江苏省丹阳市八中九年级数学 思维拓展训练（一） 人教新课标版.doc

江苏省丹阳市八中九年级数学 思维拓展训练（一） 人教新课标版 2（2012德州）如图，在一单位为1的方格纸上，a1a2a3，a3a4a5，a5a6a7，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形若a1a2a3的顶点坐标分别为a1（2，0），a2（1，1），a3（0，0），则依图中所示规律，a2012的坐标为3（1）操作发现：如图，d是等边abc边ba上一动点（点d与点b不重合），连接dc，以dc为边在bc上方作等边dcf，连接af你能发现线段af与bd之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点d运动至等边abc边ba的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想af与bd在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点d在等边abc边ba上运动时（点d与点b不重合）连接dc，以dc为边在bc上方、下方分别作等边dcf和等边dcf，连接af、bf，探究af、bf与ab有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点d在等边边ba的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论课后练习：1如图，在平面直角坐标系中，点a1是以原点o为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点a2是以原点o为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；按照这样的规律进行下去，点an的坐标为 xyoa1a2a3l2l1l314232如图，已知正方形abcd中，点e、f分别为ab、bc的中点，点m在线段bf上（不与点b重合），连接em，将线段em绕点m顺时针旋转90得mn，连接fn（1）特别地，当点m为线段bf的中点时，通过观察、测量、推理等，abcdemfng猜想：nfc= ， ； （2）一般地，当m为线段bf上任一点（不与点b重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；（3）进一步探究：延长fn交cd于点g，求的值3如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片abcd，点p为正方形ad边上的一点（不与点a、点d重合）将正方形纸片折叠，使点b落在p处，点c落在g处，pg交dc于h，折痕为ef，连接bp、bh（1）求证：apb=bph；（2）当点p在边ad上移动时，pdh的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设ap为x，四边形efgp的面积为s，求出s与x的函数关系式，试问s是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由2考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：（1）根据翻折变换的性质得出pbc=bph，进而利用平行线的性质得出apb=pbc即可得出答案；（2）首先证明abpqbp，进而得出bchbqh，即可得出pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8；（3）利用已知得出efmbpa，进而利用在rtape中，（4be）2+x2=be2，利用二次函数的最值求出即可解答：（1）解：如图1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp即pbc=bph又adbc，apb=pbcapb=bph（2）phd的周长不变为定值8证明：如图2，过b作bqph，垂足为q由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbpap=qp，ab=bq又ab=bc，bc=bq又c=bqh=90，bh=bh，bchbqhch=qhphd的周长为：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8（3）如图3，过f作fmab，垂足为m，则fm=bc=ab又ef为折痕，efbpefm+mef=abp+bef=90，efm=abp又a=emf=90，efmbpaem=ap=x在rtape中，（4be）2+x2=be2解得，又四边形pefg与四边形befc全等，即：配方得，当x=2时，s有最小值6考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理sas可以证得bcdacf；然后由全等三角形的对应边相等知af=bd；（2）通过证明bcdacf，即可证明af=bd；（3）af+bf=ab；利用全等三角形bcdacf（sas）的对应边bd=af；同理bcfacd（sas），则bf=ad，所以af+bf=ab；中的结论不成立新的结论是af=ab+bf；通过证明bcfacd（sas），则bf=ad（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得af=ab+bf解答：解：（1）af=bd；证明如下：abc是等边三角形（已知），bc=ac，bca=60（等边三角形的性质）；同理知，dc=cf，dcf=60；bcadca=dcfdca，即bcd=acf；在bcd和acf中，bcdacf（sas），bd=af（全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得bcdacf（sas），则af=bd（全等三角形的对应边相等），所以，当动点d运动至等边abc边ba的延长线上时，其他作法与（1）相同，af=bd仍然成立；（3）af+bf=ab；证明如下：由（1）知，bcdacf（sas），则bd=af；同理bcfacd（sas），则bf=ad，af+bf=bd+ad=ab；中的结论不成立新的结论是af=ab+bf；证明如下：在bcf和acd中，bcfacd（sas）