江苏省南京市高一数学上学期期末试题（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分1函数f（x）=的定义域是2集合a=0，1的子集的个数是个3求值log345log35=4已知角的终边过点p（2，1），则sin的值为5已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm26函数f（x）=cos（x），x0，的值域是7若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）8将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为9如图，在矩形abcd中，已知ab=3，ad=2，且=， =，则=10已知函数f（x）=log2x的零点为x0，若x0（k，k+1），其中k为整数，则k=11已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，则ff（）=12已知定义在实数集r上的偶函数f（x）在区间0，+）上是单调增函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围13若函数f（x）=m4x32x+12的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是14若函数f（x）=sin（x+）（0）在区间0，2上取得最大值1和最小值1的x的值均唯一，则的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共58分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知sinx=，其中0x（1）求cosx的值；（2）求的值16已知向量=（2，1），=（3，2），=（3，4）（1）求（+）；（2）若（+），求实数的值17经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=t+30（1t20，tn*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=（1）写出该商品的日销售额s关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额s最大？并求出最大值18已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，02）的部分图象如图所示，且f（0）=f（）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间19已知向量、，满足|=，|=， =5， =x+（1x）（1）当时，求实数x的值；（2）当|取最小值时，求向量与的夹角的余弦值20对于定义在0，+）上的函数f（x），若函数y=f（x）（ax+b）满足：在区间0，+）上单调递减；存在常数p，使其值域为（0，p，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐进函数”（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x0，+）的渐进函数，并求此实数p的值；（2）若函数f（x）=，x0，+）的渐进函数是g（x）=ax，求实数a的值，并说明理由2015-2016学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分1函数f（x）=的定义域是（3，+）【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】直接由分母中根式内部的代数式大于0求解【解答】解：要使原函数有意义，则x30，即x3函数f（x）=的定义域是（3，+）故答案为：（3，+）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题2集合a=0，1的子集的个数是4个【考点】子集与真子集【专题】集合【分析】根据含有n个元素的集合的子集个数为2n求解【解答】解：集合a=0，1中含有2个元素，集合a共有22=4个子集故答案为：4【点评】本题考查了求集合的子集个数，含有n个元素的集合的子集个数为2n3求值log345log35=2【考点】对数的运算性质【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：log345log35=log39=2故答案为：2【点评】本题考查导数的运算法则的应用，是基础题4已知角的终边过点p（2，1），则sin的值为【考点】任意角的三角函数的定义【专题】函数的性质及应用【分析】根据任意角的三角函数的定义进行求解即可【解答】解：角的终边过点p（2，1），r=，故sin=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的定义的应用，比较基础5已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2【考点】扇形面积公式【专题】计算题；分析法；三角函数的求值【分析】利用扇形的面积公式即可计算得解【解答】解：由题意可得圆心角大小为=2（rad），半径为r=3，则扇形的面积为s=r2=frac12322=9cm2故答案为：9【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题6函数f（x）=cos（x），x0，的值域是，1【考点】三角函数的最值【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值【分析】由题意可得x，由余弦函数可得最值【解答】解：x0，x，当x=即x=0时，函数取最小值，当x=0即x=时，函数取最大值1，故函数的值域为，1故答案为：，1【点评】本题考查三角函数的最值，属基础题7若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）bac【考点】对数值大小的比较【专题】计算题【分析】由0a=0.321，b=log20.3log21=0，c=20.320=1，能判断a，b，c的大小关系【解答】解：0a=0.321，b=log20.3log21=0，c=20.320=1，bac故答案为：bac【点评】本题考查a，b，c的大小关系的判断，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的灵活运用8将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为y=sin（2x）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】左加右减上加下减的原则，直接求出将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式：y=sin2（x）=sin（2x），故答案为：y=sin（2x）【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意x前面的系数的应用9如图，在矩形abcd中，已知ab=3，ad=2，且=， =，则=5【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，代入数量积公式计算【解答】解：以ab为x轴，以ad为y轴建立平面直角坐标系，则a（0，0），b（3，0），e（3，1），f（1，1）=（3，1），=（2，1）=6+1=5故答案为5【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可简化数量积运算，是基础题10已知函数f（x）=log2x的零点为x0，若x0（k，k+1），其中k为整数，则k=2【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】求函数的定义域，判断函数的单调性，利用函数零点的判断条件进行求解即可【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），且函数在定义域上为减函数，f（1）=30，f（2）=log22=1=0，f（3）=1log230，函数f（x）在（2，3）内存在唯一的一个零点x0，x0（k，k+1），k=2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据条件判断函数的单调性以及函数零点存在的区间是解决本题的关键11已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，则ff（）=【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，则ff（）=fln=故答案为：【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力12已知定义在实数集r上的偶函数f（x）在区间0，+）上是单调增函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围（0，）（10，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；数形结合法；函数的性质及应用【分析】直接根据偶函数图象关于y轴对称的性质列出不等式，运算求解即为结果【解答】解：根据题意，f（x）是定义在实数集r上的偶函数，且在x0，+）上是单调增函数，则f（1）=f（1），结合偶函数的图象，不等式f（lgx）f（1）等价为：|lgx|1，即lgx1或lgx1，解得，x（0，）（10，+），故答案为：（0，）（10，+）【点评】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数函数的图象和性质，对数不等式的解法，属于中档题13若函数f（x）=m4x32x+12的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（0，+）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用【分析】根据函数与方程之间的关系转化为f（x）=m4x32x+12=0，有根，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性质进行转化进行求解即可【解答】解：若f（x）=m4x32x+12的图象与x轴有交点，即f（x）=m4x32x+12=0，有根，即m4x=32x+1+2，则m=+，设t=，则t0，则函数等价为m=6t+2t2=2（t2+3t）=2（t+）2，t0，y=6t+2t2=2（t2+3t）=2（t+）20，即m0，故答案为：（0，+）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法和转化法结合指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键14若函数f（x）=sin（x+）（0）在区间0，2上取得最大值1和最小值1的x的值均唯一，则的取值范围是，）【考点】三角函数的最值【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用正弦函数的周期性以及最值，可得2，由此求得的取值范围【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0）在区间0，2上取得最大值1和最小值1的x的值均唯一，2，求得，故答案为：，）【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及最值，属于基础题二、解答题：本大题共6小题，共58分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知sinx=，其中0x（1）求cosx的值；（2）求的值【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值【专题】计算题；三角函数的求值【分析】（1）由sinx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosx的值即可；（2）原式利用诱导公式化简，将sinx与cosx的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）sinx=，0x，cosx=；（2）sinx=，cosx=，原式=【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键16已知向量=（2，1），=（3，2），=（3，4）（1）求（+）；（2）若（+），求实数的值【考点】平面向量数量积的运算【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出各向量的坐标，代入坐标公式计算【解答】解：（1）=（6，2），=2612=10（2）（+）=（2+3，12），（+），4（2+3）3（12）=0，解得=【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线的判断，是基础题17经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=t+30（1t20，tn*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=（1）写出该商品的日销售额s关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额s最大？并求出最大值【考点】函数模型的选择与应用【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】（1）通过s=f （t）g（t）求出函数的解析式（2）利用函数的解析式，通过分段函数分别求出函数的最值【解答】解：（1）由题意知，s=f （t）g（t）= （2）当1t10，tn*时，s=（2t+40）（t+30）=2 t2+20t+1200=2 （t5）2+1250因此，当t=5时，s最大值为1250； 当11t20，tn*时，s=15（t+30）=15t+450为减函数，因此，当t=11时，s最大值为285 综上，s的最大值为1250答：当t=5时，日销售额s最大，最大值为1250元 【点评】本题考查分段函数的解析式的求法，考查函数的最值，考查计算能力18已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，02）的部分图象如图所示，且f（0）=f（）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由函数图象可得a=2，又由f（0）=f（），可知函数f（x）一条对称轴为x=，即可求得f（x）的最小正周期t=4（）=（2）由（1）及周期公式可得：=2，由点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2+）=2，结合范围02，可得，即可解得f（x）的解析式，由2k2x+2k，kz即可解得函数单调递增区间【解答】（本题满分为10分）解：（1）由函数图象可得：a=2，又由f（0）=f（），可知函数f（x）一条对称轴为x=，故函数f（x）的最小正周期t=4（）=（2）由（1）可得：=2，由点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2+）=2，解得：=2k+，kz，又02，可得：=，f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）故由2k2x+2k，kz即可解得函数单调递增区间为：k，k，kz【点评】本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题19已知向量、，满足|=，|=， =5， =x+（1x）（1）当时，求实数x的值；（2）当|取最小值时，求向量与的夹角的余弦值【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用【分析】（1）利用时=0，列出方程求出x的值；（2）求出x=时|取得最小值，再求此时向量与的夹角余弦值【解答】解：（1）|=，|=， =5， =x+（1x）；当时， =x+（1x）=x+（1x）=0，5x+5（1x）=0，解得x=；（2）=x2+2x（1x）+（1x）2=10x210x（1x）+5（1x）2=25x220x+5，当x=时，|取得最小值，此时=+，=+=10+（5）=1，且|=1，向量与的夹角余弦值为cos，=【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题，也考查了求向量的模长与夹