江苏省苏州市高考数学 必过关题4 数列1.doc

2015届苏州市高三数学过关题4数列（1）【考点一】数列的概念1数列，若和分别为数列中的最大项和最小项，则 . 【答案】3解析 ，它是以为元的一元二次函数，对称轴为，则和分别为数列中的最大项和最小项，则. 【考点二】等差数列的通项及性质2.差数列的前项和，若，则_【答案】12提示：回归到基本量、3在等差数列中,前项和为,则的值为_ _.【答案】2014 解析 由知，所以是以2014为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.4.等差数列中的、是函数的极值点,则 .【答案】解析 由，知8，所以，所以2.5.已知正项数列中, , ,2=+,则等于_.【答案】4解析 由题意知是等差数列，首项为1，公差为3，所以=16，又所以=4.6.公差为,各项均为正整数的等差数列中,若, , 则的最小值等于_.【答案】16解析 由, 知，所以=，由于，所以当时，有最小值16.7.设正数数列的前项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则 .【答案】解析 ，由 得，所以，得或（舍去），令得，所以.【考点三】等比数列的通项及性质8.等比数列中,若,则_.【答案】解析 根据等比数列的性质，所以=.9在数列中, (c为非零常数),前n项和为,则实数为_ _.【答案】 1解析 由知，又知为等比数列， 所以，所以.10在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 .【答案】解析 设公比为，则，即，解得，所以 11若等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】解析由得，则， 故 12等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，.给出下列结论：；的值是中最大的；使成立的最大自然数等于，其中正确的结论是_【答案】解析 由,得,又.得，所以成立，所以成立，是中最大的，所以错误，所以成立13已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为_【答案】解析 ，得到，从而，再用导数法求出最小值（可先换元）【考点四】等差、等比的综合14已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数，使得对每一个正整数恒成立，则_.【答案】 解析 由题意，可设，于是由得解得所以， ,代入，得，即，所以解得故.15数列排出如图所示的三角形数阵,设2013位于数阵中第行,第列,则 . 【答案】62解析 由规律知2013位于数阵中第45行,第17列，所以62.16在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；.依此类推，设，则_【答案】解析 在等腰直角三角形中，斜边，所以，由题易知,.a11 a12 a19a21 a22 a29 a91 a92 a9917给定81个数排成如右图的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数，则表中所有数之和为_【答案】405解析记所有数之和为s，则.18设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值为_【答案】解析 由题意知，且，且，那么有且.故，即的最小值为.19设数列前项和为，关于数列有下列命题：（1）若则既是等差数列又是等比数列；（2）若，则为等差数列；（3）若为等比数列，则成等比数列；（4）若则是等比数列；其中正确的命题是 【答案】（2）（4）解析 （1）中，每项为0时，不是等比数列；（3）中为1，-1,1，-1是反例20 等差数列有如下性质：若数列为等差数列，则当时，数列 也是等差数列；类比上述性质，若为正项等比数列，则当 时，数列也是等比数列【答案】解析 类比推理.二、解答题 21已知数列和满足，若为等比数列，且.(1) 求与；(2) 设，记数列的前项和为()求；()求正整数，使得对任意，均有.【答案】（）由题意知， 又由得公比，所以数列的通项为 ，故数列的通项为（）（）由（）知 所以（）因为 当时， 而，得 所以，当 综上，对任意恒有故22设等差数列的前项和为且 （1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得即解得故. （2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，； 当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 23已知数列和满足, , .(1) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；(2) 当时,试判断是否为等比数列；(3) 设为数列的前项和,在()的条件下,是否存在实数,使得对任意的正整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.【答案】（1）当时,假设是等差数列,由得,即,1-4-30,方程无解。故对于任意的实数,一定不是等差数列（2）当时,.而,所以又故当时, 不是等比数列.当时, 是以为首项,为公比的等比数列.（3）由()知,当时,不合要求.所以,于是,要使成立,则令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.故的最大值为,最小值为欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有。24已知数列的前项和为（1）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；（2）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由【答案】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有即由 得 ，解得或.当时，不合题意舍；当时，代入(2)得，所以， . （2）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则方法1：，得对恒成立，则 解得或此时，或故存在等差数列，使对任意都有其中，或 方法2：令，得，令，得， 当时，得或，若，则，对任意都有；若，则，不满足当时，得或，若，则，对任意都有；若，则，不满足综上所述，存在等差数列，使对任意都有其中，或 25一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第个小朋友.如果设分给第个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为.(1)当,时,分别求;(2)请用表示;令,求数列的通项公式;(3)是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)当,时, , , (2)由题意知: , 即, , 累加得, 又, (3)由,得, 若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列, 则, 即, 当时, ,对任意正整数,有成等差数列 26设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；等差数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2) 若对任意，有成立，求实数的取值范围;（3）对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.【答