江苏省盐城市景山中学九年级数学上学期第三次段考试题（含解析） 苏科版.doc

江苏省盐城市景山中学2016届九年级数学上学期第三次段考试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）1方程x2=x的解为（）ax=0bx=1cx1=0，x2=1dx1=0，x2=12某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）a1.25mb10mc20md8m3肇庆市某一周的pm2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周pm2.5指数的众数和中位数分别是（）pm2.5指数150155160165天数3211a150，150b150，155c155，150d150，152.54如图，在abc中，debc，如果de=2，bc=5，那么的值是（）abcd5如图，点a（t，3）在第一象限，oa与x轴所夹的锐角为，tan=2，则t的值是（）a1b1.5c2d36将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）ay=x21by=x2+1cy=（x1）2dy=（x+1）27将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点c在半圆上点a、b的读数分别为86、30，则acb的大小为（）a15b28c29d348已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=2时，x的值只能取0其中正确的个数是（）a1个b2个c3个d4个二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9若abcdef，abc与def的周长比为2：3，则ab：de=10一个布袋里装有红球，白球若干个，其中12个红球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率为0.4，则布袋里装有白球的个数是11在rtabc中，c=90，ac=5，bc=12，则sina=12已知关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根，则a的值是13若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于14某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是15某人沿坡比为1：2.4的斜坡向上走，如果他升高了100米，那么他在水平方向前进了米16点a（2，y1）、b（3，y2）是二次函数y=x22x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“”、“”、“=”）17已知抛物线y=2x2bx+3的对称轴经过点（2，1），则b的值为18如图，p在第一象限，半径为3，动点a沿着p运动一周，在点a运动的同时，作点a关于原点o的对称点b，再以ab为底边作等腰三角形abc，点c在第二象限，且sina=0.8，点c随点a运动所形成的图形的面积为三、解答题（本大题共10小题，共计96分）19（1）解方程：x2+4x1=0（2）计算：6tan230sin60sin4520四张扑克牌的点数分别是4、5、6、10，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率21某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字49个随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表组别正确字数x人数a0x1010b10x2015c20x3025d30x40me40x50n根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=，n=，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“c组”所对应的圆心角的度数；（3）已知该校共有2400名学生，如果听写正确的汉字的个数少于30个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数22如图，abc中，ab=ac，ae是外角cad的平分线，点f在ac上，连结bf并延长与ae交于点e （1）求证：aefcbf（2）若ab=6，af=2，bf=5，求ef的长23如图，一居民楼底部b与山脚p位于同一水平线上，小李在p处测得居民楼顶a的仰角为60，然后他从p处沿坡角为45的山坡向上走到c处，这时点c与点a恰好在同一水平线上，点a、b、p、c在同一平面内（1）若bp=10m，求居民楼ab的高度；（精确到0.1，1.732）（2）若pc=24m，求c、a之间的距离24如图，点a，b在o上，点c在o外，连接ab和oc交于d，且oboc，ac=cd （1）判断ac与o的位置关系，并证明你的结论；（2）若oc=13，od=1，求o的半径及tanb25某网店以每件50元的价格购进一批商品，若以单价70元销售，每月可售出320件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件（1）请写出每月该商品销售量m（件）与单价上涨x（元）间的函数关系式；（2）求每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式；（3）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少元？26如图1，定义：在直角三角形abc中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）如图1，若bc=3，ab=5，则ctanb=； （2）ctan60=；（3）如图2，已知：abc中，b是锐角，ctan c=2，ab=10，bc=20，试求b的余弦cosb的值27如图，abc和def是两个全等的等腰直角三角形，bac=edf=90，def的顶点e与abc的斜边bc的中点重合将def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q（1）如图，当点q在线段ac上，求证：bpeceq；（2）如图，当点q在线段ac上，当ap=4，bp=8时，求p、q两点间的距离；（3）如图，当点q在线段ca的延长线上，若bp=2a，cq=9a，求pe：eq的值，并直接写出epq的面积 （用含a的代数式表示）28如图，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的两个顶点b和c在x轴上，ob=oc，ab=2bc=4若一条抛物线的顶点为a，且过点c，动点p从点a出发，沿线段ab向点b运动，同时动点q从点c出发，沿线段cd向点d运动，点p，q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点p作peab交ac于点e（1）求出点a的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点e作efad于f，交抛物线于点g，当t为何值时，acg的面积s最大？最大值为多少？（3）在动点p，q运动的过程中，是否存在点m，使以c，q，e，m为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由江苏省盐城市景山中学2016届九年级上学期第三次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）1方程x2=x的解为（）ax=0bx=1cx1=0，x2=1dx1=0，x2=1【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解【解答】解：x2=xx2x=0，x（x1）=0，解得：x1=0，x2=1故选c【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意正确的因式分解方程是解决问题的关键2某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）a1.25mb10mc20md8m【考点】相似三角形的应用【专题】计算题【分析】设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可【解答】解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）即该旗杆的高度是20m故选c【点评】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等3肇庆市某一周的pm2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周pm2.5指数的众数和中位数分别是（）pm2.5指数150155160165天数3211a150，150b150，155c155，150d150，152.5【考点】众数；中位数【分析】根据众数和中位数的概念求解【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，155，155，160，165，则众数为：150，中位数为：155故选b【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数4如图，在abc中，debc，如果de=2，bc=5，那么的值是（）abcd【考点】相似三角形的判定与性质【分析】先由平行线证明adeabc，得出对应边成比例=，即可得出的值【解答】解：debc，adeabc，=，；故选：b【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键5如图，点a（t，3）在第一象限，oa与x轴所夹的锐角为，tan=2，则t的值是（）a1b1.5c2d3【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质【分析】根据正切的定义列出算式，计算即可【解答】解：如图，tan=2，即=2，解得t=1.5故选：b【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边6将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）ay=x21by=x2+1cy=（x1）2dy=（x+1）2【考点】二次函数图象与几何变换【分析】直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案【解答】解：将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y=x21故选：a【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键7将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点c在半圆上点a、b的读数分别为86、30，则acb的大小为（）a15b28c29d34【考点】圆周角定理【专题】几何图形问题【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得acb的度数【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，根据量角器的读数方法可得：（8630）2=28故选：b【点评】此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半8已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=2时，x的值只能取0其中正确的个数是（）a1个b2个c3个d4个【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】压轴题【分析】根据图象开口向上可知a0，而对称轴x=0，由此可以判定；根据对称轴，知直线x=1和直线x=3关于直线x=2对称，从而得到它们对应的函数值相等；把x=1，x=5代入函数，求得a，b，解方程组即可求出4a+b的值；根据图象可得当y=2时，x的值只能取0【解答】解：、由图象开口向上，a0，对称轴x=0，b0，a、b异号，错误；、对称轴为x=2，直线x=1和直线x=3关于直线x=2对称，它们对应的函数值相等，正确；由x=2，整理得4a+b=0，正确；由图可得当y=2时，x的值可取0和4，错误故选b【点评】解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9若abcdef，abc与def的周长比为2：3，则ab：de=2：3【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可【解答】解：abc与def的周长比为2：3，abc与def的相似比为2：3，ab：de=2：3，故答案为：2：3【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键10一个布袋里装有红球，白球若干个，其中12个红球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率为0.4，则布袋里装有白球的个数是8【考点】概率公式【分析】设布袋里装有白球x个，则总球数为（12+x）个，根据从中任意摸出一个球，是白球的概率为0.4列出方程，求解即可【解答】解：设布袋里装有白球x个，则总球数为（12+x）个，根据题意得=0.4，解得x=8故答案为8【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件a出现m种结果，那么事件a的概率p（a）=11在rtabc中，c=90，ac=5，bc=12，则sina=【考点】锐角三角函数的定义【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出ab的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案【解答】解：如图所示：c=90，ac=5，bc=12，ab=13，sina=故答案为：【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出ab的长是解题关键12已知关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根，则a的值是1【考点】根的判别式【专题】计算题【分析】根据判别式的意义得到=224（a）=0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得=224（a）=0，解得a=1故答案为1【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根13若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于18【考点】圆锥的计算【分析】根据圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半依此公式计算即可解决问题【解答】解：圆锥的侧面积=662=18故答案为：18【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键14某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2=2880，（1+x）2=1.441+x=1.2所以x1=0.2，x2=2.2（舍去）故x=0.2=20%即：这个增长率为20%故答案是：20%【点评】此题考查了一元二次方程的应用对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（ab）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1x）2=b（ab）15某人沿坡比为1：2.4的斜坡向上走，如果他升高了100米，那么他在水平方向前进了240米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据题意画出图形，根据坡度的定义可以求得ac、bc的比值，再由ac=100m即可得出c的长【解答】解：如图所示，坡比为1：2.4，=，ac=100米，bc=2.4ac=2.4100=240（米）故答案为：240【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟知坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算是解答此题的关键16点a（2，y1）、b（3，y2）是二次函数y=x22x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“”、“”、“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】分别计算自变量为2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可【解答】解：当x=2时，y1=x22x+1=9；当x=3时，y2=x22x+1=4；94，y1y2，故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质17已知抛物线y=2x2bx+3的对称轴经过点（2，1），则b的值为8【考点】二次函数的性质【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b的一元一次方程，解方程即可【解答】解：抛物线y=2x2bx+3的对称轴经过点（2，1），对称轴x=2，解得：b=8故答案为8【点评】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键18如图，p在第一象限，半径为3，动点a沿着p运动一周，在点a运动的同时，作点a关于原点o的对称点b，再以ab为底边作等腰三角形abc，点c在第二象限，且sina=0.8，点c随点a运动所形成的图形的面积为16【考点】圆的综合题【分析】如图所示，点c随a运动所形成的图形为圆，根据等腰三角形的性质求出cc的长，即为圆的直径，求出圆的面积即可【解答】解：如图所示，点c随a运动所形成的图形为圆，ca=cb，点a关于原点o的对称点b，ocab，oa=ob，sina=0.8，可得oc=oa，oc=oa，cc=ococ=（oaoa）=aa=6=8，点c随点a运动所形成的圆的面积为42=16故答案为：16【点评】此题考查了轨迹，以及等边三角形的性质，根据题意得出点c随a运动所形成的图形为圆是解本题的关键三、解答题（本大题共10小题，共计96分）19（1）解方程：x2+4x1=0（2）计算：6tan230sin60sin45【考点】解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值【分析】（1）根据配方法，可得方程的解；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：（1）x2+4x1=0，配方，得（x+2）2=5，解得x1=2+，x2=2；（2）原式=6（）2=21=【点评】本题考查了解一元二次方程，配方法是解题关键，熟记特殊角三角函数值20四张扑克牌的点数分别是4、5、6、10，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率【考点】列表法与树状图法【专题】计算题【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出这两张牌的点数都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）这张牌的点数是偶数的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中这两张牌的点数都是偶数的结果数为6，所以这两张牌的点数都是偶数的概率=【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件a或b的结果数目m，然后根据概率公式求出事件a或b的概率21某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字49个随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表组别正确字数x人数a0x1010b10x2015c20x3025d30x40me40x50n根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=30，n=20，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“c组”所对应的圆心角的度数；（3）已知该校共有2400名学生，如果听写正确的汉字的个数少于30个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数【考点】条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图【分析】（1）根据b组的人数是15，所占的百分比是15%，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m和n的值，进而补全直方图；（2）利用360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数2400乘以对应的比例即可求得【解答】解：（1）调查的总人数是1515%=100，则m=10030%=30，n=10020%=20；（2）扇形统计图中“c组”所对应的圆心角的度数是：360=90；（3）该校本次听写比赛不合格的学生人数是：2400（10%+15%+25%）=1200（人）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22如图，abc中，ab=ac，ae是外角cad的平分线，点f在ac上，连结bf并延长与ae交于点e （1）求证：aefcbf（2）若ab=6，af=2，bf=5，求ef的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得dac=2dae，再由ab=ac可得b=acb，然后根据内角与外角的关系可得dac=b+acb=2b，进而可证明dae=b，再根据同位角相等，两直线平行可得aebc，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质，得到比例式，代入数据即可得到结论【解答】（1）证明：ae是cad的平分线，dac=2dae，ab=ac，b=acb，又dac=b+acb=2b，dae=b，aebc，aefcbf；（2）ab=6，ac=ab=6，af=2，cf=4，aefcbf，即，ef=【点评】本题考查了平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键23如图，一居民楼底部b与山脚p位于同一水平线上，小李在p处测得居民楼顶a的仰角为60，然后他从p处沿坡角为45的山坡向上走到c处，这时点c与点a恰好在同一水平线上，点a、b、p、c在同一平面内（1）若bp=10m，求居民楼ab的高度；（精确到0.1，1.732）（2）若pc=24m，求c、a之间的距离【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】（1）在rtabp中根据tan60=，即可得到结论；（2）过点c作cebp于点e，在rtpce中，根据cos45=，得到pe=12m，于是得到ac=be=10+12m【解答】解：（1）在rtabp中pb=10m，apb=60，tan60=，ab=1017.3m，答：居民楼ab的高度约为17.3；（2）过点c作cebp于点e，在rtpce中，cpe=45，cos45=，pe=12m，ac=be=10+12m，答：c、a之间的距离约为（10+12）m【点评】此题主要考查了解直角三角形仰角、坡角问题的应用，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解24如图，点a，b在o上，点c在o外，连接ab和oc交于d，且oboc，ac=cd （1）判断ac与o的位置关系，并证明你的结论；（2）若oc=13，od=1，求o的半径及tanb【考点】切线的判定【分析】（1）根据已知条件“cad=cda”、对顶角bdo=cda可以推知bdo=cad；然后根据等腰三角形oab的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知b+bdo=oab+cad=90，即oac=90，可得ac是o的切线（2）由勾股定理求出oa，得出ob，由三角函数的定义求出tanb即可【解答】（1）证明：连接oa，如图所示：ac=cd，cad=cda，bdo=cda，bdo=cad，又oa=ob，b=oab，oboc，b+bdo=oab+cad=90，即oac=90，ac是o的切线；（2）解：oc=13，od=1，ac=cd=ocod=12，oa=5，即o的半径为5，ob=oa=5，tanb=【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数值的求法此题难度适中，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键25某网店以每件50元的价格购进一批商品，若以单价70元销售，每月可售出320件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件（1）请写出每月该商品销售量m（件）与单价上涨x（元）间的函数关系式；（2）求每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式；（3）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用【分析】（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（32010x）件；（2）根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（7050+x），因此每月销售该商品的利润y等于月销售量每件的利润；（3）把（2）得到的函数关系式进行配方得到y=10（x6）2+6760，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大【解答】解：（1）由题意可得：m=32010x；（2）由题意可得：y=（70+x50）（32010x）=10x2+120x+6400；（3）y=10x2+120x+6400，=10（x6）2+6760，当x=6时，y有最大值6760即单价定为76元时，每月销售该商品的最最大利润为6760元【点评】此题考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，利用二次函数的最值问题解决实际问题中的最大或最小值问题：先根据题意得到二次函数关系式，然后配成顶点式是解题关键26如图1，定义：在直角三角形abc中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）如图1，若bc=3，ab=5，则ctanb=； （2）ctan60=；（3）如图2，已知：abc中，b是锐角，ctan c=2，ab=10，bc=20，试求b的余弦cosb的值【考点】解直角三角形【专题】新定义【分析】（1）先利用勾股定理计算出ac=4，然后根据余切的定义求解；（2）根据余切的定义得到ctan60=，然后把tan60=代入计算即可；（3）作ahbc于h，如图2，先在rtach中利用余切的定义得到ctanc=2，则可设ah=x，ch=2x，bh=bcch=202x，接着再在rtabh中利用勾股定理得到2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以bh=8，然后根据余弦的定义求解【解答】解：（1）bc=3，ab=5，ac=4，ctanb=；（2）ctan60=；（3）作ahbc于h，如图2，在rtach中，ctanc=2，设ah=x，则ch=2x，bh=bcch=202x，在rtabh中，bh2+ah2=ab2，2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），bh=2026=8，cosb=【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形27如图，abc和def是两个全等的等腰直角三角形，bac=edf=90，def的顶点e与abc的斜边bc的中点重合将def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q（1）如图，当点q在线段ac上，求证：bpeceq；（2）如图，当点q在线段ac上，当ap=4，bp=8时，求p、q两点间的距离；（3）如图，当点q在线段ca的延长线上，若bp=2a，cq=9a，求pe：eq的值，并直接写出epq的面积 （用含a的代数式表示）【考点】相似形综合题【分析】（1）由abc和def是两个等腰直角三角形，a=d=90，得到2=4，又由b=c=45，即可证得：bpeceq；（2）连接pq根据bpeceq，得到对应边成比例，计算得到cq=9，aq=3，由勾股定理可得pq=5；（3）根据bpeceq，得到=，求出be=ce=3a，计算即可求出pe：eq的值，连接pq，作phbc于h，pgef于g，根据等腰直角三角形的性质求出qe、pg，根据三角形的面积公式计算即可【解答】（1）证明：连接pq，abc是等腰直角三角形，b=45，1+2=135，def是等腰直角三角形，3=45，1+4=135，2=4，b=c=45，bpeceq；（2）ap=4，bp=8，ab=ac=12，bc=12，由（1）知，bpeceq，=，=，cq=9，aqaccq=3，又ap=4，pq=5；（3）bpeceq，=，即=，解得，be=ce=3a，pe：eq=bp：ce=：3，如图，连接pq，作phbc于h，pgef于g，b=45，bp=2a，ph=bh=a，又be=3a，he=2a，pe=a，pg=ge=a，pe：eq=：3，qe=3a，epq的面积=qepg=a2【点评】本题考查的是相似三角形的判