江苏省盐城四中高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省盐城四中高二（上）期中数学试卷一、填空题1“x2”是“x240”的条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）2命题“xr，x2x20”的否定是3不等式x2+34x的解集为4有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；“若ab，则ac2bc2”的逆否命题；其中真命题的序号为5（1）若椭圆+=1的离心率是，则m的值为（2）已知函数f（x）=sinx，则f（）=6曲线y=在点（1，2）处切线的斜率为7函数f（x）=+lnx的单调减区间为8已知抛物线方程y2=3x，则抛物线的焦点坐标为9已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是10顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点p（4，2）的抛物线方程是11若直线y=ax1（ar）与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是12如果ax2ax+10恒成立，则实数a的取值范围为13已知a，br，有以下命题：若ab，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab，则a2cb2c则正确命题序号为14已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为二、解答题（共90分）15已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，又pq为真，pq为假，求实数m的取值范围16设函数f（x）=ax2+（b2）x+3（a0）（1）若不等式f（x）0的解集（1，3）求a，b的值；（2）若f（1）=2，a0，b0求+的最小值17某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？18设椭圆c：过点（0，4），离心率为（）求c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标19已知函数f（x）=x3+ax2+bx在与x=1处都取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间2，2的最大值与最小值20已知函数f（x）=mx2mx1（1）若对于xr，f（x）0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x1，3，f（x）5m恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年江苏省盐城四中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1“x2”是“x240”的充分不必要条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】解不等式，由集合的包含关系可判【解答】解：解不等式x240可得x2或x2，x|x2是x|x2或x2的真子集，“x2”是“x240”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查充要条件的判断，从集合的包含关系出发是解决问题的关键，属基础题2命题“xr，x2x20”的否定是xr，x2x20【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“xr，x2x20”的否定是：xr，x2x20故答案为：xr，x2x20【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3不等式x2+34x的解集为（1，3）【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】把不等式x2+34x化为x24x+30，求出解集即可【解答】解：不等式x2+34x可化为x24x+30，解得1x3；不等式的解集为（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照一元二次不等式的解法步骤进行解答即可，是基础题4有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；“若ab，则ac2bc2”的逆否命题；其中真命题的序号为【考点】四种命题【专题】简易逻辑【分析】中，写出它的逆命题并判定逆命题的真假；中，写出它的否命题并判定否命题的真假；中，写出它的逆命题并判定命题的真假；中，判定原命题的真假，得出它的逆否命题的真假【解答】解：对于，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”，它是真命题；对于，“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等的三角形面积也不相等”，它是假命题；对于，“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题是“若x2+2x+q=0有实根，则q1”，它是真命题；对于，“若ab，则ac2bc2”是假命题，c=0时命题不成立，它的逆否命题是假命题；所以，以上真命题的序号是故答案为：【点评】本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，解题时应根据题意，写出对应的命题，再判定真假，对于互为逆命题的两个命题，它们的真假性相同5（1）若椭圆+=1的离心率是，则m的值为3或（2）已知函数f（x）=sinx，则f（）=0【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；函数思想；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆的简单性质直接求解即可（2）求出函数的导数，然后求解函数值即可【解答】解：（1）椭圆+=1的离心率是，可得或=，解得m=3或m=（2）函数f（x）=sinx，则f（x）=cosx，f（）=0故答案为：（1）3或；（2）0【点评】本题考查椭圆的简单性质以及函数导数的应用，考查计算能力6曲线y=在点（1，2）处切线的斜率为2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】先求导函数，再求x=1时的导数值，根据导数的几何意义，可求切线的斜率【解答】解：由题意，y=，当x=1时，y=2即曲线y=在点（1，2）处切线的斜率为2故答案为：2【点评】本题以曲线切线为载，考查导数的几何意义，解题的关键是理解导数的几何意义7函数f（x）=+lnx的单调减区间为（9，1【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；导数的综合应用【分析】求出导函数y，再解不等式y0，即可解得函数的单调递减区间【解答】解：函数f（x）=+lnx，y=+= （x0）由y0，得，解得0x1，函数f（x）=+lnx的单调减区间为（0，1故答案为：（0，1【点评】本题考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错8已知抛物线方程y2=3x，则抛物线的焦点坐标为（，0）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线方程y2=3x中p=，焦点在x轴上，抛物线焦点坐标为（，0）故答案为：（，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质属基础题9已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（，3）（6，+）【考点】函数在某点取得极值的条件；二次函数的性质【专题】计算题【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不相等的实数根，通过0，即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以导函数有两个不相等的实数根，即0，（2a）243（a+6）0，解得：a（，3）（6，+）故答案为：（，3）（6，+）【点评】本题是中档题，考查导数在求函数极值的应用，导函数也是函数，注意函数有极大值和极小值的理解，是解题的关键10顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点p（4，2）的抛物线方程是x2=8y【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设抛物线的标准方程为x2=2py（p0），由抛物线过点p（4，2），代入可求p，进而可求抛物线方程【解答】解：由题意，设抛物线的标准方程为x2=2py（p0）16=4p，解得：p=4x2=8y故答案为：x2=8y【点评】本题主要考查了抛物线的方程的求解，解题的关键是确定抛物线方程的形式11若直线y=ax1（ar）与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是1，5）【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】由直线的性质可得y=ax1过点（0，1），要使直线y=ax1与椭圆总有公共点，只需使点（0，1）在椭圆内部或椭圆上，则有m1，又由椭圆的焦点在x轴上，则有5m；综合可得答案【解答】解：根据题意，可得y=ax1过点（0，1），要使直线y=ax1与椭圆总有公共点，只需使点（0，1）在椭圆内部或椭圆上，则有m1，又由椭圆的焦点在x轴上，则有5m；综合可得1m5，故答案为1m5【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要注意条件“焦点在x轴上的椭圆”，否则容易得到m1的错误结论12如果ax2ax+10恒成立，则实数a的取值范围为a|0a4【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】分别讨论a=0和a0时，不等式成立的等价条件即可【解答】解：当a=0时，不等式等价为10，恒成立，满足条件当a0时，要使ax2ax+10恒成立，则判别式=a24a0，解得0a4，综上0a4故答案为：a|0a4【点评】本题主要考查不等式恒成立问题的求解，注意要对a进行分类讨论13已知a，br，有以下命题：若ab，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab，则a2cb2c则正确命题序号为【考点】不等式比较大小【专题】不等式的解法及应用【分析】根据不等式的性质，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变【解答】解：若ab，则ac2bc2；当c=0时不成立，故错误若ac2bc2，则ab；根据不等式的性质2，正确若ab，则a2cb2c根据不等式的性质2，正确，故则正确命题序号为故答案为：【点评】主要考查不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变14已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是a（1，1），b（，），c（2，1），在abc中满足z=2x+y的最大值是点c，代入得最大值等于3故答案为：3【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用二、解答题（共90分）15已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，又pq为真，pq为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时的取值即可求出命题p，q为真时的m的取值范围，然后根据pq为真，pq为假得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可【解答】解：若p为真，则：；m2；若命题q为真，则：=16（m2）2160；1m3；由pq为真，pq为假知p，q一真一假；，或；解得m3，或1m2；m的取值范围是（1，23，+）【点评】考查双曲线的标准方程，以及一元二次方程无实根时的取值情况，pq，pq的真假和p，q真假的关系16设函数f（x）=ax2+（b2）x+3（a0）（1）若不等式f（x）0的解集（1，3）求a，b的值；（2）若f（1）=2，a0，b0求+的最小值【考点】一元二次不等式的解法；基本不等式【分析】（1）由不等式f（x）0的解集（1，3）1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；【解答】解：（1）由f（x）0的解集是（1，3）知1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，a0，b0（a+b）（）=5+=5+29的最小值是9【点评】此题考查了不等式的解法，属于基础题17某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题；不等式的解法及应用【分析】设底面的长与宽分别为xm，ym，水池总造价为z元，建立函数关系式，求出z的最小值【解答】解：设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，则由容积为18m3，可得：2xy=18，因此xy=9，z=2009+150（22x+22y）=1800+600（x+y）1800+6002=5400当且仅当x=y=3时，取等号所以，将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元【点评】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理18设椭圆c：过点（0，4），离心率为（）求c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】（）根据题意，将（0，4）代入c的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程（）根据题意，可得直线的方程，设直线与c的交点为a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x23x8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案【解答】解：（）根据题意，椭圆过点（0，4），将（0，4）代入c的方程得，即b=4又得=；即，a=5c的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与c的交点为a（x1，y1），b（x2，y2），将直线方程代入c的方程，得，即x23x8=0，解得，ab的中点坐标，即中点为【点评】本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决19已知函数f（x）=x3+ax2+bx在与x=1处都取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间2，2的最大值与最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【专题】计算题【分析】（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f（x）=3x2+2ax+b 由f（