（应用数学专业论文）非线性涡旋rossby波的演变特征及其相互作用.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明 l 坚持以 求实 创新 的科学麓神从事研究工作 2 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取稃的研究成果 3 本论文中除引文井 所有实验 数据和有关材料均罴真实的 4 本论文中除引文和致谢的内容井 不包含其他人斌其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 其饺葡毒对本研究所鬣的贡觳均已在论文 霎王主 墓磷 日 瓤迎 篁 b 学位论文使用授权声明 本人完全了解南宣信息工程大学有关保留 使用学位论文的魏定 学校 有投保留学位论文并向田塞主管部门或其指定机构送变论文的电子版和纸 质版 有权将学位论文用于攀纛藉目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆键查鳍 有权将学位论文的内存稿入有关菝据库进行检囊 有权将学位论 文的标曩和董要茫囊如版 保密的学位论文在解密后运用本擐定 作者签名 日期 非线性涡旋r o s s b y 波的演变特征及其相互作用 中文摘要 本论文根据大气动力学原理 对中尺度动力学方程进行约化摄动 得到了大 气内非线性涡旋r 0 s s b y 波及其相互作用的演变方程 对方程进行了理论研究和 实际大气背静下的求解 得到非线性涡旋r d s s b y 波的相速值为1 0 0 m s 这与 螺旋云雨带的实测移速一致 这也是许多学者从涡旋r o s s b y 波说中去寻找台风 中螺旋云雨带的形成 维持的理论解释 研究非线性涡旋r d s s b y 波的演变方程 解的存在性 周期波动解及其稳定性和数值格式不仅具有理论意义 而且具有 重要的实用价值 通过研究 结果表明 1 单个非线性涡旋r o s s b y 波的演变过程满足非线性s c 静d 击豫e r 方程 r 券 口等俐2 非线性涡旋r o s s b y 波相亘作用的演变方程满足耦合的非线性 肼d 讲 组 fr 等帕 等m w 吲刮2 愕 f c 鬻似 等地榭 川2 蛤o 2 耦合非线性 鼢d 幽蜓y r 方程组 若满足条件 1 g 毛 s 2 c 2 s e 0 为实值函数 且 q s 1 s 2 m s m s l 屯 m 二c o 煅f o 2 一m 日2 则方程组解存在 3 对非线性 加 幽曙盯方程及方程组的周期波动解及其稳定性进行了研究 得到了有关稳定和不稳定的判据 4 对耦合非线性 打 动职 方程组给出了四点隐式格式 哆i 哆0 岛乃 池f 2 岛国 骂 毫 哆2 o 哆1 矗 o吃 寺 4 当满足 o 日 o 6 j 口 l s 膨 o 茎g s 2 r j 1 5 2 s f o 时 该格 式是稳定的 且误差为d 矗 2 5 讨论了非线性涡旋r o s s b y 波的本征值问题 得到非线性涡旋r o s s b y 波的相 速值c 8 3 9 6 m j 即1 0 挪 s 与台风中的螺旋云雨带移速的量级 致 这就是许多学者认为可以从3 0 多年前提出的涡旋r d s s b y 波说中寻找台风 螺旋云雨带的形成 维持的理论解释的原因 关键词 非线性涡麓r o s s b y 波 鼢 砌嘻e r 方程 稳定性 数值格式 螺旋 云雨带 t h ee v o l u 矗o n a i 了c h a r a c t e r i s t i ca n di n t e r a c 娃o no f n 0 n l i n e a rv b r t e xr o s s b yw a v e s a b s t r a c t 1 1 1t l l ep a p e r w eh a v ei n v e s t i g 锄e dt h en o n l i n e 盯v b r 沧xr o s s b yw a v e si nt h e 咖o s p h e r e i ti sf o u n db yl l s eo f m ew k bm l 詈t h o d 吐i ew a v ep a c k e ti sg o v e m e db y n 0 i l l i n e a r s e 胁d 击川弘 e q u a t i o n i t i ss h o w nb yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s t h a tt h ev a l u eo fi t s o u t w a r d p r o p a g a t i n gs p e e d i sa b o u t d 1 0 0j 竹 j a l m o s tt ob ec o n s i s t e n tw i t ho b s e r v a t i o n a lo n eo fs p i r a l i a i n b a n d so ft r o p i c a lc y c l o n ef r o mt h ev o r t e xr o s s b yw a v e t h u si t i s s i g n i f i c a t i v et os t u d yt h ee v o l u t i o n a r yc h a r a c t e r i s t i co fn o n l i r l e a r v o r t e xr o s s b yw a v e t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s t h ep e r i o d i cw a v e s s 0 1 u t i o n sa n dt h es t a b i l i t ya n dt h en u m e r i c a lf o r m a t t h e r ea r ef i v ep a r t s i nt h et h e s i s f i r s t b yt h eu s eo f1 阿k bm e t h o dt h a te v o l u t i o n a r yc h a r a c t e r i s t i c o fn o n l i n e a rv o r t e xr o s s b y 驿a v e i sg o v e r n e db y n o n l i n e a r 5 0 加 硪 秽re q u a t i o na n dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w ow a v ep a c k e t si s g o v e r n e db yc o u p l e dn o n l i n e a rs t 慨r o d b l g 曾 e q u a t i o n s r 嚣 口等俐2 fr 等妈等 陋 卜祧 2 m o i f 第十缸 羔蝎警地驯2 y 圳2 妒o i7 葡 2 i w 2 矿 q 2 f 吖2 p m 刈 s e c o n d f o r 也ec 唧l e dn o n l i l l e a r 加 螂re q u a tio n s a d o p te d t h e m e t h o do fi n t e g r a le s t i 唿t e w ep r o v et h a tt h ec o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c e f o r t h es o l u t i o n sa r e 1 一 弘r r o 墨 圩2 i 8q 0 1 s 2 c 2 i q j 5 2 m 屯十s 2 f c d 耵r 0 2 也ei 1 1 i t i a lc o n d 砸o n ss a t i 母一 o 2 删 廿 p c r i o d i cw a v 髓s o l 血o n s 姐d 龇i rs t a b i l 埘o fn 犯e q u a t i o n sa r e i n v e s t i g a t e d 雠d 也ec r i 僦af b rs t a b m t ya n di n s 曲i l 姆a r co b t a 细呛d f o u 弛 w e 咖e 也e 融血a to ff 孤 p o i n ts c h e m ef o r 蚀c o 印k dn o n l 协c 8 r 衙占讲门秽re q u a t i o n s 饵二 q b 局g q 鼠l 泗 n 岛 i t j p p 马 o 旁爿 i f t h ec o n d m o n ss 出卿4 日1 o s 6 s kj 肘 a n do 毋 j l 5 2 r 邑 吼 0 也ef o r n l a t o ff 0 p o i n ti m p l i c i ts c h e m ei sp r o v e dt ob es 协b l e f u r t h e r n l o r e 也ee r i d r i sp f 愚2 f i 金k i ss h o w nb yn u m e r i c a lc a l c l l l a t i o n s 也a t也ev a l u eo f i t s o u t w a r d p r o p a g 甜n g 印e e d i sa b o u t0 1 0 0 川 s a l i n o s tt ob ec o n s i s t e n tw i 也 o b s e n 嘶o t l a lo n eo fs p i r a l r a i nb a n d so f 缸d p i c a lc y c l o n e 曲m 也ev o m xr o s s b y w a v e ni s 也er e 韬o nt h 矗士m a n ys c h o l a r sc a nf i n d 也ed e v e l o p m e n ta n dm a t 蛐c eo f s p i r 8 r a i nb a n d s 丘 0 m 帕拍e xl b s s b y 硼v e k e yw o r d s n o n l i n e 8 rv o r t e xr 吣s b yw a v e n o n l i n e a r 胁 硪俸甜 e q u a t i s s t a b i l i t 了 f 伽r p o i n ti 呻l i c i ts c h e 豫 s p i r a l r a i nb 锄d s 4 砖 百 十 第一章绪论 1 1 台风中的涡旋r o s s b y 波与经典r o s s b y 波的异同 在厂平面的绝对涡度守恒方程中 若替含有祸旋基本流的径向涡度梯度项 则将产生 涡 旋r o 疆b y 波 之所以引入这样一个名词称呼 是由于该波的成波机理与经典r o s s b y 波的 成波机理是等价的 但具体又是不同的 故称作r o 嚣b y 波井冠以 祸旋 作为区别 将 涡旋r o s s b y 渡方程中d 毋的涡旋基本流的涡度梯度置换成卢 咖科氏参数随纬度 的变化 并取局地笛卡尔坐标 则方程即成了经典的西风带r o 胬b y 波方程 为了区别起见 将卢 方项作为成波机理的波称作行星r o 骆b y 波 即经典r o s s b y 波 而由d 咖项 作为成波机理的波动被称作涡旋r 衄s b y 波 显然 这是概念和名称的借用延伸扩展 这种 由于成波机理等价性采用的r d s s b y 波名称的借用 在地球物理流体动力学中的地形r o s s b y 波早已有之 1 由此可见 不论何种r o s s b y 波 它们的动力学基础者日是绝对涡度或位涡守 一匾原理 1 2 涡旋r o s s b y 渡研究的理论意义和实用价值 用地面观测 雷达回波 卫星云图和飞机搽测等 均观测和分析到台风中存在着螺旋云 雨带 最早飞机探测台风是在1 9 4 3 年 之后多次飞机撵测有的沿着雨带 有的垂赢雨带 因此 从2 0 世纪4 0 年代就已被探测分折到的台风螺旋云雨带 再经过半个多世 己来多种 撵测新技术的观测结果 人们对它的认识就更加深入细致了 从2 0 世纪4 0 年代到8 0 年代 的很长一段时间内 人们对台风中的螺旋雨带形成 移动是用螺旋重力惯性波来解释的 陈联寿 1 伍荣生和采志豪 1 均著书阐述了台风螺旋云雨带及其解释的内容 a n l l 髓 1 和 e l s b e 玎y 知的著书中 较全面的提出了螺旋雨带的几种可能解释 其中提到了涡旋r o s s b y 波 可是作者们还是惯向于用重力惯性渡来解释 而重力惯性波说有一个致命的弱点 即 渡的相速理论值为1 0 1 小 5 量级 它要比螺旋云雨带实测移速只有1 0 埘 j 几乎大一个量 级 重力波说的缺陷 其理论传播逮远比实际螺旋径向移速要快 为了对螺旋带寻找更合适 的解释 从2 0 世纪9 0 年代开始 涡旋r d 蟠b y 渡说又被日事重提 且出现了较多的研究报 告 m a c d a n a l d 嘲最早发现台风基本气流中的螺旋帮带和北半球绕极大气环流 即基本流 上的槽脊或r d s 3 b y 波相比较 在许多方面的特征有着惊人的相似 它们不仅在流型外观上 相似 在能量转换和动量输送方面也有一定的相似 于是 他把台风中的螺旋雨带称作类 一r o s s b y 波 当m a c d 眦a j d 在2 0 世纪6 0 年代中期提出类一r o 站b y 波时 正值重力渡说处 在热点时期 因此 在类一r o s b y 被说面世后即不再有紧接着的后续工作 只是到了2 0 在热点时期 因此 在类一r o s s b y 波说面世后郢不再有紧接着的后续工作 只是到了2 0 世纪9 0 年代 几乎是在3 0 年后对此才重新进行了继续研究 尽管此后的这些研究 其动 力学基础是一致的 但在称谓方面却是不断发展的 并日臻贴切 先后有以下称谓 位涡 波 7 1 边缘 r o s s b y 波搠 涡旋r o s s b y 渡 对流强迫涡旋r o s s b y 波 由此可知涡旋r d 豁b y 波的称呼 最裙是由m o 力嚏a m e r y 提出来的 提出以上这些称谓 的研究报告 有的是动力分析解工作 更多的是数值模式计算工作 由这些研究工作进展 来看 涡旋r o s s b y 波的称谓已丑渐共识 台风螺旋雨带的涡旋胁s b y 波说似乎也较合理 已日趋被人接受 最主要的是它克服了重力惯性波说的缺陷 便涡旋r n s s b y 波的理论传播 速的量级与螺旋雨带的移速相吻合 1 3 学者对非线性r o s s b y 渡的研究 r o s s b y 波非线性理论研究始于6 0 年代 在7 0 年代耒至8 0 年代 受大气阻塞动力学研 究的推动 r d s s b y 波非线性理论得倒迅速发展 并逐步形成了r d s s b y 孤立波理论 偶及波 理论 1 和包络孤立波理论 c a r n e y 等 讨论了大中尺度系统的非线性相互作用 指出非线性相互作用是非常熏要 的动力能源 谭本馗 曾经研究了大尺度中非线性r o s s b y 波的相互作用 利用了多重尺度 摄动法 得出了两个非线性r o s s b y 波的作用方程满足辐合 妇 d 破豫盯方程 对此方程 组的分析表明 不管两波相互作用过程如何 它们各自能量守恒 即波与波间无能量交换 这与三波共振相互作用显著不同 通过数值解表明 两包络孤立于的碰撞 在某些参数下 两波性质变化不大 呈现包络孤立予特性 而在另外一些参数范围内 两波性质却发生显 著变化 如频散能量 分裂孤立波 改变传播方向等 又提出波与波的相互作用是导致波 动发展演变的一个重要机制 接着 谭本馗 伍荣生 又研究了强迫耗散作用下的r o s s b y 包络孤立波及其相互作用 研究结果表明 耗教总是使包络孤立波振幅衰减 但它对寇络孤立波的传播速度却投有影 响 在强迫和耗散共同作用下 当准共振条件和锁楣条件得到满足时 包络孤立波通过调 整自己的振幅和位相向外场适应 产生新的平衡解 锁相 包络孤立波 此时 包络 孤立波从外场那里获得能量来克服耗散维持稳定结构 因此 准共振强迫可能是耗散大气 中r o s s b y 包络孤立波能长久维持的一个重要机制 数值研究结果表明 两包络孤立波 一 个位锁相包络孤立波 另一个位衰减的包络孤立渡 的碰撞 在某些参数范围内 磁撞后 两波性质变化不大 而在另外一些参数范圈内 碰撞使两波性质显著改变 如频散能煎 分裂孤立波 改变传播方向 甚至使镁相包络孤立波能量衰狨 再一次表明 波与波的相 互作用是导致波动发展演变的一个重要机制 值得进 步深入研究 6 1 4 本论文研究的内容 过去对非线性r o s s b y 波的演变 波包与波包的相互作用研究褥较多 而对非线性涡旋 r o s s b y 波的演变 波包与渡包的相互作用研究甚少 实际大气中很多现象如螺旋云雨带都 可以从涡旋r o s s b y 波说寻找合理的解释 因此 研究非线性涡旋r o s s b y 波的演变及其相 互作用是十分有意义的一顼工作 本论文主要研究五个方面的内容 1 根据大气动力学原理 利用多尺度摄动法约化摄动大气动力学方程 导出非线性涡 旋r o s s b y 波的演变方程及其相互作用的演化方程 2 研究演变方程解的存在性和唯一性 3 研究演变方程周期波动解及其稳定性 4 给出演变方程数值求解的四点隐式差分格式 并讨论格式的稳定性 5 对非线性涡旋r o s s b y 波的本征值进行研究 解释实际大气中的某些现象的原因 7 第二章非线性涡旋r d s s b y 波的演变特征及其相互作用 2 1 引言 台风中的螺旋云雨带是由多种探测手段被观溆到的现象 是为大家所共识的不争事实 但是 对它的形成 维持的理论解释 虽有多种学说 一直以来人们都倾向于重力惯性波 说 而重力惯性波说有一个致命的弱点 即波的相速理论值为1 0 1 朋 j 量级 它要比螺旋 云雨带实测移速只有l o o 聊 s 几乎大一个量级 1 9 6 8 年m a c d o n a l 矿1 首次提出了台风螺旋 雨带和行星r d s s b y 波有很多的相似之处 并把它称为类似r o 翳b y 波 近年来他的观点被 许多研究所认同 成为目前被酱通接受的概念 涡旋r o s s b y 波 涡漩r d s s b y 波的 形成和传播机制和行星r o s s b y 波缀类似 都是基于涡度守恒原理 产生行星r d s s b y 波的 原因是在自转涡度存在径向梯度的地球上要保持绝对涡度守恒 产生台风涡旋r n s s b y 波的 机理是由于台风中存在相对涡度的径向梯度 台风中的径向涡度梯度起了行星r o s s b y 波中 地球自转涡度径向梯度相类似的作用 关于台风螺旋带结构和传播特征问题 罗哲贤口 提出台风轴对称一非对称一精细结构理论进展趋势 余志豪 2 4 1 综述了国内外文献涡旋 r d s s b y 波新观点 阐述了台风结构的相关涡旋r o s s b y 波成波理论 为了从理论上研究涡旋r 舶s b y 波的相速值 本章采用多重尺度分析方法对大气中非线 性涡旋r o s s b y 波波包的演变进行分析 得到它们的演变是服从非线性 嘶 o 击略p r 方程 控制的 并对该非线性 埔rd 硪唧r 方程的周期波动解及其稳定性进行研究 然后进行一 些数值计算 由此可以得到非线性涡旋r o 豁b y 波的相速值 从而可以和台风中的螺旋云雨 带联系起来 2 2 控制方程 在厂平面 维无辐散对称涡旋极坐标下 无量纲扰动流函数y r 丑f 满足方程 詈珂2 嘶矗幻 眨t 其中川嘣 幻 4 c 警告一 静 岛号喏等一警吾 c z 式中 卤和如分别代表线性项和非线颈 最 1 如 o 时为线性模式 两者都等于1 时为非 线性模式 其中f y 导c 挚 砉等 仁 8 2 3 为扰动涡度的垂直分量 也可称涡量 一土罢为扰动径向速度 v 譬为扰 r 姒 动的切向速度 孑和 为轴对称台风基本状态 2 1 式中轴对称基本环流取如下分布 鲁 孑 专 警 f 分别是相对于基本状态的中尺度涡旋环流 罢竽 o 譬 o o 蜜 o 譬 o 譬起着类似于行星r o s s b y 波中 的作用 d 九 a 丸 d丸 毋西 正是由于它与快速旋转的涡旋有关 所以由此产生的波动称作涡旋r o s s b y 波 将 2 2 2 3 代入 2 1 井取卤 1 如 1 得 丝 三擘塑一兰堑 土 业笪一业丝 2 4 氆rd ra 九r8 丸r 8 丸静魂8 1 2 3 单个非线性瀑麓r o s s b y 波的演变方程 引入小参数占 占为太子零而远小于1 的数 采用多重尺度分析方法嘲 引入缓变的 时间与空间变量f 屯 宇 叩 并且认为扰动的波包在五方向及时闻上是缓变的 而在 方向 仍为快变且 弘口 q2 誓 2 5 憎 以 叩 s2 五 而坐标摄动的微弁形式为 aaa a 西西a ra f l 旦 旦 g 旦 s 2 旦 2 6 瓦 瓦w 瓦 丽 旺雨 aa 加 毋 将扰动量 按小参数s 作幂级数展开 有 f y o 占2 妒1 s 3 2 引进算子 a a 1a1 a ld fa va a 2 1al a k 瓦 矿 了i 7 丽 一了苫瓦 了面审 了石 芦别 将 2 3 2 6 2 7 代入 2 4 式 对于非零的占有 9 2 7 f 2 8 1 0 占 上 o 0 占2 y 1 曩 d 3 三 y 2 2 l o 2 9 2 1 0 2 1 f 2 1 2 o 一龇 盟苗 一好i 坤 生抒 一 a 一加生矿旦打 盟谢 拳 a 一击 札 其 曩 警刍c 导 吾昙 专筹概 设 o 爿 r f 1 f 玎 烈广 p 4 2 一d 2 1 4 式中 和c 与时间 空间无关 七为波数 施为圜频率 爿为流场的波包 2 1 4 式中 的 表示前项的共轭 将 2 1 4 式代入 2 9 式 可得 c 叫窘 哆一争警 c 害一 警一害 妒 o c m 设边界条件 9 1 烈 o 且当r 时 p p p o 2 1 6 其中 为台风中心到台风眼壁陋 n 的距离 妒表示p 的共轭复数 2 1 5 式与 2 1 6 式便构成了口的本征值问题 非线性 肺d 哦悟盯方程的研究已经得到学术界的广泛关注 这是因为该类非线性 方程可以用来描述许多物理现象 例如描述脉冲稳态波的自聚焦现象 非线性光学系统的 自陷现象 以及描述具有色教缓变及多光子吸收的光导纤维的波传播 我嗣高守亭 杨惠 君 2 8 1 在研究多维约化摄动法时 对非线性波推导了 加 稚r 方程 罗德海口9 1 在研究 旋转正压大气中的非线性s b 静d d 研弘r 方程和大气阻塞中也推到了 矿 威帽口r 方程 对于空间非线性j s 0 加d 破倦 方程表现出来的孤立子现象的研究 近几年开始受到人们的 普遍重视 下面 我们采用文献n o 中的方法来研究中尺度系统中涡旋r d s s b y 波的波包方程 该方 程的具体细节可参考文献印 我们知道 欲使多重尺度方法处理的方程有收敛解 则必须 消去久期项 将 2 1 4 式代入 2 1 2 式中 消除久期项得到 c 一窘一 警 笋 等 c 一竽伊 吾警伊一詈窘一专軎 等力嚣 f 2 1 7 1 由 2 1 7 式及只的表达式 2 1 2 化简为 鼻 等以p 窘一专伊警 吾尹窘 等产警窘一 c 2 矿州卅 2 18 由 2 1 8 曩的表达式 因此可设 具有以下形式的解 l 4 l f f l 善 可 他p 弦2 一 2 1 9 所以 将 2 1 9 式及 2 1 4 式代入 2 1 2 式中消去久期项 可褥 引2 c 叫磐 2 皆一争警删竽一 警一争刚 等c 妒窘 一专妒窘 吾妒窘 等产害窘一 c 2 一7 妒j 尹 i 妒j 声 丁p 一j 尹j 声一了 j 尹j 2 2 0 式中 爿 和4 均为缓变量的函数 因此可取 4 l 尉2 2 2 1 占为比例系数 从 2 2 0 式可得 c 叫参 c 砉一争誓 c 等一詈警一等 仍 击c 妒窘一 与p 宰 三伊害 珲尹 一睾辔一 粤内 2 2 2 p 季 7 伊 7 尹 一言萨一7 2 2 将 2 2 i 式代入 2 1 9 式中便有 1 一2 r q 善 7 纯l 广弦2 持 一 4 f f l f 叩 伊1 l r 弦一2 睹 一 1 2 2 3 根据 2 2 3 与 2 1 9 式可以看到 纯1 占张t 所以p l l 可以反映出4 和42 的相对 大小 也必须注意 以后求出仍的特征值后 要乘上一个占方为纯l 式中4 p 1 1 分别为 4 仍1 的共轭形式 以上所求得的 2 2 3 式与m a s l o w f 3 l 在讨论自由切变层中粘性流的弱 非线性问题所作的假设形式是一致的 将 2 1 4 式和 2 2 3 式代入 2 1 3 式中 再消去久期项便可得到一个非常有意义 的等式 雌扣争 吉 警 等 争一专 争一等娥 詈磐慨 2d 口 一7 苫吼 2d2 妒m 2d 9 口 纯l 1 矗妒矗纸1 1d 妒 7 了言萨一7 苫苫 萨 挚p l2 一 等妒一等咖等小竽p 弓警妒十等妒一 窘 专警 嚣一等妒意小窘一吾軎 等劝暑 o c 7 i 两一7 妒面 一 一了言 7 纠石 u 汜 2 4 为使 2 2 4 式的物理意义更为明确 在方程两边同乘以 21 墨后再在 上积分 并 卵 伊 品石壁 十 注意到 2 1 6 式 则有 酬2 茜砌擎 喏 眩 s 2 2 5 式即为非线性 鼢叠出 喀盯方程 式中已设 试p 軎c 一扣争 专 等 等 等一专 争一等 仍 2d 3 伊2d 妒6 七1d 7 i 芦仍t 一7 j 仍 十了r j 尹仍 2d 2 妒吊 2 矗伊d 2 吼l l 7 一7 苫i 尹一7 宰孕 三粤挚 咖 2 2 6 出d r r 毋z 由 一一 卅 p 軎c 一竽伊毒警妒 等p 一 窘幸警炒 眩 z f 2 警c 号p 一笋 毋 p r r2 警c 一害一吾警 笋们毋 若令 c 暑 m 仞 口1 砌仞 口2 s 仞 c g 为群速度 又将r l s 2 f f 矾 7 s 2 z 代回 2 2 5 式中 并同时取变换 j 五一c g 丁 f 则 2 2 5 式变为 嚣喝等茸州 a r 妇2 l 2 3 2 式为标准形式的 加d 硪鸭盯方程 2 4 非线性涡旋r o s s b y 波相互作用演变方程 2 2 8 22 9 2 3 0 2 3 1 2 3 2 对于小振幅扰动 考虑扰动波动之间的相互作用是弱非线性相互作用问题 引入小参数 1 3 f s 为大十罨f f 远小十1 昀敢 采用多重尺厦分祈方法 并引入缓燹的对 可与望 罚燹量 r q 善 叩 且有f 或f 朗j q s 2 r 珂 s 五 两在 方向仍为快变的 将扰动流函 数按小参数s 展开 矿 s s 2 y j 十占2 j f j 2 3 3 从而得到占的各阶问题 d s 饥 口 2 3 4 c s 2 工眦 一昙c 吾篙警 一委c 参 昙 专知蚧 警等一 刍c 吾豢卜 杀c 等 昙 专著概 等 ra z r 2a f a f 毋2 静 r 2a 名7 甲o r a z a a 1a 1 疗2 a 妒 a a 2 1a1a 2 丽审 7 石 7 万慨一享丽 矿 了面 7 再 妒 c 幽 l 眦 一言亭舞一鲁亭舞 挚一岳c 等 昙 专著妒 一鲁c 吾静一毒c 导 吾昙 专著慨 1d f8 缈1 1d fa 妒o v a 2a 2 y n v a 2a 2 妒o rd r a j rd r a n r8 f8 丸8 ra r 2a 璩n 专挚卜吾考c 导 吾导 专知 一吾毒c 麓 一 杀c 等 詈导 专嘉概 吾c 筹导e 等 吾昙 一7 否i j 芦 7 否j i r j 万j 7 茅石 j 芦 了石7 专知 等导c 号麓 警导等弓昙 专 1 4 嘉概 警昙等t 导 专 警击争 净专著慨一警击c 豢卜等嘉c 导 吾言 吉嘉慨一警刍苦 昙 砉筹概 其中上 嚼亭 吾昙 专嘉 一 警击 詈击c 嘉 吾昙 专著刀 对于占的一阶问题上渺 0 它就是涡旋r d s s b y 波问题 令它有两个波龟解 2 3 7 其中 4 为扰动流场的复振幅 为缓变量的函数 它由高阶阀题决定 吼p 则决定了波 的径向结构 c r 为前项的共轭 将 2 3 7 代入 2 3 4 可得吼 满足 c 训害 毒一 等 c 箬一 譬一譬野 口 眩 s 其边界条件野 妒 竹 佃 野 d 其中哆为仍的共轭 一三 令哆 b p 则 2 3 8 式可化为 軎寸 一等一和 且有 岛 h 囟 r i o 对于占的二阶问题 将 2 3 7 式代入 2 3 5 式 可得到 l p 一壹e 屿 蚋t g u 一壹i a e 屿 z k 一认 a e t t l 十k m t 如一 c t g 一 j lj l 4 1 4 e 1 一b 4 叫 q b 2 9 4 c r 2 3 9 2 4 0 2 4 1 cc 叶 畸 沁p 哆 节 声 r 0 4 川 0y 其中 酽c 挚 警车仍 鲁 c 挚哆丢警毋一孚吼 孚擎 善孕 善 2 4 2 2 出 雒 一 7 酽一如伤誓专政誓 毋警 等方 誓祭一 生 拿 r订 酽一知 争鸭争仍 导仍争 睾挚 c 睾一等 rd r a r rd r rd r r r 笋蛔警 c 一笋一挚 笋 等仍 c 萼箬 学 仍仍一t 孕孥一毛害譬 蔓一量 婴孕 i 可 了i 一了一了 了i 1 甑 一知争也争 争仍争一争争 小 一半 笋搬等 c 笋 争一笋 誓 c 萼箬 鼻一置堡堕 占一马亟堕 矿 可了 了一一i 了 学 吼 坞等 设 2 4 1 式中第一项相对应的特解为 妒影 p g 8 畸 2 c r 则式中p f 满足 1 6 2 4 3 2 4 4 f 2 4 5 2 4 6 堕舻 一b 埘 垫 i 电啦丁监出 马 亭学一p 等毒野謦 c 警哆一号譬野一雩野 令9 9 厂 r j 目护p 则 2 4 7 式可化为 等哼 一萼一譬蝴 c 守 警睾仍 鲁 c k 仁一c 对 2 4 8 式两边同乘以仍 并对 从 到 积分 志端为 f 等叫琦 一笋一譬彬乃 毒鲁f c 争 誓 萼仍 吼a r 寺等f c 挚 一一c 二一c1 竹一吾譬纺一学野 吾字 等 竹一了j 尹纺一 声一野 7 i 7 i 手 孵毋2 0 c 学野一 参一等野 睾誓咿 一一c 令 上 二 r c 擎t 誓一箬咖府 靴舯愀一一为兽专 i 7 2 4 7 2 4 8 2 4 9 2 5 0 鸭一骘 一 一 堕扩 土k 鸭一鸳 啊了一 一 堕扩一v卜r 野 巫 野 堑咖 哆 塑 2 5 0 式表明 在o p 2 问题中 波振幅4 以群速度勺传播 再令 卅等 1 又有其边界条件 1 丸 o 将 2 5 1 代入 2 4 8 利用 2 5 0 等 榉一弘志 学哆号譬野一孚纺l 害 誓 对于 2 4 1 式中第二 三 四项的特解为 y 乎 2 印e 2 卑 一 c c 耐3 3 4 l 彳2 e 啦l 屯 州 t q z 屯k 十c c 缈 4 矽 4 4 1 4 g 嘶 工叫 岛q 勺h c 其中彰 御 矿 4 分别满足 c 等 c 一 警 c 等一吾譬一警 一等 眠屿 手也 等 蛐砉一掣 等 坠堕颦掣一煎盟华一掣 喝 r 咿r 呐也 而却 警 砉一掣 警 七1 一七2 2 七1 c 1 一七2 c 2 一 及其边界条件 一 型堂一 璺2 1 8 2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 4 一9 4 2 5 5 野 弩一 一 嘞了l 一 堕扩 卜 庐 2 群2 佃 尸 呦 c 办 2 3 一 3 4 4 妒 妒 n 一 妒 十m o 2 5 6 故对方程 2 4 1 有以下解 j f l 特解 齐次解 y 嚣 f 1 y 3 y 4 妒 r f f 2 5 7 其中 r f 善 为 2 4 1 的齐次方程的解 它由0 0 3 式决定 表征了由于波的演变导 致的基流的修正 为了进一步得到重与 所满足的条件 继续考虑0 3 问题 将 2 3 7 2 5 7 代入 2 3 6 式右端 得到以下方程 一f 主岛p 撕 一只一小 叫确喃蚰一只p 娲吲 印 喝啪f j l 一氓4 l e 与 2 b h 2 b q p 一蝎8 2 毛 1 m 一 2 2 1 q 3 q p o a 2 一 曝 e 呐m 拼州如一 脚 2 m 叫2 年l 也础印 嘻 等方 c 等一砉 毋等 野兽十 野簪一等碧一号c 誓门 c c 一 砖 抄 纺 叶扩 警 誓彰 一扩 纡 等一扣 争 却 等 咖 2 毋2 出毋一 等却一 争 坳 等等却专鲁铷警一焘一 f 2 5 8 可以看出 2 5 8 式中有一类表达式与五和r 无关 考虑到 2 3 6 式左端的线性算符 它 1 9 暂 p 一 一 2 d 2 a c卜 p p 一4 2 h p c 如 窖 p 一 勺 电 p u p 一 一 i i 1 j2y e 吖 盟螂 一v一 岳 一 丝西 西石1 一r塑掀 们恒等于零 故特解 满足 袅i 警一 警嚣 詈嚣 i 髻 挣等州等一 钮z 8 tt 氇8 ft 缸8 t 氖i 琵t 凌8 嚣 t f t 2 如誓 吼 毋争一誓争一 c 争2 沁言k 矿 竹 1 扣 仍警 粤硝 书 纺等书 簪 却 誓警础 r 警 k j r 争 十k j r 誓一 矿 鲁等 尝 为了得到4 的演化方程 再考虑 2 5 8 式中的另一类非齐次解 j 蚓 弓 r f 7 e 啕 o c c j j 舯e 屯挈帆等慨等慨 死 删 d r d 玎d c f 2 5 9 1 2 6 0 矾等也等 如等毗 么吼蚓么氓彳 眨ez 其中 乃 一鲁弓等毒仍 吩 一学纡 吾譬竹 孚野一 争 等 f j 0 等伤一芋吼域 讯r 警n s k r r 2 0 警 r 等吩争 弓警 r 警 r 聊 铲知等小 一和警 等 参 一 z 争州 一饕粤酽一詈争 等等弓誓 d 2 d 2 妒 州 咖咖 毋 n 扣 c 等一专警t 等 等掣 矿 一譬掣 等m c 等专等弓等 等掣 学等州 洲 擎 等七擎 等p r 谢靠 r 一甜r 甜一r 睾訾m 圳3 争 警弓等 等 一笋等 一警心 也 等 掣警一学 一华 毛 女 甜 等 掣警一譬望矿卜警 争专等睾 d r 2rd rr d r d r 咖 蚴一警c 也挚一导警睾 4 i 4 厶 扣他c 等专警t 等 粤掣4 学 r r 筝 够专等t 等 粤掣矿 一学 2 l 等 吐 以挚 警 挚 等仍专争雄 矿 c 争专等 挚争斗萼挚一警h 卜蛐 等一掣等 学一一誓隔蚓等 咖2 r 毋 r 2 咖 一一咖 掣警一等掣n 一等隅擎 争警一知一t血r 缸缸 r 甜r 警 争告警睾 棚 厶 等眈窘 吩等 c 一吾竹一 争一吾誓 笋竹 警 设非齐次方程 2 6 0 的解为 p 州 砧 c r 1 彬 p 屯 叫 c c 则 2 6 3 代入 2 6 0 得到 詈c 导 吾昙 专知 一 警警 刍c 蒡 昙 专刍慨百 矿 7 石 7 丽 一7 苫前 丽 矿 瓦 7 万 y fe 琏 2 1 c c 篇 则对j 2 均有 2 6 2 2 6 3 2 6 4 毒一q 笔竽 c 一等 等 c 警一 譬一字 鲁 c 砸 对 2 6 5 式右端乘以吼 并对 从 到 积分 利用边界条件 得 心训等 喜一争警 擎 譬一字蝣 办 s s 则 2 6 5 式右端乘以野 也对7 从 到 积分为零 即f 岽 纷毋 o 2 6 7 一 对于 2 则有 罄帆茜低等氓 慨 2 印 渺 m 筹地筹 如等慨 幌蚓2 印m 溉拙 2 s s 将 2 6 3 代入 2 6 8 利用 2 5 0 化简 2 6 8 式得到爿l 和 2 的演化方程 岳心 南卧犯警砷 1 2 陋2 1 2 爿1 一1 o 者螺 争 f 口 等鸲 2 洲2 舢鹕 o 眩 e 1 3 9 声 n 2 一节石 一器 r f 艚 d r 儿 一节万 一甓 毛 鼍 3 玉 f 溉由 2 7 0 这样 又得到了波振幅彳 和4 的演变方程组 我们将 2 5 9 式与 2 6 9 一道称为关于 彳 和4 2 的耦合方稳组 它反殃了非线性相互作用对涡旋r o s s b y 波包的影响 避一步 简化 仿j e 缶e y 和k 8 w 丑h a 扭1 3 2 j 做变换 ft q j1 2 7 1 l 叩一c 9 1 f 1 f c 蚪f 五一c l t l o 将 2 7 1 代入 2 5 9 得 最r c 导飞d 警 毒一争署一 譬小喜t 等霹 c 等一 妈誓 咖一毋 伤一野 n 一肛 i f 屏 令 仍争 吩争一誓誓一 c 争2 沁扣r 硝 扣 仍警 扣 訾对 一扣 等一扣 警硝 k j r 一 誓 警却一 野等却 字彰1 一r 一 等等却一 鲁 等 舢1 2口 d 叫 设特解为 得到 c 詈1 警 c 一 孚一 誓卟 等疗 睾一专 纺警 d 吼 1 d 2 毋d 仍d 2 纸 竹节 了吼于一言事一 訾 2 一扛 知r 一 仍群1 扣 蚂警 知 誓硝 书 鸭等一扣 警碟n 誓警却 鸭等 k j r 争杉1 十k j r 一 誓警 k j r d 2 哆叫 西2毋 将 2 7 1 2 7 3 代入 2 6 9 i 嘉a 1 q 警 酬2 a l 心h 州如 a l i 嘉a 2 如叫鲁 嘞等刊叫2 a 2 如蚶 w 一令 r 2 7 2 2 7 3 2 7 4 2 7 5 2 b j驴 弓 川 其中 五 一 i j 吼 p 击 孓9 i i 毋 kd 3 r j r a j l 2 一 n 知 仍 吾誓 亨螓喇a m n f j a r 故 2 7 5 式又可简化为 出2 i 鲁 q 等 蠢蚶 正蚶 a 1 小 鸭一誓一 2 7 6 i 鲁妇 鲁 恐参州 a 2 2 谎 2 a 2 其中口 网上 c 吾 驴一c 盯j 仃 盯 吒 如 记2 y 1 2 七九1 1 戎i yz 九 趣釜生釜 二圭竺 釜二 兰 塾鲨 r 毋 d r n 知争 妒 争小专旷鲁弓警 笋批 毋 一 了瓦厂 一 以 一 n 知争 知争 c 一知一争一 警每艄沙 j 币o2 由 2 7 8 方程组 2 7 6 2 7 7 即为藕合的非线性 腑j 旅增打方程组 它们最早出现在非线 a p r 2 d 性光学中的波 波相互作用问题中 系数口 称为色散系数 系数仃j 盯 称为l a n d 系数 系数 0 芦 为相互作用系数 从 2 7 0 2 7 8 可以看出 它们的值不仅与波数七 有关 而且还与纺 硝 声 弓也有关 2 5 小结和讨论 根据大气动力学原理 用多重尺度摄动法从大气中尺度动力学方程组约化得到台风系统 中非线性涡旋r o s s b y 波的演变方程满足非线性 肼o d 啦胛 方程 f 等咱等 口 陋阻o 2 而一 矿一f 口 口l 拈 对于非线性 鼢 讲呼 方程的讨论 我们将在第四 五 六章中进一步研究 非线性涡旋r o s 3 b y 波相互作用过程的涡旋r 0 s s b y 波振幅满足耦合非线性 加d 旃职卯方程组 磬峋等 w 榭鼢 f 等 缸 豢蝎碧地删3 疋附m d 1 j j 配驴i 尹 口 i f 叮 肛 l y p m o 如果不考虑非线性涡旋i b s s b y 波的相互作用过程 只是研究单个波包的演变 这时只 要耦台方程中取 2 o 当两个非线性涡旋r o s s b y 波发生相互作用时 其振幅演变可以 用耦合 打 威懈 方程来描述 对于非线性 打 旃醒仃方程的讨论 我们将在后面 几章中进一步研究 第三章非线性涡旋r o s s b y 波演变方程解的存在性 3 l 引言 通过第二章的研究 得到单个非线性涡旋r o s s b y 波的演变过程可以用非线性 鼢 硪聊鬻r 方程来描述 而两个非线性涡旋r o s s b y 波相互作用的演变过程可以用耦台 的非线性 加d 庙豫秽方程组来描述 事实上 两个涡旋r o s s b y 波在演变过程中可能发 生相互作用 也有可能不发生相互作用 我们的兴趣是研究在什么条件下相互作用才能发 生 这要先考虑该方程解的存在性条件 对于单个非线性 打d d 研秽 方程 利用级数展 开可以求得它的直接解 面对于耦台的非线性 打 咖帮 方程组 其直接解很难求得 需要进行数值求解 在数值求解之前我们先讨论解的存在性 3 2 单个非线性满旋r o s s b y 波演变方程的直接解 h 油t a 首先提出求解非线性 打j 硪呼 方程的振幅演变的直接解法 对于单个非线性 打 硪略盯方程 2 3 2 即 嚣喝器 州 玎 a 若蝴 为拈嬲懒 2 3 2 例 幔等一鲁e 嘲c 曩等一 嚣豢 e 等 啪等砌 鲁 等 z a 置e 鲁 o f 3 1 p o up 3 1 中e 是只的复共轭 五是实函数 教有疋 e 如果引入下面的微分算子 f 蠢一嘉胤砷麒r 州船 毒一旁2 w 枷w 堋舞 则方程 3 1 可以写为 c 嘉一寿卜 咯一寺2 塌c 砷胤r 圳舞蝎鲁c 咯一音 2 2 肿艄 r 川 一鲁州 如果令方程 3 2 第一部分为o 则第二部分也为o 这表示 i 及 2 应满足 f 刍杀m 毒杀 2 胛 w 剧 扩 盖一寺2 胂棚肿 州 一詈啊 o d a 口r ra 1 设最及 的级数解的形式为 丘 g 岛 只 f 2 1 b 2 p i 母6 则有e 五 鼠 岛 最及 e e l 2 岛 2 反 厨 将 3 5 卜 3 8 代入 3 3 和 3 4 得到 c i 嘉喝鲁舯 e 嘉喝争岛 尾署一岛警 舻 等一 等筹 岛等 不妨令鼠 e 7 其中 2 磐 亟时 2 矿2 i 州 等 展等一繁灶鲁附 3 2 r 3 3 1 f 3 4 3 5 3 6 f 3 7 f 3 8 3 9 3 1 0 3 1 1 3 1 2 c 3 1 3 1 孵忙 惭删 c 雁删州c 乒i 砌 t 等a 一b t 将 3 1 3 代入 3 9 得到a b 满足原始方程的线性色散关系 即 2 一j 汤一口1 d 0 将 3 1 3 代入 3 1 0 得到 晟 兰 旦i 已 r 2 口1 口 口 2 其中口是口的复共轭 故该非线性 r d 螗 方程的一阶解为 墨 生 生 置 丁 一 1 卢2 1 9 2 口2 2 口1 口 口 1 3 1 6 描述的是非线性 鼢占d 抽班r 方程的包络孤立波解 3 1 4 3 1 5 1 3 1 6 3 3 非线性涡旋l 蛔s b y 波相互作用演变方程组解的存在性 对于非线性耦合的 加 击 l 妒 方程组 求解析解比较困难 通常用数值方法求解 在求解之前先考虑解的存在性 以前郭柏灵i 也研究过 但是针对实际问题出现了含有两 个相对的群速度项 这个还没有讨论过 为了讨论的方便 将原来的耦含的方程组 给出 初边值条件 写成以下形式 坳 耙 4 哆4 孱毋 陋 陋 f 4 o 3 1 7 呜l 4 0 1 2 r o 4 k o f 3 1 8 3 1 9 其中c 吁 辟为实数 且q o 毋 s o o 为实值函数 4 为已 知复函数 令爿 e 酱f v 代入 3 1 7 得到 j 协 哆哆 岛毋