第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷详解(小学组).pdf

学习改变命运 1 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 复复赛试卷 小学组 赛试卷 小学组 时间 2011 年 4 月 16 日 10 00 11 30 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 1010 分 共分 共 8080 分 分 1 1 1357 1 3 5 7 2468 解析 解析 原式 111112 6 4 32523 2 4 6 8 20 20 18 2468242424 2 2 工程队的 工程队的 8 8 个人用个人用 3030 天完成了某项工程的天完成了某项工程的 1 3 接着增加了 接着增加了 4 个人完成其余的工程 那么完个人完成其余的工程 那么完 成这项工程共用了成这项工程共用了 天天 解析 解析 假设一个人一天所做工程量为 1 份 那么 8 个人 30 天共做了 240 份 占总工程的 1 3 所以总工程为 720 份 增加 4 个人后 还需要 720 240 8 4 40 天 所以完 成这项工程共用了 30 40 70 天 3 3 甲乙两人骑自行车同时从 甲乙两人骑自行车同时从 A A 地出发去地出发去 B B 地 甲的车速是乙的车速的地 甲的车速是乙的车速的 1 21 2 倍倍 乙骑了乙骑了 5 5 千米千米 后 自行车出现故障 耽误的时间可以骑全程的后 自行车出现故障 耽误的时间可以骑全程的 1 6 排除故障后 乙的速度提高了排除故障后 乙的速度提高了 60 结 结 果甲乙同时到达果甲乙同时到达 B 地地 那么那么 A B 两地之间的距离两地之间的距离 为为 千米千米 解析 解析 甲乙的车速比是 1 2 1 6 5 所以所用时间比为 5 6 不妨设甲用时 5t 则乙原定 时间为 6t 乙车因故障耽误的时间为 1 6 6t t 而最后全程用时 5t 所以故障排除后 乙的提速使它节省了 2t 的时间 提速后的速度与原速度比为 1 6 1 8 5 所以时间比 为 5 8 节省了三份的时间 所以每份为 2 3 t 所以这段路原计划用时 2 3 t 8 16 3 t 所 以一开始的 5 千米原计划用时是 6t 16 3 t 2 3 t 所以 A B 之间的距离为 5 6t 2 3 t 45 千米 学习改变命运 2 4 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟 在圆形钟面的边界 每分钟的刻度处都有一个小 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟 在圆形钟面的边界 每分钟的刻度处都有一个小 彩灯彩灯 晚上晚上 9 时时 35 分分 20 秒时 在分针与时针所夹的锐角内有秒时 在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯个小彩灯 解析 解析 以 1 分所指的刻度作为第一个刻度 顺时针对所有刻度进行编号 从 9 时到 9 时 35 分 20 秒 时针走了 35 1 3 1 12 17 2 18 个小格 所以此时时针在第 47 个刻度和第 48 个刻度 之间 分针在第 35 个刻度和第 36 个刻度之间 所以此时分针与时针所夹的锐角内有 12 个刻度 故有 12 个小彩灯 5 5 在边长为在边长为 1 1 厘米的正方形厘米的正方形 ABCDABCD 中 分别以中 分别以 A B C DA B C D 为圆为圆 心 心 1 1 厘米为半径画四分之一圆 交点厘米为半径画四分之一圆 交点 E F G HE F G H 如图所示 如图所示 则中间阴影则中间阴影 部分的周长为部分的周长为 厘米厘米 取圆周率 取圆周率 3 1413 141 解析 解析 如图 连结 DE AE AF 显然三角形 ADE 为等边三角形 所以 DAE 60 BAE 30 同理 DAF 30 故 EAF 30 所以 弧 EF 的长为弧 BD 的 1 3 即整个圆周长的 1 12 所以阴影 部分的周长为半径为 1 厘米的圆的周长的 1 3 即 1 3 2 1 2 094 厘米 6 6 用 用 4040 元钱购买单价分别为元钱购买单价分别为 2 2 元 元 5 5 元和元和 1111 元的三种练习本 每种至少买一本 而且钱恰元的三种练习本 每种至少买一本 而且钱恰 好花完好花完 则不同的购买方法有则不同的购买方法有 种种 解析 解析 每种各买一本之后 还剩 22 元 解不定方程 2x 5y 11z 22 z 2 时 x 0 y 0 z 1 时 无整数解 z 0 时 y 4 x 1 或 y 2 x 6 或 y 0 x 11 综上可得 共有不同的购买方法 5 种 H G F E DC BA H G F E DC BA 学习改变命运 3 7 7 已知某个几何体的三视图如右图 根据图中标示的尺寸 单位 厘米 这个几何体的体已知某个几何体的三视图如右图 根据图中标示的尺寸 单位 厘米 这个几何体的体 积是积是 立方厘米 立方厘米 解析 解析 这个几何体如下图所示 其中面 BCE 面 ABCD EF BC 它的体积为 1 3 20 20 20 8000 3 立方厘米 8 8 将自然数 将自然数 1 221 22 分别填在下面的 内 每个 只能填一个数 在形成的分别填在下面的 内 每个 只能填一个数 在形成的 1111 个分数个分数 中 分数值为整数的最多能有中 分数值为整数的最多能有 个个 解析 解析 1 22 中 13 17 19 与其他的所有数互质 所以它们和其他的数组合必然有一个无法 成为整数 而根据如下构造 分数值为整数的有 10 个 13 14 9 12 15 18 21 16 20 22 17 12 3 45678 10 11 19 所以 分数值为整数的最多能有 10 个 俯视图俯视图 正视图正视图 左视图左视图 10 10 20 202020 F E D C BA 学习改变命运 4 二 解答下列各题 每题二 解答下列各题 每题 1010 分 共分 共 4040 分 要求写出简要过程 分 要求写出简要过程 9 9 长方形 长方形 ABCDABCD 的面积是的面积是 20112011 平方厘米平方厘米 梯形梯形 AFGEAFGE 的顶点的顶点 F F 在在 BCBC 上 上 D D 是腰是腰 EGEG 的中点的中点 试求试求 梯形梯形 AFGEAFGE 的面积的面积 解析 解析 连结 FD 显然 1 2 AFDABCD SS 矩形 D 是 EG 的中点 所以三角形 AED 和三角形 CDF 的高相等 不妨设为 a 则 1111 11 2 2222 22 AEDAEGF SSAEaFG aa AEFGa AEFGS CDF梯形 所以 1 2 AFDAEGF SS 梯形 故 2011 ABCDAEGF SS 矩形梯形 1010 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数 其中每 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数 其中每 个数字是由横竖放置的七支荧光管显示 如右图所示个数字是由横竖放置的七支荧光管显示 如右图所示 某某 公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮 显示的线路号为 公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮 显示的线路号为 351351 则该公交车的 则该公交车的 线路号有哪些可能 线路号有哪些可能 解析 解析 有如下三种可能 1 这两支坏了的荧光管本来都应该显示 那么就相当于在 351 的基础上加上两根荧 光管 若都加在百位上 那么正确的线路号应该是 851 若都加在十位上 那么正 确的线路号应该是 381 若都加在个位上 那么正确的线路号应该是 354 若 一个加在百位上 一个加在十位上 那么正确的线路号应该是 991 或 961 若 一个加在百位上 一个加在个位上 那么正确的线路号应该是 957 若一个加在十 位上 一个加在个位上 那么正确的线路号应该是 397 或 367 2 若这两支坏了的荧光管有只有一支是应该显示的 那么就相当于在 351 的基础上 加上一根荧光管 若加在百位上 那么正确的线路号应该是 951 若加在十位上 G F E D CB A a a G F E D CB A 学习改变命运 5 那么正确的线路号应该是 391 或 361 若加在个位上 那么正确的线路号应该 是 357 3 若这两支坏了的荧光管本来都不需要显示 那么正确的线路号就是 351 综上可知 该公交车的线路号有如下可能 351 361 391 357 951 851 381 354 991 961 957 397 367 1111 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数 则这个月的 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数 则这个月的 2020 日可能是星期几 日可能是星期几 解析 若第一个星期日是 1 号 那么 8 号 15 号 22 号 29 号为星期日 20 号为星期五 若 第一个星期日是 2 号 那么 9 号 16 号 23 号 30 号为星期日 只有两个星期日的日 期为奇数 不满足条件 若第一个星期日是 3 号 那么 10 号 17 号 24 号 31 号为 星期日 此时 20 号为星期三 若第一个星期日是 3 号之后 那么都无法有三个星期日 的日期为奇数 综上 这个月的 20 日可能是星期三或者星期五 1212 以 以 x表示不超过表示不超过 x 的最大整数 设自然数的最大整数 设自然数 n 满足满足 1231 2011 1515151515 nn 则则 n 的最小值是多少 的最小值是多少 解析 解析 显然有 15 14 15 k a ka 其中0 当 n 15 16 14 254 时 1231 15 1 216 2040 1515151515 nn 当 n 252 时 1231 2040 16 2 20082011 1515151515 nn 当 n 253 时 1231 2040 16 20242011 1515151515 nn 所以 n 的最小值为 253 学习改变命运 6 三 解答下列各题 每小题三 解答下列各题 每小题 15 分 共分 共 30 分 要求写出详细过程 分 要求写出详细过程 13 在右面的加法竖式中 不同的汉字代表不同的数字 在右面的加法竖式中 不同的汉字代表不同的数字 问 满足问 满足 要求的不同算式共有多少种 要求的不同算式共有多少种 解析 解析 2011 除以 9 的余数为 4 所以 兔年 十六届 华杯 决赛 除以 9 的余数和为 4 也就是它们的数字和除以 9 的余数为 4 这九个汉字代表 0 9 中的 9 个数字 0 1 2 9 45 要使数字和除 以 9 余 4 只能排除 5 所以 这九个汉字必然是取自 0 1 2 3 4 6 7 8 9 首先 一定有 华 1 三个两位数相加一定不超过 300 所以 十 和 杯 的和为 8 或 9 1 当 杯 0 十 9 时 兔年 六届 决赛 111 只能是个位数取 6 7 8 十位数取 2 3 4 可以排出 6 6 36 种不同算式 2 当 杯 0 十 8 时 兔年 六届 决赛 211 只能是个位数取 2 3 6 十位数取 4 7 9 可以排出 6 6 36 种不同算式 3 当 杯 和 十 取 7 和 2 时 兔年 六届 决赛 111 只能是个位 数取 0 3 6 十位数取 8 9 4 共有 6 种组合 而 兔 不能为 0 所以可以 排出 6 4 2 48 种不同算式 4 当 杯 和 十 取 6 和 3 时 兔年 六届 决赛 111 只能是个位 数取 0 2 7 十位数取 8 9 4 共有 6 种组合 而 兔 不能为 0 所以可以 排出 6 4 2 48 种不同算式 5 当 杯 和 十 取 6 和 2 时 兔年 六届 决赛 211 可以是个位 数取 0 3 8 十位数取 4 7 9 或者个位数取 0 4 7 十位数取 3 8 9 分 所以可以排出 6 6 2 2 144 种不同算式 综上可得 满足要求的不同算式共有 36 36 48 48 144 312 种 学习改变命运 7 14 如图 两只蜘蛛同处在一个正方形的顶点 如图 两只蜘蛛同处在一个正方形的顶点 A 而一只爬虫处在 而一只爬虫处在 A 的体对顶点的体对顶点 G 假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方形的棱移动 假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方形的棱移动 任何时候它们都知道彼此的位置 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向任何时候它们都知道彼此的位置 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向 试试 给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案 解析 方案如下 先布阵 不管爬虫怎么爬 两只蜘蛛先爬到 C 点和 E 点 不妨设 C 点的蜘蛛为甲 E 点的蜘蛛为乙 这个时候 有以下两种可能 1 爬虫在某个顶点上 这时候无论爬虫在哪个顶点上 都有一只蜘蛛和它相距 1 条棱长 不妨设爬虫在 G 点 这时候甲朝 G 点爬去 爬虫必须要动 否则会被这只蜘蛛捉到 而它要动 就只有两种选择 就是朝 H 点或 F 点爬 而乙可以预判到爬虫的方向 例如 如果爬虫朝 H 点爬 乙也朝 H 点爬 最终他们会同时到达 另外 若爬虫回头 乙也 要回头 但是甲始终在追爬虫 早晚会有一只蜘蛛会捉到爬虫 2 爬虫在某条棱上 不妨设爬虫在 FG 上 这个时候 甲沿 CG 去追爬虫 若爬虫往 G 爬 那么爬虫必被捉到 同 1 若爬虫往 F