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4 3 2空间两点间的距离公式 问题提出 1 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么 2 在空间直角坐标系中 若已知两个点的坐标 则这两点之间的距离是惟一确定的 我们希望有一个求两点间距离的计算公式 对此 我们从理论上进行探究 空间两点间的距离公式 4 知识探究 一 与坐标原点的距离公式 思考1 在空间直角坐标系中 点A x 0 0 B 0 y 0 C 0 0 z 与坐标原点O的距离分别是什么 OA x OB y OC z 5 思考2 在空间直角坐标系中 坐标平面上的点A x y 0 B 0 y z C x 0 z 与坐标原点O的距离分别是什么 6 思考3 在空间直角坐标系中 设点P x y z 在xOy平面上的射影为M 则点M的坐标是什么 PM OM 的值分别是什么 M x y 0 PM z 在空间直角坐标系中 若已知两个点的坐标 则这两点之间的距离是惟一确定的 我们希望有一个求两点间距离的计算公式 对此 我们从理论上进行探究 长a 宽b 高c的长方体的对角线 怎么求 在空间直角坐标系中 点P x y z 到xOy平面的距离 怎么求 一 探究 空间两点间的距离公式 垂线段的长 在空间直角坐标系中 点P x0 y0 z0 到坐标轴的距离 怎么求 垂线段的长 1 空间点到原点的距离 2 如果是空间中任意一点P1 x1 y1 z1 到点P2 x2 y2 z2 之间的距离公式会是怎样呢 如图 设P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 是空间中任意两点 且点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 在xOy平面上的射影分别为M N 那么M N的坐标为M x1 y1 0 N x2 y2 0 在xOy平面上 过点P1作P2N的垂线 垂足为H 则 所以 因此 空间中任意两点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 之间的距离 在空间直角坐标系中 点P x1 y1 z1 和点Q x2 y2 z2 的中点坐标 x y z 二 空间中点坐标公式 例1在空间中 已知点A 1 0 1 B 4 3 1 求A B两点之间的距离 应用举例 例2已知两点A 4 1 7 和B 3 5 2 点P在z轴上 若 PA PB 求点P的坐标 P139 B3例4如图 在正方体ABCD A B C D 中 点P Q分别在棱长为1的正方体的对角线BD 和棱CC 上运动 求P Q两点间的距离的最小值 并指出此时P Q两点的位置 P x y z1 Q 0 1 z2 H x x 0 25 练习 M N 4 如图 正方体OABC D A B C 的棱长为a AN 2 CN BM 2 MC 求MN的长 课本138页 类比 猜想 一 两点间距离公式 在空间直角坐标系中 点P x
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