2014-2015年高中数学选修2-1-2课时提升作业(十三) 2.2.2.2.docVIP

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十三)椭圆方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.过椭圆x24+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于()A.4B.2C.1D.43【解析】选C.因为x24+y2=1中a2=4,b2=1,x k b 1 . c o m所以c2=3,所以右焦点坐标F(3,0),将x=3代入x24+y2=1得,y=12,故|AB|=1.2.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2X| k |B| 1 . c| O |mC.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且3225+(-1)236b0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解题指南】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=-1,则b2x12+ a2y12= a2b2,b2x22+ a2y22= a2b2,由-得b2(x12-x22)+ a2(y12-y22)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=b2a2,又直线的斜率为k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.因为b2=a2-c2=a2-9,所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为x218+y29=1.【变式训练】椭圆x216+y29=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.916B.932C.964D.-932【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1216+y129=1,x2216+y229=1,-得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1-x2)16+4(y1-y2)9=0,所以k=y1-y2x1-x2=932.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014天水高二检测)过点M(1,1)作一直线与椭圆x29+y24=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得4x12+9y12=94,4x22+9y22=94,两式相减,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,由中点坐标公式得x1+x22=1,y1+y22=1,所以k=y1-y2x1-x2=-49,所以所求直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=08.(2014德州高二检测)如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为3的正三角形,则b2的值是.【解析】因为|OF2|=c,所以SPOF2=34c2=3,所以c=2.又因为P点在椭圆上,且P(1,3),所以12a2+(3)2b2=1,所以1a2+3b2=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=23.答案:239.(2013辽宁高考改编)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.来源:学|科|网Z|X|X|K【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF,又|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,解得|AF|=6.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F,连接AF,BF,根据椭圆的对称性,四边形AFBF为矩形,则其对角线|FF|=|AB|=10,且|BF|=|AF|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF|=2a,所以2a=|AF|+|AF|=6+8=14.故离心率e=ca=2c2a=57.新- 课-标 -第-一-网答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜率为22,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得ax12+by12=1,ax22+by22=1.-,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而y2-y1x2-x1=kAB=-1,y2+y1x2+x1=kOC=22,则b=2a.又因为|AB|=1+k2|x2-x1|=2|x2-x1|=22,所以|x2-x1|=2.又由ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,x_k_b_1所以x1+x2=2ba+b,x1x2=b-1a+b.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=2ba+b2-4b-1a+b=4,将b=2a代入,得a=13,b=23,所以所求的椭圆方程为x23+23y2=1. X| k |B| 1 . c| O |m【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=24b2-4(a+b)(b-1)(a+b)2.因为|AB|=22,所以a+b-aba+b=1.设C(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1-x=aa+b.因为OC的斜率为22,所以ab=22.代入,得a=13,b=23.所以椭圆方程为x23+23y2=1.11.(2014德阳高二检测)已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(6,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=83相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求OAOB的值.【解题指南】(1)由e=22,及椭圆C过点M(6,1)建立方程组,即可确定椭圆C的方程.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),讨论l的斜率不存在时l:x=236,此时OAOB=x12-y12=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与圆相切得3m2-8k2-8=0,再将l代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得.【解析】(1)因为e=22,又椭圆C过点M(6,1),所以a2-b2a2=12,6a2+1b2=1,解得a2=8,b2=4.所以椭圆方程为x28+y24=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=236,则x1=x2=236,y1=-y2,所以OAOB=x12-y12=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由于l与圆相切得:|m|k2+1=223,所以3m2-8k2-8=0.将l的方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,来源:学|科|网Z|X|X|K所以OAOB=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-8k2-81+2k2=0,综上,OAOB=0.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014成都高二检测)直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为()A.15B.25C.55D.255【解析】选D.由x-2y+2=0,令y=0,得F1(-2,0).令x=0,得B(0,1),即c=2,b=1,所以a=5,所以e=ca=25=255.2.(2014北京高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b22,所以a2+b24,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选C.3.(2013大纲版全国卷)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是()A.12,34B.38,34C.12,1D.34,1【解题指南】将P(x0,y0)代入到x24+y23=1中,得到x0与y0之间的关系,利用kPA1kPA2为定值求解kPA1的取值范围.【解析】选B.设P(x0,y0),则x024+y023=1,kPA2=y0x0-2,kPA1=y0x0+2,kPA1kPA2=y02x02-4=3-34x02x02-4=-34,故kPA1=-341kPA2.因为kPA2-2,-1,所以kPA138,34.4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-12【解析】选D.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则x122+y12=1,x222+y22=1,http:/ww w.xkb1. com-得(x1+x2)(x1-x2)2=-(y1+y2)(y1-y2),所以y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0.因为k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0,所以k1=-12k2.所以k1k2=-12.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014邯郸高二检测)过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由4x2+5y2-20=0,y=2x-2,消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=53,从而A(0,-2),B53,43.所以|AB|=259+1009=1259=553.又O到AB的距离d=25=255,所以SAOB=12|AB|d=12553255=53.答案:536.(2014广州高二检测)已知椭圆C:x22+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0x022+y021,则|PF1|+|PF2|的取值范围为.【解析】依题意知P位于椭圆C的内部(异于原点O),因此有|F1F2|PF1|+|PF2|2a,即2|PF1|+|PF2|b0),C2离心率为22.若C1与C2相交于A,B两点,且线段AB恰好为圆C1的直径.求直线AB的方程和椭圆C2的方程.【解析】由e=22得a2=2c2=2b2.所以椭圆C2的方程为x22b2+y2b2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆心(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.又x122b2+y12b2=1,x222b2+y22b2=1,相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.从而y2-y1x2-x1=-1,所以直线方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.代入椭圆方程,得3x2-12x+18-2b2=0.因为直线AB与椭圆相交,所以0,即b20.由|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=242-418-2b23=2203,所以b2=8,a2=16,所以椭圆方程为x216+y28=1.8.(2013重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的