《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案.pdf

1 大学物理 大学物理 AII 作业 作业No 02 波动方程波动方程 班级班级 学号学号 姓名姓名 成绩成绩 本章教学要求本章教学要求 1 理解机械波产生的条件及波传播的物理图像 掌握横波与纵波的区别 2 理解描述波动的物理量 周期 频率 波长 波速的物理意义及其相互关系 掌握以上各物理量与波源振动周期 振动频率 振动速度的异同 3 掌握相位传播的概念 并能利用它写平面简谐波的波函数 理解波形曲线的 意义 波形曲线与振动曲线的区别 4 根据波源的振动情况写出波函数 根据波函数能写出空间各点振动方程 能 计算振幅 周期 频率 波长 波速及波线上任意两点的相差 5 理解波的能量密度 能流 能流密度及波的强度等概念 6 理解多普勒效应 红移和蓝移等概念并能计算波源和观察者在同一直线上相 对运动时频率的变化 一 填空题一 填空题 1 振动在空间的传播形成波动 波动传播的是 振动的状态或振动的相位 而 非振动质点本身 沿波传播的方向上 各质点 相位 依次落后 2 波动在时间和空间上都表现出周期性 其时间周期 T 由 波源的周期 决定 其空间周期由波长 描述 波长 是指沿着波传播方向上 振动状态或相位 完 全相同的相邻两点之间的距离 3 波长 与周期 T 的比值定义为波速 但实际上波速是由 介质的性质 决定 的 当波由一种介质进入另一种介质时 其周期 不变 波长 改变 波 速 改变 选填 改变或不变 4 所谓平面简谐行波 简谐 是指 波源和介质元都做简谐振动 平面 是指 相位相同的点集合是平面或者波面是平面 行波 是指 不同时刻的波形曲 线沿着波传播的方向在向前平移 就象在跑动一样 许多复杂的波都可以看成 是不同 频率和振幅 的平面简谐行波叠加而成 5 波的传播 实质也是能量的传播 在机械波传播的介质中 介质元的动能和 势能是 同相 变化的 填同相或反相 介质元的总机械能是 不守恒 的 填 2 守恒或不守恒 介质元总是从前一个质元 获得 能量 然后把能量 传递给 后面相邻的质元 6 当波源或观察者相对介质运动时 观察者接收到的波频率发生变化的现象称 为多谱勒效应 通常说来当波源与观察者相向而行时 观察者接收到的频率会 增 加 填增加或减少 当波源与观察者相背而行时 观察者接收到的频率会 减 少 填增加或减少 对光学多谱勒效应而言 频率增加的现象称为 蓝移 频率减少的现象称为 红移 填红移或蓝移 7 一平面简谐波 波速为 6 0m s 振动周期为 0 1s 则波长为 0 6m 在波 的传播方向上 有两质点的振动相位差为6 5 此两质点相距为 0 25m 8 设某时刻一横波波形曲线如图所示 在图中用箭头标出 A B C D E F G H I 等质点在该时刻的运动方向 9 一平面简谐波在弹性媒质中传播 在某一时刻 媒质中某质元正处于平衡位 置 此时它的动能 最大 势能 最大 填最大或最小 10 一平面简谐波的表达式 uxtAuxtAy cos cos 其中 x u 表示 波从坐标原点传至 x 处所需时间 ux 表示 x 处质点比原点处质点滞后的相位 y 表示 t 时刻 x 处质点离开平衡位置的位移 11 已知波源在原点的一列平面简谐波 波动方程为 y Acos Bt Cx 其中 A B C 为正值恒量 则该波的振幅为 A 波速为 C B 频率为 2 B 周期 为 B 2 波长为 C 2 传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程为 y Acos Bt Cl 任一时刻 在波的传播方向上相距为 d 的两点的位相差为 dC 3 解 将 y Acos Bt Cx 写成波函数的常见形式 2cos x tAy 通过对比 可得该波振幅为 A B 2 C 则 C 2 2 B B T 2 C B T u 12 一个点波源位于 O 点 以 O 为圆心作两个半径分别为 1 R和 2 R的同心球面 在两个球面上分别取面积 1 S 和 2 S 则通过它们的平均能流之比 21 P P 2 12 2 21 Rs Rs 解 设两个半径分别为 1 R和 2 R的同心球面上的平均能流密度分别为 1 I和 2 I 则 22 11 2 1 sI sI P P 对球面波 2 1 2 2 2 1 R R I I 所以 2 2 1 1 2 2 2 1 sR sR P P 二 二 简答题简答题 1 振动和波动有什么区别和联系 平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不 同 又有什么联系 振动曲线和波形曲线有什么不同 答答 振动是波动的基础 振动在空间的传播就形成波动 平面简谐波动方程是关 于时间和空间的函数 而简谐振动方程只是关于时间函数 当平面简谐波动方程 中的空间变量 x 确定时 波动方程成为表述该点运动的振动方程 振动曲线是以 位移为纵坐标 时间为横坐标做的曲线 描述质点在不同时刻离开平衡位置的位 移 波形曲线是位移为纵坐标 介质元空间位置为横坐标做的曲线 用来描述某 一时刻 波线上各个质元离开平衡位置的距离 2 平面简谐行波波函数的表达式与哪些因素有关 总结求波函数的基本步骤 答答 平面简谐行波波函数与波的特征量 振幅 周期 频率 波速及其传播方向 有关 此外与坐标原点 计时起点的选择有关 求波函数的基本步骤可以概况为 1 选择一个参考点 根据已知条件确定出该参考点的振动方程 2 选定坐标原点 选定正方向 建立坐标 4 3 根据波传播方向上任意位置 x 处质点振动状态与参考点振动状态的时间 或相位 滞后效应写出波函数的表达式 并给出相应的单位 3 声源向着观察者运动和观察者向声源运动都使观察者接收的频率变高 这两 种过程在物理上有何区别 答 前者是由于波长被压缩导至观察者接收到的完整波数目增加而频率增加 频 率变换的关系为 s sr Vu u r 为观察频率 s 为波源频率 u 为波速 s V为 波源运动速度 后者是观察者运动导致接收到的完整数目增加 频率换的关系 为 u Vu r sr r 为观察频率 s 为波源频率 u 为波速 r V为观察运动速 度 三 三 计算题计算题 1 图示为一平面简谐波在 t 0 时的波形图 求 1 该波的波函数 2 P 处 质点的振动方程 解 1 由图知 A 0 04m 0 40m u 0 08m s 则 周期 5 s u T 5 22 T 以原点为参考点 由波形曲线可知 其初位移为 0 初始速度为正 则其初相为 2 0 原点的振动方程为 25 2 cos 04 0 ty 则波函数为 5 208 05 2 cos 04 0 x ty m 2 P 处质点的振动方程为 P 点坐标2 0 x 代入波函数方程 208 05 2 cos 04 0 x ty得 P 点振动方 程 2 3 5 2 cos 04 0 208 0 2 0 5 2 cos 04 0mtty 2 一平面简谐波 波长为 12m 沿 Ox 负向传播 如图所示为原点处质点的振 动曲线 求 1 原点处质点的振动方程 2 此波的波函数 解 由题意得 振幅 A 0 4m 初始位置 2 2 0 0 A y 初始速度为负 则初 相为 3 2 其对应旋转矢量如上图所示 从图还可以看出 5s 后 矢量转动的角度 6 5 23 5 t 则 6 sT12 2 所以其振动方程为 mty 3 2 6 cos 4 0 2 由题意m12 sT12 2 波速 1sm T u 又因传播方向为负 所以波函数为 mxty 3 2 6 cos 4 0 3 一司机驾车高速行驶 在红灯信号前来不及停下 要被罚款 司机狡辩说 车辆疾驰时 根据多谱勒效应 红色信号光会变绿色 因此不应罚他的款 问 司机说的是否有道理 是否应被罚款 试通过计算说明 提示当观察者与光源 6 以速度 u 相向运动时 光的多谱勒效应公式为 sr uc uc 红光波长取 630nm 绿光波长取 560nm 解 根据 s