新（浙江专用）高考数学二轮专题突破 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题 理.doc

第3讲数列的综合问题1(2015湖南)已知a0，函数f(x)eaxsin x(x0，)记xn为f(x)的从小到大的第n(nn*)个极值点，证明：数列f(xn)是等比数列2(2014课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一利用sn，an的关系式求an1数列an中，an与sn的关系：an.2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)例1数列an中，a11，sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式思维升华给出sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用snsn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为sn的递推关系，先求出sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1已知正项数列an的前n项和为sn，且sn，则数列an的通项公式是_热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题例2若数列an的前n项和为sn，点(an，sn)在yx的图象上(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)若c10，且对任意正整数n都有cn1cnlogan.求证：对任意正整数n2，总有.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练2(2015浙江温州第二次适应性测试)已知数列an满足：a11，a22，且an12an3an1(n2，nn*)(1)设bnan1an(nn*)，求证：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；求证：对任意的nn*都有0且a1)的图象上一点，数列bn的前n项和snf(n)1.(1)求数列an和bn的通项公式； (2)求证：数列的前n项和tn0，a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若bn，数列bn的前n项和为tn，则t10等于()a. b.c. d.6若数列an的前n项和snan，则an的通项公式是an_.7等差数列an的前n项和为sn，已知s100，s1525，则nsn的最小值为_8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前n项和sn_.9已知数列an的前n项和sn满足：sn2an2n(nn*)(1)求数列an的通项an；(2)若数列bn满足bnlog2(an2)，tn为数列的前n项和，求证：tn.10(2015杭州质检)已知数列an的首项a11，an11，其中nn*.(1)设bn，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式；(2)设cn，数列cncn2的前n项和为tn，是否存在正整数m，使得tn0)及两点a1(x1,0)和a2(x2,0)，其中x2x10.过a1，a2分别作x轴的垂线，交曲线c于b1，b2两点，直线b1b2与x轴交于点a3(x3,0)，那么()ax1，x2成等差数列bx1，x2成等比数列cx1，x3，x2成等差数列dx1，x3，x2成等比数列12记数列2n的前n项和为an，数列的前n项和为sn，数列bn的通项公式为bnn8，则bnsn的最小值为_13已知向量a(2，n)，b(sn，n1)，nn*，其中sn是数列an的前n项和，若ab，则数列的最大项的值为_14数列an的前n项和为sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，sn)在直线2xy20上(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列snn为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由学生用书答案精析第3讲数列的综合问题高考真题体验1证明f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mn*，对kn，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，则f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反于是当xm(mn*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nn*)此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin ，公比为ea的等比数列2(1)解由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)证明由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1).所以0，所以anan10，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n.例2(1)解snan，当n2时，ansnsn1an1an，anan1.又s1a1，a1，an()n1()2n1.(2)证明由cn1cnlogan2n1，得当n2时，cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1)(1)()()()(1)()().又，原式得证跟踪演练2(1)证明由已知得an1an3(anan1)(n2，nn*)，则bn3bn1.又b13，则bn是以3为首项、3为公比的等比数列(2)解由an1an3n得，设cn，则cn1cn，可得cn1(cn)，又c1，故cn()n1，则an.证明，故1(1)80，当n7时，由于s6570，故sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因为an是递减数列，所以an是递减数列因为an，a882.73480，a976.8230，所以tn0)当a1时，sn0，是等差数列而不是等比数列；当a1时是等比数列故选c.2a记bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.3c由snn26n可得，当n2时，ansnsn1n26n(n1)26(n1)2n7.当n1时，s15a1，也满足上式，an2n7，nn*.n3时，an3时，an0.tn4c由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有390305d，解得d.5byloga(x1)3恒过定点(2,3)，即a22，a33，又an为等差数列，ann.bn.t101，故选b.6(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，ansnsn1anan1，故2，故an(2)n1.749解析设数列an的首项和公差分别为a1，d，则则nsnn3nn2.设函数f(x)x2，则f(x)x2x，当x(0，)时，f(x)0，所以函数f(x)minf()，但649，所以最小值为49.82n12解析an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.sn2n12.9(1)解当nn*时，sn2an2n，则当n2时，sn12an12(n1)，两式相减得an2an2an12，即an2an12，an22(an12)，2，当n1时，s12a12，则a12，an2是以a124为首项，2为公比的等比数列，an242n1，an2n12.(2)证明bnlog2(an2)log22n1n1，则tn，tn，两式相减得tn，tn，当n2时，tntn10，tn为递增数列，tnt1.10解(1)bn1bn2(常数)，数列bn是等差数列a11，b12，因此bn2(n1)22n，由bn得an.(2)由cn，an得cn，cncn22()，tn2(1)2(1)3，依题意要使tn对于nn*恒成立，只需3，即3，解得m3或m4，又m为正整数，所以m的最小值为3.11a由题意，得b1，b2两点的坐标分别为(x1，)，(x2，)，所以直线b1b2的方程为y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差数列124解析根据已知，可得ann(n1)，所以，所以sn，所以bnsnn1104，当且仅当n1，即n2时等号成立，所以bnsn的最小值为4.13.解析依题意得ab0，即2snn(n1)，sn.当n2时，ansnsn1n；又a1s11，因此ann，当且仅当n，nn*，即n2时取等号，因此数列的最大项的值为.14解(1)由题意，可得