去下面这排数字相 加 从 0 开始一直加到 8 我们只要把这两个数列 前面这个数列是一个等差数 列应用一下等差数列的公式就可以了 后面这个数列也是一个等差数列 应用一 下数列的公式就可以了 然后你就可以把两个数列都求出来 做一下差自然这个 结果就出来了 54 个人 那这个求解是很容易的 你只要把这个公式用一下就 可以了 这是我们说从等差数列这个角度去考虑这个问题 当然这个问题比我们 刚才那个问题稍微复杂了一点点 复杂在什么地方呢 它涉及到两个等差数列之 间的关系 当然对这种问题 实际上我们可能有时候还想做的更快一点 实际上我 们只需要观察到这么一些点就可以了 我如果想做的更快我首先观察到上车的人 数 从一开始上 14 个人 这是成一个等差数列的 一直到第 9 站有 9 项 然后 我再看下车的人 同样也是从第 0 站开始一直到第 9 站 同样也是有 9 项 也是 一个等差数列 我们前面已经说过了 说在我们等差数列中只要你发现项数是奇 数项的话 就要记得那个推论 在等差数列中连续奇数项的和一定能够被项数整 除 相当于我上面这个虚线框人数是多少我不知道 但我知道这个总的数目加起 来一定能够被 9 整除 下面这个我同样也不知道多少人 但我一样也可以知道它 一定能够被 9 整除 那你想一想一个能被 9 整除的数 再减去一个能被 9 整除的 数 最终的答案必然还是能够被 9 整除 而在四个选项里边 显然只有这个选项 能够被 9 整除 勾选就可以了 当然我们这个题这样做比较快原因在哪儿呢 原 因就在于我用了一个整除特性 我为什么能想到用这个整除特性 就在于我看问 题的时候发现在第 9 站到第 10 站之间 我就意识到前面是一个关于九项等差数 列的求和 那我就可以应用这个整除特性了 这是这个问题的一个快速的解答 再来看一个新的例题 这个题目是这样说的 说有一天 小张出差到单 位发现办公桌上的台历已经有 7 天没有翻了 就一次性的翻过去 7 张 结果发现 这 7 天的日期加起来得数刚好是 77 那我们这个问题问 这一天是几号 一定 要注意它问的是当前这一天是几号 我们这个问题我们一样也是画个图给大家 看更直观一点 假设我们一口气翻过 7 张的日历 7 张的日历我们翻过去了 我 们这个人说的条件是什么呢 这几项日历我不知道它们是什么情况 但我知道它 们的日期之和加起来等于 77 那你看到这一点以后 其实问题的特征就已经出 来了 这个问题属于我已经知道和 我要去求其中的具体的项 我知道和我求具 体的项 那以后记住这种问题 我只要预知和求项的话 肯定是先利用一下我们 的求和公式把中位数求出来 中位数就等于我们的总和除以项数 那求出这个数 就是中位数 比如这地方 77 7 11 那这个 11 就是我们的中位数 在 7 天里边 这个中位数显然就是最中间这一个 那就相当于告诉你这一天的日期是 11 号 那你想你知道这一天是 11 号 剩下不就简单了吗 这是 12 号 这是 13 号 这 是 14 号 所以我们当前这一天是 15 号 一定不要错过勾选 14 号 要注意 14 号是被翻过去的 而题目问的是当前这一天是几号 这就是一个我们已知和求具 体项的一个代表例题 我们再来看这么一个例题 它说有四个数 其中每三个数的和分别是 45 46 49 52 那么这四个数中最小的那一个是多少 我们这个地方先看一个比较 常规的想法 我们这地方有四个数 其中每三个数的和分别给出来了 让我们求 最小的那一个是多少 我想一想已知其中每任意三个数 那我就写一下吧 A B C 45 B C D 46 C D A 49 D A B 52 OK 那我知道了 这就是题目告诉 我们的条件 那我们之前说过 在讲整体思维的时候我们曾经提到过这么一句话 我们说如果一个问题里边 它涉及到一些量的基本关系 并且它有多个量 而且 每次都是涉及到这多个量其中的一小部分量的话 那这个时候整体思维往往是常 用的 实际上相当于告诉你什么 我这地方是对四个量 每次都是任选其中三个 得到的结果 那这个每个都是对细节的一个刻划 我如果说在这个基础上你跳出 来看更大的一个层面 你看我们不要只是局限于一个一个的方程 我们把视野放 的更开阔一点 假设我们跳出来直接统观这四个方程 我们假设把这四个方程合 在一起的话 我左边加左边 右边加右边 那你就可以得到 3 A B C D 它 的三倍 我们发现每个字母在这里边恰好出现了三次 那它的和等于 192 右边 这些数字相加 那这个 3 倍看着比较别扭 我们可以把 3 消掉 两边把 3 约掉那 就得到什么 A B C D 64 好处是什么 四个数的和出来了 那我要想知道其中 最小的哪一个 那不是很简单 你只要用 64 减去这四个数里边最大的哪一个就 是你要求的最小的那一个 64 52 显然最小那个就是 12 那这个问题我们就解决 掉了 这其实就是对一个整体思维的应用 当然除了这个之外 你看其实这个问题没有我们想象的那么复杂 你直 接看这个问题 可能答案来的更为简单 为什么呢 你看我们题目说我们这地方 任取三个数会得到一个和 那我首先会注意到题目让我求最小的那个数