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1 湖南师大附中高二年级数学湖南师大附中高二年级数学 20132013 年期中考试年期中考试 文文 科科 试试 题题 卷卷 考查范围 必修考查范围 必修 5 5 第三章 选修第三章 选修 1 11 1 第一 二章第一 二章 时量 120 分钟 满 分 100 分 必考试卷 50 分 必考试卷 命题人 黄祖军 王朝霞 必考试卷必考试卷 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 7 7 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 3535 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 若 则下列不等式正确的是 0ab a b c d 22 a cb c 33 0ab 1 b a 11 22 ab 答案 b 解析 根据不等式的性质可知 答案选 b 2 不等式 2 0 xx 的解集为m 函数 ln 1 f xx 的定义域为n 则mn 为 a 0 1 b 0 1c 0 1d 1 0 答案 a 解析 不等式 2 0 xx 的解集为 函数 ln 1 f xx 的定义域为 0 1 m 故答案为 a 1 n 3 设变量x y满足约束条件 3 1 1 xy xy y 目标函数 则有 42zxy a 有最大值无最小值 b 有最小值无最大值zz c 的最小值是 8 d 的最大值是 10zz 答案 d 解析 先做出可行域 如图所示 当目标函数过直线 y 1 与 x y 3 的交点 2 1 时 z 取得最大值 10 答案为 d 4 以下命题 1 2yx x 002 1ababab 若 且则 其中正确的个数是 4 4x x 的最小值为 2 12ar aa a 0 b 1 c 2 d 3 答案 c 解析 式在的条件下才成立 故错 式 故正确 0 x 2 1 2 ab ab 2 故正确 故错 答案选 c 4 2 44x x 22 1 2 1 0aaa 5 下列命题为真命题的是 a 是的充分条件 b 是的充要条件ab 22 ab ab 22 ab c 是的充分条件 d 是的必要不充分条件 2 1x 1x sinsin 答案 b 6 已知动点的坐标满足方程 则的轨迹 m x y 2222 558 xyxy m 方程是 a b c d 22 1 169 xy 22 1 169 xy 22 10 169 xy x 22 10 169 yx y 答案 c 7 已知椭圆中心在原点 坐标轴为对称轴 离心率是 过点 则椭圆的方程是 2 2 4 0 a b 或 22 1 168 xy 22 1 168 xy 22 1 816 xy c d 或 22 1 1632 xy 22 1 168 xy 22 1 1632 xy 答案 d 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 请把答案填在答题卷对应题号后请把答案填在答题卷对应题号后 的横线上的横线上 8 已知 方程表示双曲线 则是的 35 pm q 22 1 25 xy mm pq 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 9 下列命题中 命题 若 则且 的逆否命题是真命题 命题 0ab 0a 0b 是周期函数 的否定是 不是周期函数 如果为真命题 则sinyx sinyx pq 也一定是真命题 已知 则 pq 2 10pxr xx 2 10pxr xx 其中正确的有 填序号 解析 3 10 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆 命题 p 22 44 mxym mr y qxr 恒成立 若为假命题 则实数的取值范围是 cos0 xmpq m 答案 解 命题真时 则假时 命题真时 14 mp4 mp4 mq 1m 命题假时 若为假命题 则假假 故实数的取值范围是q1m pq pqm 14 m 11 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线 且过点 则双曲线c 2 2 1 3 x y 33 a 的标准方程是 c 答案 解析 设的方程是 又过点 则 22 1 248 xy c 2 2 3 x y 33 a 8 即的方程是 c 22 1 248 xy 12 已知是抛物线上的焦点 是抛物线上的一个动点 若动点满足f 2 4yx pm 则的轨迹方程是 2fpfm m 答案 解析 用相关点代入法求解得 2 21yx 2 21yx 13 已知椭圆 圆与椭圆恰有两 22 22 10 xy ab ab 22 cab 22 xcyc 个公共点 则椭圆的离心率的取值范围是 e 答案 解析 据题意有 1 1 2 cac 1 1 2 e 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 3 3 小题 共小题 共 3535 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 14 本小题满分 11 分 已知椭圆 是其左右焦点 其离心率是 是 22 22 10 xy ab ab 1 f 2 f 6 3 p 椭圆上一点 的周长是 12 pff232 4 1 求椭圆的方程 2 试对讨论直线与该椭圆的公共点的个数 m2 yxm mr 解 1 设椭圆的焦距是 据题意则有 2c 6 3 22232 c a ac 3 2 a c 1b 故椭圆的方程是 5 分 2 2 1 3 x y 2 联立的方程组 整理得 2 2 2 1 3 yxm x y 22 1312330 xmxm 其判别式 8 分 2 13 12 12m 当即或时 直线与椭圆无公共点 0 13m 13m 当即时 直线与椭圆恰有一个公共点 0 13m 当即时 直线与椭圆恰有两个不同公共点 11 分0 1313m 15 本小题满分 12 分 已知函数满足 2 lg2 lg f xxaxb 1 0 f 1 求的最小值及此时与的值 abab 2 对于任意xr 恒有成立 求的取值范围 26 f xxa 解析 1 由可知且 3分 1 lglg10 fablglg1 10 abab0 a b 当且仅当时取等号 22 10abab 10ab 即当时有最小值 6分10ab ab 2 10 2 又因为对恒成立 即恒成立 26 f xxxr 2 460 lg lgxaxb 即对恒成立 8分 2 470 lg lgxaxa xr 故 10分 22 44 74120 lg lg lglgaaaa 解之得 则 12分26lga 6 1 10 100 a 16 本小题满分 12 分 5 已知双曲线 是双曲线的左右顶点 22 22 100 xy ab ab 1 a 2 a 是双曲线上除两顶点外的一点 直线与直线的斜率之积是 00 m xy 1 ma 2 ma 144 25 1 求双曲线的离心率 2 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 求双曲线的方程 12 解 1 因为在双曲线上 则 000 m xyxa 22 00 22 1 xy ab 3 分 222 00 22 yxa ba 22 0 222 0 yb xaa 又 则 5 12 00 aaa a 12 22 000 222 000 144 25 mama yyyb kk xa xaxaa 分 及 解之得 7 分 22 2 2 144 1 25 ca e a 13 5 e 2 取右焦点 一条渐近线即 0 f c b yx a 0bxay 据题意有 10 分 22 0 12 bcbc b c ab 由 1 知 11 分 2 2 144 25 b a 5a 故双曲线的方程是 12 分 22 1 25144 xy 必考试卷必考试卷 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1 1 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 5 5 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知是抛物线上的一个动点 到直线的距离是 到直线m 2 8yx m2x 1 dm 的距离是 则的最小值是 4xy 2 d 12 dd a b c d 不存在02 23 2 c 解析 直线恰是抛物线的准线 则等于到抛物线的焦点2x 2 8yx 1 dm 6 的距离 则的最小值就是焦点到直线的距离2 0 f 12 dd 2 0 f 4xy 204 3 2 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 1 1 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 5 5 分分 请把答案填在答题卷对应题号后的请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上横线上 2 已知过椭圆e 的焦点的弦的中点m的坐标是 22 22 1 0 xy ab ab 1 0 f ab 则椭圆e的方程是 2 1 3 3 2 2 1 2 x y 解析 1 法一 设 据题意有 112212 a x yb xyxx 12 12 4 3 2 3 xx yy 又相减得 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 2 2121212121 222 21 2 0 xxxxyyyyyyb abxxa 而 而 2 22 21 2 21 1 0 2 3 2 2 1 3 mf yyb kab xxa 22 1 1cab 解得 即椭圆方程是 22 2 1 ab 2 2 1 2 x y 法二 直线的方程是 ab1yx 联立 2222222 22 22 1 20 1 yx abxa xaa b xy ab 解得 22 121212 2222 2422 2 33 ab xxyyxx abab 22 2 1 ab 7 2m a b ef c d 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 3 3 小题 共小题 共 4040 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 3 本小题满分 13 分 围建一个面积为的矩形场地 要求矩形场地 abcd 的一面利用旧墙 ef 利用旧 2 360m 墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口 2m 如图所示 已知旧墙的维修费用为 新墙45 m元 的造价为 设利用的旧墙的长度为 单位 m180元xm 1 将总费用表示为的函数 yx 2 试确定 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 x 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为a米 2分 360 360 axa x 所以 4分 360 2 45180 2 180yxx x 6分 2 360 225360 2 yxx x 2 解 2 360360 360 2253602 2253602 15 36036010440yxx xx 10分 当且仅当时 等号成立 12 360 360 225 24xx x 即当时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是10440元 13分24xm 4 本小题满分 13 分 已知椭圆 过椭圆的右焦点的直线 与椭圆交于点 定直线 22 1 43 xy flab 8 交轴于点 直线和直线的斜率分别是 4x xkkakb 1 k 2 k 1 若直线 的倾斜角是 求线段的长 l45 ab 2 求证 12 0kk 解 1 直线 的方程是 代入椭圆方程整理得 l1yx 2 7880 xx 设 则 2 分 1122 a xyb xy 12 12 8 7 8 7 xx x x 22 1212 64824 1424 4977 abkxxx x 或 5 分 12 1824 22 2 277 abae xx 2 当轴时 由椭圆的对称性易知 6 分lx 12 0kk 当 不与轴垂直时 设其方程是 代入椭圆方程整理得 lx1 yk x 易知其判别式恒成立 2222 3484120 kxk xk 0 设 则 9 分 1122 a xyb xy 2 122 2 122 8 34 412 34 k xx k k x x k 而4 0 k 则 10 分 12121212 12 1211 4 4444 yyx yy xyy kk xxxx 121212211212 41142 x yy xyyk xxk xxk xx 1212 258 kx xxx 22 22 82440 8 3434 kk k kk 0 即 12 0kk 9 综上总有 13 分 12 0kk 也可设 的方程是化为关于的方程解 还可用椭圆的第二定义及几何知l1xmy y 识证明平分 略 kfakb 5 本小题满分 14 分 已知抛物线 直线交于两点 是线段的中点 过c 2 2yx 2ykx cab mab 作轴的垂线交于点 mxcn 1 写出抛物线的焦点坐标及准线方程 2 证明 抛物线在点处的切线与直线平行 cnab 3 是否存在实数使 若存在 求的值 若不存在 说明理由 k0 ana nbk 解 1 将化为 则焦点坐标是 准线方程是 2 分 2 2yx 2 1 2 xy 1 0 8 1 8 y 2 如图 设 把代入 2 11 2 a xx 2 22 2 b xx 2ykx 得 2 2yx 2 220 xkx 由韦达定理得 4 分 12 2 k xx 12 1x x 点的坐标为 12 24 nm xxk xx n 2 48 k k 设抛物线在点处的切线 的方程为 5 分nl 2 84 kk ym x 将代入
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