湖北省宜昌一中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省宜昌一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集u=r，a=y|y=2x+1，b=x|lnx0，则（ua）b=（）abx|x1cx|x1dx|0x12下列命题中是假命题的是（）a存在，r，使tan（+）=tan +tan b对任意x0，有lg2x+lg x+10cabc中，ab的充要条件是sin asin bd对任意r，函数y=sin（2x+）都不是偶函数3直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则“k=1”是“oab的面积为”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件4设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）a若ab，a，b，则bb若ab，a，b，则c若a，则a或ad若 a，则a5由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到的回归直线方程为= x+，下列四个命题中正确的个数有（）（1）直线= x+必经过点（，）（2）直线= x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点（3）直线= x+，的斜率为（4）直线= x+，和各点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）的偏差yi（bxi+a）2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的a1个b2个c3个d4个6如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）am=38，n=12bm=26，n=12cm=12，n=12dm=24，n=107（1+2x）2（1x）5=，则a1a2+a3a4+a5a6+a7等于（）a32b32c33d318某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻那么不同的发言顺序种数为（）a360b520c600d7209如图f1、f2是椭圆c1：+y2=1与双曲线c2的公共焦点，a、b分别是c1、c2在第二、四象限的公共点，若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是（）abcd10已知圆c：（x3）2+（y）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的最大值为（）a6b5c4d311已知关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间1，+）上是增函数的概率是（）abcd12已知双曲线c：=1（a0，b0）的右焦点f2，m（x0，y0）（x00，y00）是双曲线c上的点，n（x0，y0），连接mf2并延长mf2交双曲线c于p，连接nf2，pn，若nf2p是以nf2p为顶角的等腰直角三角形，则双曲线c的渐近线方程为（）ay=2xby=4xcy=xdy=x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若=4，则qf等于14某班有50名同学，一次数学考试的成绩x服从正态分布n，已知p=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有人15若的展开式中常数项为5，则该展开式中x2项的系数为16已知正abc的顶点a在平面上，顶点b、c在平面的同一侧，d为bc的中点，若abc在平面上的投影是以a为直角顶点的三角形，则直线ad与平面所成角的正弦值的范围为三、解答题：本大题共6小题，共计70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，又pq为真，pq为假，求实数m的取值范围18某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150）总计频数 b频率 a 0.25（1）求表中a，b的值（2）求分数在90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在90，150）内为及格）；（3）从成绩在100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在100，110）内的人数最多2人的概率19已知圆c的圆心在直线3x+y5=0上，并且经过原点和点a（3，1）（）求圆c的方程（）若直线l过点p（1，1）且截圆c所得的弦长为，求直线l的方程20如图，在多面体abcdef中，正方形adef与梯形abcd所在平面互相垂直，abcd，adcd，ab=ad=1，cd=2，m、n分别为ec和bd的中点（）求证：bc平面bde；（）求直线mn与平面bmc所成的角的正弦值21某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示（）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望e22已知动圆q过定点f（0，1），且与直线y=1相切；椭圆n的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点o，f是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆n上（1）求动圆圆心q的轨迹m的方程和椭圆n的方程；（2）过点（0，4）作直线l交轨迹m于a，b两点，连结oa，ob，射线oa，ob交椭圆n于c，d两点，求ocd面积的最小值（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆n上一动点p作圆x2+（y1）2=1的两条切线，切点分别为g，h，求的取值范围2015-2016学年湖北省宜昌一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集u=r，a=y|y=2x+1，b=x|lnx0，则（ua）b=（）abx|x1cx|x1dx|0x1【考点】补集及其运算；交集及其运算 【专题】计算题【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合a由求指数函数的值域进行化简，集合b通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意a=y|y=2x+1=y|y1，b=x|lnx0=x|0x1，故cua=y|y1 （cua）b=x|0x1 故选d【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力2下列命题中是假命题的是（）a存在，r，使tan（+）=tan +tan b对任意x0，有lg2x+lg x+10cabc中，ab的充要条件是sin asin bd对任意r，函数y=sin（2x+）都不是偶函数【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】转化思想；分析法；简易逻辑【分析】a存在在=0，即可判断出正误；b对任意x0，有lg2x+lg x+1=+0，即可判断出正误；c利用三角形边角关系、正弦定理，即可判断出正误；d取=（kz），即可判断出正误【解答】解：a存在在=0，使tan（+）=tan +tan ，是真命题；b对任意x0，有lg2x+lg x+1=+0，是真命题；cabc中，ababsin asin b，是真命题；d取=（kz），函数y=sin（2x+）=cos2x是偶函数，因此是假命题故选：d【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则“k=1”是“oab的面积为”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质 【专题】直线与圆；简易逻辑【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则圆心到直线距离d=，|ab|=2，若k=1，则|ab|=，d=，则oab的面积为=成立，即充分性成立若oab的面积为，则s=2=，即k2+1=2|k|，即k22|k|+1=0，则（|k|1）2=0，即|k|=1，解得k=1，则k=1不成立，即必要性不成立故“k=1”是“oab的面积为”的充分不必要条件故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键4设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）a若ab，a，b，则bb若ab，a，b，则c若a，则a或ad若 a，则a【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】空间位置关系与距离【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若ab，a，b，则由直线与平面平行的判定定理得b，故a正确；若ab，a，b，则由平面与平面垂直的判定定理得，故b正确；若a，则线面垂直、面面垂直的性质得a或a，故c正确；若a，则a与相交、平行或a，故d错误故选：d【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养5由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到的回归直线方程为= x+，下列四个命题中正确的个数有（）（1）直线= x+必经过点（，）（2）直线= x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点（3）直线= x+，的斜率为（4）直线= x+，和各点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）的偏差yi（bxi+a）2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的a1个b2个c3个d4个【考点】线性回归方程 【专题】函数思想；分析法；概率与统计【分析】根据最小二乘法原理和回归系数公式进行判断【解答】解：由回归系数公式=可知（1）正确；由回归系数公式=可知（3）正确；由最小二乘法原理可知（4）正确，（2）不正确故选：c【点评】本题考查了最小二乘法求回归方程原理，属于基础题6如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）am=38，n=12bm=26，n=12cm=12，n=12dm=24，n=10【考点】茎叶图；循环结构 【专题】概率与统计；算法和程序框图【分析】算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有501212=26，故m=26故选：b【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键7（1+2x）2（1x）5=，则a1a2+a3a4+a5a6+a7等于（）a32b32c33d31【考点】二项式定理的应用 【专题】计算题；规律型；整体思想；试验法；二项式定理【分析】利用赋值法，化简求解即可【解答】解：（1+2x）2（1x）5=，当x=0时，a0=1当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0，当x=1时，a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=25可得a1+a3+a5+a7=16+得：a0+a2+a4+a6=16a2+a4+a6=15a1a2+a3a4+a5a6+a7=31故选：d【点评】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，考查计算能力8某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻那么不同的发言顺序种数为（）a360b520c600d720【考点】排列、组合的实际应用 【专题】计算题【分析】根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有c21c53a44=480种情况；若甲乙两人都参加，有c22c52a44=240种情况，其中甲乙相邻的有c22c52a33a22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240120=600种，故选c【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法9如图f1、f2是椭圆c1：+y2=1与双曲线c2的公共焦点，a、b分别是c1、c2在第二、四象限的公共点，若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是（）abcd【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】不妨设|af1|=x，|af2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得c2的离心率【解答】解：设|af1|=x，|af2|=y，点a为椭圆c1：+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=；|af1|+|af2|=2a=4，即x+y=4；又四边形af1bf2为矩形，+=，即x2+y2=（2c）2=12，由得：，解得x=2，y=2+，设双曲线c2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|af2|af1|=yx=2，2n=2c=2，双曲线c2的离心率e=故选d【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|af1|与|af2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题10已知圆c：（x3）2+（y）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的最大值为（）a6b5c4d3【考点】直线与圆的位置关系 【专题】综合题；转化思想；数形结合法；直线与圆【分析】根据圆心c到o（0，0）的距离为4，可得圆c上的点到点o的距离的最大值为5再由apb=90，可得po=ab=m，可得m6，从而得到答案【解答】解：圆c：（x3）2+（y）2=1的圆心c（3，），半径为1，圆心c到o（0，0）的距离为4，圆c上的点到点o的距离的最大值为5再由apb=90可得，以ab为直径的圆和圆c有交点，可得po=ab=m，故有m5，故选：b【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆c上的点到点o的距离的最大值为5，是解题的关键，属于中档题11已知关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间1，+）上是增函数的概率是（）abcd【考点】几何概型；二次函数的性质 【专题】概率与统计【分析】由题意求出使二次函数在区间1，+）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1在区间1，+）上是增函数，则，即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y8=0与x+2y=0的交点为（），已知区域面积为=32，阴影部分面积为，所以函数f（x）在区间1，+）上是增函数的概率是；故选c【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出区域面积，由公式解答12已知双曲线c：=1（a0，b0）的右焦点f2，m（x0，y0）（x00，y00）是双曲线c上的点，n（x0，y0），连接mf2并延长mf2交双曲线c于p，连接nf2，pn，若nf2p是以nf2p为顶角的等腰直角三角形，则双曲线c的渐近线方程为（）ay=2xby=4xcy=xdy=x【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可设双曲线的左焦点为f1，并连接mf1，mf2，根据双曲线的对称性及条件便知四边形f1nf2m为矩形，可设mf2=x，并连接pf1，这样根据双曲线的定义及平行四边形对边相等即可得出mf1=2a+x，mp=2a+2x，pf1=4a+x，这样根据直角三角形的边的关系即可得到，这样可以由解出x，带入中便可得到a，b，c的关系，根据c2=a2+b2即可得出的值，从而便得出渐近线方程【解答】解：如图，设f1为双曲线左焦点，连接mf1，nf1，则：由对称性可知四边形f1nf2m为平行四边形；又mf2n=90；f1nf2m为矩形；设mf2=x，则mf1=2a+x；pf2=nf2=mf1=2a+x；pf1=2a+pf2=4a+x；在rtmf1f2中有：（2a+x）2+x2=4c2 ；在rtmf1p中有：（2a+x）2+（2a+2x）2=（4a+x）2 ；由解得，x=a，代回得：9a2+a2=4c2；渐近线方程为：y=故选c【点评】考查双曲线的对称性，双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及双曲线的定义，直角三角形的边的关系，c2=a2+b2，双曲线的渐近线方程二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若=4，则qf等于3【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得直线pf的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|qf|=d可求【解答】解：设q到l的距离为d，则|qf|=d，=4，|pq|=3d，不妨设直线pf的斜率为=2，f（2，0），直线pf的方程为y=2（x2），与y2=8x联立可得x=1，|qf|=d=1+2=3，故答案为：3【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题14某班有50名同学，一次数学考试的成绩x服从正态分布n，已知p=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【专题】应用题；概率与统计【分析】根据考试的成绩服从正态分布n得到考试的成绩关于=110对称，根据p=0.34，得到p（120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【解答】解：考试的成绩服从正态分布n考试的成绩关于=110对称，p=0.34，p（120）=p（100）=（10.342）=0.16，该班数学成绩在120分以上的人数为0.1650=8故答案为：8【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解15若的展开式中常数项为5，则该展开式中x2项的系数为【考点】二项式定理的应用 【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理【分析】根据的展开式中常数项为5，求出a的值，即可求展开式中x2的系数【解答】解：的展开式中常数项为=5，a=，展开式中x2的系数为=，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题16已知正abc的顶点a在平面上，顶点b、c在平面的同一侧，d为bc的中点，若abc在平面上的投影是以a为直角顶点的三角形，则直线ad与平面所成角的正弦值的范围为【考点】直线与平面所成的角 【专题】计算题；压轴题【分析】根据题意，作图，设正三角形的边长为1，设出b，c到面的距离分别为a，b，则dg的长度为两者和的一半，通过解直角三角形用a，b表示出dg，得出sin的表达式后，再根据条件，利用函数、不等式知识研究其最值【解答】解：设正abc边长为1，则线段ad=设b，c到平面距离分别为a=be，b=cf，则d到平面距离为hdg=射影三角形两直角边的平方分别为1a2，1b2，设线段bc射影长为c，则1a2+1b2=c2，（1）又线段ad射影长为 ，所以（ ）2+=ad2=，（2）由（1）（2）联立解得 ab=，所以sin=，当a=b=时等号成立此时bc与平行令函数f（a）=，0a1，根据b，c关于d的对称性，不妨研究a1的情形由于函数f（a）=1=当a1时，f（a）0，所以f（a）在（1）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+=，sin趋近于所以sin的取值范围为故答案为：【点评】本题考查线面角的大小度量，考查空间想象、计算、推理论证能力以及建立数学模型，解决数学模型的能力三、解答题：本大题共6小题，共计70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，又pq为真，pq为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时的取值即可求出命题p，q为真时的m的取值范围，然后根据pq为真，pq为假得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可【解答】解：若p为真，则：；m2；若命题q为真，则：=16（m2）2160；1m3；由pq为真，pq为假知p，q一真一假；，或；解得m3，或1m2；m的取值范围是（1，23，+）【点评】考查双曲线的标准方程，以及一元二次方程无实根时的取值情况，pq，pq的真假和p，q真假的关系18某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150）总计频数 b频率 a 0.25（1）求表中a，b的值（2）求分数在90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在90，150）内为及格）；（3）从成绩在100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在100，110）内的人数最多2人的概率【考点】茎叶图 【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计【分析】（1）由茎叶图中的数据以及频率=的关系，求出a和b的值；（2）求出分数在90，150范围内的学生人数，计算及格率（对应的频率）即可；（3）求出分数在100，130）和100，110）范围内的人数，再计算成绩在100，110）内的人数最多2人的概率p=p（x=1）+p（x=2）【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在50，70）范围内的有2人，在110，130）范围内的有3人，a=0.1，b=3；（2）分数在70，90）内的人数200.25=5，结合茎叶图可得分数在70，80）内的人数为2，所以分数在90，100）范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为100%=65%；（3）由茎叶图可知分数在100，130）范围内的有7人，分数在100，110）范围内的有4人，则其中成绩在100，110）内的人数最多2人的概率p=p（x=1）+p（x=2）=+=+=【点评】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题目19已知圆c的圆心在直线3x+y5=0上，并且经过原点和点a（3，1）（）求圆c的方程（）若直线l过点p（1，1）且截圆c所得的弦长为，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系 【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（）设心为（x0，53x0），则，可得圆心和半径，从而求得圆的方程（）分类讨论，设出直线的方程，求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程【解答】解：（i）设圆心为（x0，53x0），则解得，所以圆的方程：（ii）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为，弦长为符合题意当直线l不垂直于x轴时，设方程为y1=k（x1），由弦心距三角形得解得，所以方程为5x+12y17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y17=0【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆心坐标与半径是关键20如图，在多面体abcdef中，正方形adef与梯形abcd所在平面互相垂直，abcd，adcd，ab=ad=1，cd=2，m、n分别为ec和bd的中点（）求证：bc平面bde；（）求直线mn与平面bmc所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明bcbd，bcde，即可证明bc平面bde；（）以d为坐标原点建立如图所示直角坐标系dxyz，求出平面bmc的法向量，即可求直线mn与平面bmc所成的角的正弦值【解答】（）证明：在梯形abcd中，取cd中点h，连接bh，因为ad=ab，abcd，adcd，所以四边形adhb为正方形，又bd2=ad2+ab2=2，bc2=hc2+hb2=2，所以cd2=bd2+bc2，所以bcbd又平面adef平面abcd，平面adef平面abcd=ad，dead，所以de平面abcd，所以bcde，又bdde=d，故bc平面bde（）解：由（）知cd平面abcd，adcd，所以de，da，dc两两垂直以d为坐标原点建立如图所示直角坐标系dxyz，则c（0，2，0），b（1，1，0），e（0，0，1），设为平面bmc的法向量，则，即可取，又，所以直线mn与平面bmc所成的角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力以及逻辑推理能力21某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示（）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望e【考点】离散型随机变量的期望与方差