江苏省南京市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）苏教版.docVIP

江苏省南京市2012-2013学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分请把答案填写在答卷纸相应位置上1（3分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题分析：利用复数的代数运算将转化为1i，即可判断它在复平面内的位置解答：解：=1i，数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限故答案为：四点评：本题考查复数的代数运算，将其转化为a+bi的形式是关键，属于基础题2（3分）已知命题p：xr，x2x1，则p为xr，x2x1考点：命题的否定；全称命题.专题：阅读型分析：根据命题p：“xr，x2x1”是全称命题，其否定p定为其对应的特称命题，由变，结论变否定即可得到答案解答：解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xr，x2x1，的否定是：xr，x2x1故答案为：xr，x2x1点评：命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”3（3分）在平面直角坐标系中，准线方程为y=4的抛物线标准的方程为x2=16y考点：抛物线的标准方程.专题：计算题分析：设所求的抛物线方程为：x2=2py（p0），依题意，=4可求得p解答：解：设所求的抛物线方程为：x2=2py（p0），其准线方程为y=4，=4，p=8抛物线标准的方程为x2=16y故答案为：x2=16y点评：本题考查抛物线的标准方程，求得x2=2py（p0）中的p是关键，属于中档题4（3分）“x1”是“xa”的充分不必要条件，则a的范围为a1考点：充要条件.专题：计算题分析：“x1”是“xa”的充分不必要条件，即由“x1”可得“xa”，反之不成立，由此即可得到结论解答：解：由题意“x1”是“xa”的充分不必要条件，a1故答案为a1点评：本题考查充要条件，求解的关键是正确理解充分不必要条件的含义，并能根据其含义对所给的条件进行正确转化5（3分）若圆x2+y2=4与圆x2+（y3）2=r2 （r0）外切，则实数r的值为1考点：圆与圆的位置关系及其判定.专题：计算题分析：利用两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和来求出r的值解答：解：圆x2+y2=4的圆心坐标（0，0）半径为2；圆x2+（y3）2=r2 （r0）的圆心坐标（0，3），半径为r，两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和，3=2+r，r=1，故答案为：1点评：本题考查圆与圆的位置关系，两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和6（3分）若复数z满足（z+i）（2i）=11+7i（i为虚数单位），则|z|=5考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模.专题：计算题分析：设出复数z，代入题目给出的等式，由实部等于实部，虚部等于虚部联立方程组求解a，b的值，则z可求，从而|z|可求解答：解：设z=a+bi（a，br），由（z+i）（2i）=11+7i，得：（a+（b+1）i）（2i）=11+7i，则（2a+b+1）+（2ba+2）i=11+7i，所以，解得：所以，z=3+4i所以，故答案为5点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，考查了复数模的求法，此题是基础题7（3分）函数y=2sinxx，x0，的单调递减区间为（，）考点：正弦函数的单调性.专题：三角函数的图像与性质分析：求导数可得y=2cosx1，令其小于0，解不等式可得答案解答：解：y=2sinxx，y=2cosx1，令y=2cosx10，结合x0，可得x，故函数的单调递减区间为（，）故答案为：（，）点评：本题考查函数的单调性，用导数工具是解决问题的关键，属基础题8（3分）（2012朝阳区二模）直线y=kx+3与圆（x3）2+（y2）2=4相交于m，n两点，若mn=2，则实数k的值是0或考点：直线与圆的位置关系.专题：计算题；直线与圆分析：由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长mn=2，解此方程求出k的取值即可解答：解：圆（x3）2+（y2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x3）2+（y2）2=4相交于m，n两点，若mn=2，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0或k=，故答案为：0或点评：本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用考查计算能力9（3分）已知动点m到a（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，则动点m的轨迹方程为3x2y2=12考点：轨迹方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设动点m（x，y），由动点m到a（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，知=2|x1|，由此能求出动点m的轨迹方程解答：解：设动点m（x，y），动点m到a（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，=2|x1|，整理，得动点m的轨迹方程为3x2y2=12故答案为：3x2y2=12点评：本题考查动点m的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用10（3分）观察下列等式：=（），=（），=（），=（），可推测当n3，nn*时，=（）考点：类比推理.专题：规律型分析：通过观察可知，等式的规律特点为：积的倒数等于倒数的差乘以差的倒数，据此规律可求得答案解答：解：通过观察四个等式可看出：两个整数乘积的倒数，等于较小整数的倒数减去较大整数倒数的差再乘以较大整数减去较小整数差的倒数，从而推测可推测当n3，nn*时，=（），故答案为：=（）点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律进行推理寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系11（3分）已知椭圆+=1与双曲线y2=1有共同焦点f1，f2，点p是两曲线的一个交点，则|pf1|pf2|=5考点：圆锥曲线的共同特征.专题：计算题分析：利用椭圆+=1与双曲线y2=1有共同的焦点f1、f2，结合椭圆和双曲线的定义求出|pf1|与|pf2|的表达式，代入即可求出|pf1|pf2|的值解答：解：设p在双曲线的右支上，左右焦点f1、f2：利用椭圆以及双曲线的定义可得：|pf1|+|pf2|=6|pf1|pf2|=4由得：|pf1|=5，|pf2|=1|pf1|pf2|=51=5故答案为：5点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题解决本题的关键在于根据椭圆与双曲线有共同的焦点f1、f2，两个圆锥曲线的定义的应用，考查计算能力12（3分）在直角三角形abc中，c为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形abc补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥sabc中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥sabc外接球的半径为考点：类比推理.专题：规律型分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径r为长方体对角线长的一半解答：解：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径r为长方体对角线长的一半故为故答案为：点评：本题考查类比思想及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力13（3分）已知曲线y=x2 （x0）在点p处切线恰好与圆c：x2+（y+1）2=1相切，则点p的坐标为（，6）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用分析：先设p（x0，y0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简，根据此直线与圆c：x2+（y+1）2=1相切，转化成圆心到直线的距离等于半径，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可解答：解：设p（x0，y0），由题意知曲线y=x2在p点的切线斜率为k=2x0，切线方程为2x0xyx02=0，而此直线与圆c：x2+（y+1）2=1相切，d=解得x0=（负值舍去），y0=6p点的坐标为（，6）故答案为：（，6）点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及直线与圆相切的条件，属于基础题14（3分）若函数f（x）在定义域d内某区间i上是增函数，且在i上是减函数，则称y=f（x）在i 上是“弱增函数”已知函数h（x）=x2（b1）x+b在（0，1上是“弱增函数”，则实数b的值为1考点：奇偶性与单调性的综合.专题：新定义分析：由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值解答：解：因为h（x）在（0，1上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减（1）由h（x）在（0，1）上递增，得0，解得b1；（2）由=x+（b1）在（0，1）上递减，得若b0，=x+（b1）在（0，+）上递增，不合题意；若b0，由=x+（b1）在（0，1）上递减，得1，解得b1，综上，得b1，由（1）（2），得b=1故答案为：1点评：本题考查函数的单调性问题，熟练掌握常见函数如：二次函数、“对勾函数”的单调性可以为我们迅速解决问题提供帮助二、解答题：本大题共6小题，共计58分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（8分）已知命题p：任意xr，x2+1a，命题q：方程=1表示双曲线（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假；命题的真假判断与应用.专题：计算题分析：（1）由题意先求出f（x）的最小值，然后结合命题p为真命题，可知af（x）min，从而可求a的范围（2）因由为真命题，可知a+20，可求a的范围，然后结合p且q可知p，q都为真，可求解答：解（1）记f（x）=x2+1，xr，则f（x）的最小值为1，（2分）因为命题p为真命题，所以af（x）min=1，即a的取值范围为（，1 （4分）（2）因为q为真命题，所以a+20，解得a2（6分）因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为（2，1（8分）说明：第（1）问得出命题p为真命题的等价条件a1，给（4分），没过程不扣分，第（2）问分两步给，得到a2给（2分），得到x（2，1给（2分），少一步扣（2分）点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求出命题p，q为真时参数的范围16（8分）已知以点p为圆心的圆经过点a（1，0）和b（3，4），线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d，且|cd|=4（1）求直线cd的方程；（2）求圆p的方程考点：直线和圆的方程的应用.专题：综合题分析：（1）直接用点斜式求出直线cd的方程；（2）根据条件得知|pa|为圆的半径，点p在直线cd上，列方程求得圆心p坐标，从而求出圆p的方程解答：解：（1）直线ab的斜率k=1，ab中点坐标为（1，2），（3分）直线cd方程为y2=（x1）即x+y3=0 （6分）（2）设圆心p（a，b），则由点p在直线cd上得： a+b3=0 （8分）又直径|cd|=，（a+1）2+b2=40 （10分）由解得或圆心p（3，6）或p（5，2）（12分）圆p的方程为（x+3）2+（y6）2=40 或（x5）2+（y+2）2=40（14分）点评：此题考查直线方程的点斜式，和圆的标准方程17（10分）如图，四棱锥sabcd的底面为正方形，sd平面abcd，sd=ad=3，e为线段sd上的一点（1）求证：acbe；（2）若de=1，求直线sc与平面ace所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定.专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）sd，dc，da两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出abcs点的坐标，设出e的坐标，求出向量，通过向量的数量积证明acbe；（2）通过de=1，求出，设出平面ace的法向量，通过=0，=0，求出，然后利用公式求出直线sc与平面ace所成角的正弦值解答：（本题满分10分）解 （1）因为四棱锥sabcd的底面为正方形，sd平面abcd，所以sd，dc，da两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则各点的坐标为d（0，0，0），a（3，0，0），b（3，3，0），c（0，3，0），s（0，0，3），（2分）设e（0，0，t） （0t3），则=（3，3，0），=（3，3，t）所以=3（3）+3（3）+0t=0，所以，即acbe； （5分）（2）因为de=1，所以t=1，所以=（0，3，3），=（3，3，0），=（3，0，1）设平面ace的法向量=（x，y，z），直线sc与平面ace所成角为，所以=0，=0，即3x+3y=0，3x+z=0，解得x=y，z=3x取x=1，则=（1，1，3），（8分）所以=01+31+（3）3=6，|=，|=3，则sin=|cos，|=|=所以直线sc与平面ace所成角的正弦值为 （10分）说明：第（1）问：建系设坐标给（2分），若没有指出sd，dc，da两两互相垂直，不扣分；写对，的坐标各给（1分）；第（2）问：分两步给分，求出法向量给（3分），求出角的正弦给（2分），若把它当成余弦扣（1分）点评：本题考查直线与直线的垂直的判断，直线与平面所成角的大小的求法，本题的解题的关键是空间直角坐标系的建立，以及公式的灵活应用，考查计算能力，空间想象能力18（10分）如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型设切去的等腰三角形的高为x m（1）求正四棱锥的体积v（x）；（2）当x为何值时，正四棱锥的体积v（x）取得最大值？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题；导数的综合应用；空间位置关系与距离分析：（1）由题意求出棱锥的底面面积以及棱锥的高，即可求正四棱锥的体积v（x）；（2）通过（1）棱锥的体积的表达式，利用函数的导数求出函数的极值点，说明是函数的最大值点，即可求解当x为何值时，正四棱锥的体积v（x）取得最大值解答：（本题满分10分）解 （1）设正四棱锥的底面中心为o，一侧棱为an则由于切去的是等腰三角形，所以an=，no=1x，（2分）在直角三角形aon中，ao=，（4分）所以v（x）=2（1x）2=（1x）2，（0x1） （6分）（不写0x1扣1分）（2）v（x）=（2x2）+=（x1），（8分）令v（x）=0，得x=1（舍去），x=当x（0，）时，v（x）0，所以v（x）为增函数；当x（，1）时，v（x）0，所以v（x）为减函数所以函数v（x）在x=时取得极大值，此时为v（x）最大值答：当x为m时，正四棱锥的体积v（x）取得最大值 （10分）说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣（1分），没有答扣（1分）点评：本题以折叠图形为依托，考查空间几何体的体积的求法，通过函数的对数求法函数的值的方法，考查空间想象能力与计算能力；解题中注意函数的定义域，导数的应用19（10分）如图，已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为f（c，0），下顶点为a（0，b），直线af与椭圆的右准线交于点b，与椭圆的另一个交点为点c，若f恰好为线段ab的中点（1）求椭圆的离心率；（2）若fc=，求椭圆的方程考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，可求得2c=，从而可求得椭圆的离心率；（2）由（1）可知直线ab的方程为y=xc，设c（x0，x0c），将其代入椭圆方程，可求得x0，利用两点间的距离公式表示出fc=，可求得c，从而可求得椭圆的方程解答：解（1）因为b在右准线上，且f恰好为线段ab的中点，所以2c=，（2分）即=，所以椭圆的离心率e=（4分）（2）由（1）知a=c，b=c，所以直线ab的方程为y=xc，设c（x0，x0c），因为点c在椭圆上，所以+=1，（6分）即+2（x0c）2=2c2，解得x0=0（舍去），x0=c所以c为（c，c），（8分）因为fc=，由两点距离公式可得（cc）2+（c）2=，解得c2=2，所以a=2，b=，所以此椭圆的方程为+=1 （10分）点评：本题考查椭圆的简单性质（求离心率），考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想与化归思想的综合应用，属于中档题20（12分）设函数f（x）=lnxax，ar（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a0时，求函数f（x）在区间1，2的最大值；（3）当a=1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m0）有唯一实数解，求实数m的值考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：导数的综合应用分析：（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f（1）=0，求出a的值，然后验证即可；（2）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当01，即a1时，当12，当2，分类讨论后，研究函数的单调性，从而求出函数f（x）在区间1，2的最大值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2