第三章 数学基础.pdf

机器人技术 课程第二部分 机器人技术 课程第二部分 机器人运动学及其机器人运动学及其 数学基础数学基础 参考教材参考教材 美美 付京逊付京逊 机器人学 机器人学 中南大学中南大学 蔡自兴蔡自兴 机器人学 机器人学 美美 理查德理查德 鲍尔鲍尔 机器人操作手 机器人操作手 数学数学 编程编程 与控制 与控制 参考教材参考教材 美美 付京逊付京逊 机器人学 机器人学 n 美籍华人 台湾 美籍华人 台湾 n 珀杜大学 珀杜大学 Purdue University 电机工程专业 电机工程专业 著名教授著名教授 n 4部著作 部著作 400多篇论文多篇论文 n 第一任国际模式识别学会会长第一任国际模式识别学会会长 n 被誉为自动模式识别之父被誉为自动模式识别之父 n 1985年去世年去世 参考教材参考教材 中南大学中南大学 蔡自兴蔡自兴 n 中南大学教授 我国人工智能和机器人领域著中南大学教授 我国人工智能和机器人领域著 名专家名专家 n 曾与付京逊教授一起工作过一曾与付京逊教授一起工作过一段时间段时间 n 中国智能机器人学会理中国智能机器人学会理事事长长 国国内内机器人机器人研究研究领域著名学领域著名学者者 n 哈哈工大工大 蔡蔡鹤皋鹤皋 吴林吴林 王焱王焱 王树王树国 国 邓宗全邓宗全 孙立宁孙立宁 n 沈阳所 蒋新松沈阳所 蒋新松 封锡盛封锡盛 王天然王天然 谈谈大大龙龙 王越超王越超 n 北航 张启先北航 张启先 宗光宗光华 华 王田苗王田苗 n 上交上交大大 席裕庚 席裕庚 杨汝清杨汝清 颜颜国国正正 丁汉丁汉 高峰高峰 n 清清华华 张钹 张钹 贾培发贾培发 张伯鹏张伯鹏 汪劲松汪劲松 n 中中科院 谭民科院 谭民 梅涛梅涛 葛葛运运建建 n 西安交西安交大大 郑 郑南南宁宁 蒋庄蒋庄德德 n 上海上海大学大学 龚振邦 龚振邦 n 南南开开大学大学 卢桂章 卢桂章 刘景泰刘景泰 n 华中华中科科大大 熊有伦 熊有伦 n 中南大学中南大学 蔡自兴蔡自兴 n 天津天津大学大学 彭 彭商贤商贤 黄黄田田 n 燕山燕山大学大学 黄真黄真 n 华人华人圈圈 刘 刘云辉云辉 孟庆虎孟庆虎 席宁席宁 马书根马书根 李泽湘李泽湘 n 国国外外 机器人 工作 动作机器人 工作 动作 串联串联机器人机器人可以用可以用一一个个开开环关节链来环关节链来建建模模 由由数数个驱个驱动器动器驱驱动动的的转转动动或或移移动动关节串联而成关节串联而成 一一端固定在端固定在基基座座上上 另另一一端是端是自自由的由的 安安装装工工具具 末端末端 执行执行器 器 用以用以操操纵物体纵物体 或完成各种或完成各种任任务务 i n o a 关节的关节的相对相对运动运动导致杆件的导致杆件的运运 动 动 使末端执行使末端执行器器定位于定位于所所需要需要 的方位的方位上上 在在一一般般机器人机器人应用问题应用问题中 人中 人们们 感感兴兴趣的是趣的是 末端执行末端执行器器相对于相对于 固定固定参考参考坐标坐标数数的的空空间间几何描几何描 述述 也就是也就是机器人机器人的的运动学运动学问题问题 机器人机器人的的运动学运动学即是即是研究研究机器人机器人 手手臂臂末端执行末端执行器器位置位置和和姿态姿态与与关关 节变量空节变量空间间之之间间的关系的关系 第一第一章章 机器人机器人位置位置和和姿态的描述姿态的描述 示例示例 运动学运动学研究研究的问题的问题 Where is my hand Direct Kinematics HERE How do I put my hand here Inverse Kinematics Choose these angles 运动学运动学正正问题问题运动学运动学正正问题问题 运动学运动学逆问题逆问题运动学运动学逆问题逆问题 n n 哈佛大学哈佛大学哈哈佛佛大学大学Roger BrockettRoger Brockett建立的指数积公式建立的指数积公式建立建立的的指指数数积公积公式式 运动学运动学 滚滚动动接触接触 非非完完整整控制控制 数学基础数学基础 刚刚体体运动运动 参考文参考文献献 机器人操作机器人操作的的数学数学导导论论 作作者 者 理查德理查德 摩雷摩雷 李泽湘李泽湘 夏卡恩夏卡恩 萨斯特里萨斯特里 翻译翻译 徐卫良 钱瑞明徐卫良 钱瑞明 东东南大学 南大学 研究运动学的方法研究运动学的方法研究研究运动学运动学的方的方法法 n 丹纳维特丹纳维特 Denavit 和 和哈哈顿顿伯伯格格 Hartenberg 于于 1955年年提出了提出了一一种种采采用用矩阵代矩阵代数数方方法法解决解决机器人机器人的的 运动学运动学问题问题 D H方方法法 其数学基础 其数学基础即是即是齐次齐次变变换换 具具有有直观直观的几何的几何意义意义 能能表达表达动动力力学 学 计算计算机机视觉视觉和和 比比例变例变换换问题问题 为为以以后后的的比比例变例变换换 透视透视变变换换 等打下等打下基础基础 1000 p p p T z yyy xxx zzz y x w w w 第二第二章章 数学基础数学基础 齐次齐次坐标坐标和和齐次齐次变变换换 2 1 点点和和面面的的齐次齐次坐标坐标 2 1 1 点点的的齐次齐次坐标坐标 一一般来般来说说 n维维空空间间的的齐次齐次坐标坐标表表示是示是一一个个 n 1 维维空空间间 实实体体 有有一一个个特特定的定的投影附加投影附加于于n维维空空间间 也可以也可以把它看把它看作作 一一个个附加附加于于每每个个矢矢量的量的特特定坐标定坐标 比比例系例系数数 kcj bi av vvv v zy x T w w z y x V 式中式中i j k为为x y z 轴上的单位矢量 轴上的单位矢量 a b c w为比例系数为比例系数 w x w y w z 显显然然 齐次齐次坐标坐标表达表达并不并不是是唯唯一一的的 随随 w值值的的不同不同而而不同 不同 在在计算计算机机图图学中 学中 w 作为作为通通用用比比例例因子因子 它它可可取取任任意意正正值值 但但 在在机器人机器人的的运动分运动分析析中 中 总总是是取取w 1 列矩阵列矩阵 一一个个点矢点矢 例例1 kjiV vvvv 543 可以表示为 可以表示为 V 3 4 5 1 T 或或V 6 8 10 2 T 或或V 12 16 20 4 T n 齐次齐次坐标坐标与与三维直角三维直角坐标的坐标的区区别别 V点点在在 OXYZ坐标系坐标系中中表表 示是示是唯唯一一的的 a b c 而在而在齐次齐次坐标坐标中中表表示可示可 以是以是多多值值的的 不同不同的的表表 示方示方法代表法代表的的V点点在空在空间间 位置位置上上不不变变 x y z z z x V o n 几个几个特特定定意义意义的的齐次齐次坐标坐标 0 0 0 n T 坐标坐标原原点矢点矢量的量的齐次齐次坐标坐标 n为任为任意非意非 零零比比例系例系数数 1 0 0 0 T 指指向无穷远处向无穷远处的的OX轴轴 0 1 0 0 T 指指向无穷远处向无穷远处的的OY轴轴 0 0 1 0 T 指指向无穷远处向无穷远处的的OZ轴轴 0 0 0 0 T 没没有有意义意义 n 2个个常常用的用的公公式式 zzyyxx babababa kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba xyyxzxxzyzzy zyx zyx vvv 点点乘乘 叉乘叉乘 2 1 2 平平面面的的齐次齐次坐标坐标 平平面齐次面齐次坐标由坐标由行行矩阵矩阵P a b c d 来来表表示示 当当点点v x y z w T处处于于平平面面P内时内时 矩阵矩阵乘乘积积PV 0 或或记记为为 0 dwczbyax w z y x dcbaPV 如果如果定定义义一一个个常常数数m 则则有 有 222 cba m c w z m b w y m a w x k m c j m b i m a k w z j w y i w x vvvvvv 可以可以把矢把矢量量解解释释为为某某个个平平面面的外的外法法线线 此此 平平面面沿着沿着法法线线方方向向与与坐标坐标原原点点的的距离距离为为 k m c j m b i m a vvv m d m d n 点点和和平平面面间间的位置关系的位置关系 设设一一个个平平行于行于x y轴轴 且且在在z轴轴上上的坐标的坐标为为单单位位距离距离的的平平面面 P可以可以表表示示为为 或或 有 有 PV 1100 P 2200 P v0 v0 v0 点在平面下方 点在平面上 点在平面上方 例例如如 点点 V 10 20 1 1 T必必定定处处于于此平此平面面内内 而而点点 V 0 0 2 1 T 处处于于平平 P 的的上上方方 点点V 0 0 0 1 T处处于于P平平面下面下方方 因因为为 0 1 1 20 10 101000 0 1 1 2 0 0 1100 0 1 1 0 0 0 1 100 与与点矢点矢相相仿仿 平平面面也也没没有有意义意义 T 0000 0000 2 2 旋旋转转矩阵矩阵及及旋旋转转齐次齐次变变换换 2 2 1 旋旋转转矩阵矩阵 设设 固 定固 定 参 考参 考 坐 标 系坐 标 系 直 角直 角 坐 标坐 标 为为 Oxyz 动 动 坐 标 系坐 标 系 为为 O uvw 研究研究旋旋转变转变换换情况情况 x y z w v u P o O 初始 初始位置位置时时 动 动静静坐标系坐标系重合重合 O O 重合重合 如如图 图 各各轴轴对对 应应重合重合 设设P点点是是动动坐标系坐标系 O uvw中中的的一一点点 且且固定固定不不变变 则则 P点点在在 O uvw中中可可表表示示为为 wwvvuuuvw kPjPiPP 为 为坐标系坐标系 O uvw的的单单位位矢矢 量量 则则P点点在在 oxyz中中可可表表示示为为 u i v j w k zzyyxxxyz kPjPiPP xyzuvw PP 当 当动动坐标系坐标系 O uvw绕绕O点点回回转转时时 求求P点点在固定坐标系在固定坐标系 oxyz中中的位置的位置 y z x o O u v w P Pw Pv Pu 图 已知已知 P点点在在 O uvw中中是是不不变的变的仍仍然然 成成立立 由于由于 O uvw回回转转 则则 wwvvuuuvw kPjPiPP xwwvvuuxuvwx ikPjPiPiP P ywwvvuuyuvwy jkPjPiPjP P zwwvvuuzuvwz kkPjPiPkP P 用用矩阵表矩阵表示示为为 w v wzvzz wvyy wxvxx z y x P P P kkjkik kjjjij kijiii P P P y 2 7 uvwxyz wzvzz wvyy wxvxx PRp kkjkik kjjjij kijiii R y 则旋转矩阵为 定义 反反过过来来 xyzuvw PRP 1 R R R det 1 T1 RR Rdet 因此 是正交矩阵 的行列式 由于为的伴随矩阵 为RRRR 2 2 2 旋旋转转齐次齐次变变换换 用用齐次齐次坐标变坐标变换换来来表表示示式 式 2 7 11000 0 0 0 1 w v u z y x P P P R P P P 11000 0 0 0 1 1 z y x w v u P P P R P P P 2 2 3 三三个个基基本旋本旋转转矩阵矩阵和和合合成成旋旋转转矩阵矩阵 三三个个基基本旋本旋转转矩阵矩阵 xR 即即动动坐标系坐标系求求的的旋旋转转矩阵矩阵 也就是也就是 求求出出坐标系坐标系中中各各轴单轴单位位矢矢量量在固定坐标系在固定坐标系 中中各各轴轴的的投影投影分分量量 很容易得到很容易得到在在两两个坐标系个坐标系重合重合时时 有 有 角 轴转动绕 XOvwO vwO wv kji Oxyz xR 100 010 001 R 由由图图2 5可可知知 在在y轴轴上上的的投影投影为为 在在z轴轴上上的的投影投影 为为 在在y轴轴上上的的投影投影为为 在在z轴轴上上的的投影投影为为 所所以以有 有 v j cos y j sin z k sin y j w k cos z k v j w k wzvzz wvyy wxvxx kkjkik kjjjij kijiii y R x x y z o u v w U V W O 图2 5 ssin0 sincos0 001 co ii ux 方方向余弦向余弦阵阵 同同理理 cos0sin 010 sin0cos y R 100 0cossin 0sin cos z R ssin0 sincos0 001 R x co 三三个个基基本旋本旋转转矩阵矩阵 x y z o u v w U W O x y z o u v w U W O v n 合合成成旋旋转转矩阵矩阵 例例1 在在动动坐标坐标中中有有一一固定固定点点 相对固定相对固定参参 考考坐标系坐标系做如做如下下运动运动 R x 90 R z 90 R y 90 求求运动运动后点后点在固定在固定参考参考坐标系坐标系 下下的位置的位置 T uvwPo1321 Oxyz uvwPo Oxyz 解解1 用用画画图图的的简单简单方方法法 解解2 用用分分步步计算计算的方的方法法 R x 90 R z 90 R y 90 1 2 3 1 1 3 2 1 1000 0010 01 00 0001 P 1 2 1 3 1 2 3 1 1000 0100 0001 001 0 P 1 3 1 2 1 2 1 3 1000 0001 0010 0100 P 2 14 2 15 2 16 上上述述计算计算方方法非法非常繁琐常繁琐 可以可以通通过一过一系系列计算列计算得到得到上上述述 结果结果 将将式 式 2 14 2 15 2 16 联联写写为为如如下下形形式式 11 44 w v u z y x P P P R P P P R4x4为二为二者者之之间间的关系的关系矩阵矩阵 我 我们们令令 RR 44 xRzRy 定定义义1 当当动动坐标系坐标系绕绕固定坐标系固定坐标系各坐标各坐标轴顺序轴顺序有有限限次次 转转动动时时 其 其合合成成旋旋转转矩阵矩阵为为各各基基本旋本旋转转矩阵矩阵依旋依旋转转顺序顺序左乘左乘 注注意意 旋旋转转矩阵矩阵间间不不可以可以交交换换 uvwO Oxyz n 平平移移齐次齐次变变换矩阵换矩阵 1000 100 010 001 c b a TransH c b a 注注意意 平平移移矩阵矩阵间间可以可以交交换换 平平移移和和旋旋转转矩阵矩阵间间不不可以可以交交换换 z y x o o w u v a b c 2 2 4 相对变相对变换换 举举例例说明说明 例例1 动动坐标系坐标系 0 起起始始位置位置与与固定固定参考参考坐标系坐标系 0重合重合 动动坐坐 标系标系 0 做如 做如下下运动运动 R Z 90 R y 90 Trans 4 3 7 求合求合成成矩阵矩阵 解解1 用用画画图图的方的方法法 o z y x 7 4 3 o w u v v u w z y x o o o x y z u v w z y x u w o o v 解解2 用用计算计算的方的方法法 根根据据定定义义1 我 我们们有 有 1000 7010 3001 4100 R Z 90 90 R y 7 3 Trans 4T oo 以以上上均均以固定坐标系以固定坐标系多多轴轴为为变变换换基基准准 因因此此矩阵矩阵左乘左乘 如果如果我我们们做如做如下下变变换换 也可以也可以得到得到相相同同的的结果结果 例例2 先先平平移移Trans 4 3 7 绕当前轴 绕当前轴转转动动90 绕当前轴 绕当前轴转转动动90 求合 求合成成旋旋转转矩阵 矩阵 v w 2 20 解解1 用用画画图图的方的方法法 z y x o o v w u z y x o o w u v o z y x o w v u x y z o o w u v 解解2 用用计算计算的方的方法法 1000 7010 3001 4100 R Z 90 90 R y 7 3 Trans 4T oo 2 21 式 式 2 20 和式 和式 2 21 无无论论在在形形式式上上 还还是在是在结果结果上上都都是是 一一致的致的 因 因此此我我们们有有如如下下的的结结论论 动动坐标系在固定坐标系坐标系在固定坐标系中中的的齐次齐次变变换换有有2种种情况情况 定定义义1 如果如果所有所有的变的变换换都都是是相对于固定坐标系相对于固定坐标系中中各坐标各坐标轴旋轴旋 转或转或平平移移 则依则依次次左乘左乘 称称为为绝绝对变对变换换 定定义义2 如果如果动动坐标系坐标系相对于相对于自自身身坐标系的坐标系的当前当前坐标坐标轴轴旋旋转或转或 平平移移 则则齐次齐次变变换换为为依依次次右乘右乘 称称为为相对变相对变换换 结果均结果均为为动为为动坐标系在固定坐标坐标系在固定坐标中中的位姿的位姿 位置位置 姿态姿态 相对于固定坐标系相对于固定坐标系 轴 轴相当于轴 轴相对于轴 轴相当于ZYXwvu 也就是也就是说说 动 动坐标系坐标系绕绕自自身身坐标坐标轴做轴做齐次齐次变变换换 要要达达到绕到绕固固 定坐标系相定坐标系相等等的的结果结果 就应就应该该用相用相反反的的顺序顺序 右乘右乘的的意义意义 机器人用到相对变换的机器人用到相对变换的 时候比较多时候比较多 例如机械手抓一个杯例如机械手抓一个杯 子 如右图所示 手爪子 如右图所示 手爪 需要转动一个角度才抓需要转动一个角度才抓 的牢 相对于固定坐标的牢 相对于固定坐标 系表达太麻烦 可以直系表达太麻烦 可以直 接根据手爪的坐标系表接根据手爪的坐标系表 示示 但也要知道在 但也要知道在 O中的位中的位 姿 就用右乘的概念 姿 就用右乘的概念 x y z o H 2 2 5 绕绕通通过过原原点点的的任任意意轴旋轴旋转的转的齐次齐次变变换换 有时有时动动坐标系坐标系 O 可可能能绕绕过过原原点点O的的分分量量分别为分别为rx ry rz的的 任任意意单单位位矢矢量量r 转转动动 角 角 研究研究这这种转种转动动的的好处好处是可用是可用 O 绕某轴绕某轴r 的的一一次次转转动动代代替绕替绕 O各坐标各坐标轴轴的的数数次次转转动动 为为推推导导此旋此旋转转矩阵矩阵 可可作作下下述述5步步变变换换 1 绕绕X 轴轴转转 角 角 使使r 轴处轴处于于XZ平平面面内内 2 绕绕Y 轴轴转转 角角 使使r 轴轴与与OZ轴重合轴重合 3 绕绕OZ轴轴转转动动 角角 4 绕绕Y 轴轴转转 角角 5 绕绕X 轴轴转转 角角 X Y Z rx ry rz A B C D B O 5 1 2 4 3 r A 由由上上图图容易求容易求出出 2 z 2 y y rr r sin 2 z 2 y z rr r cos x x r r r r OC sin 2 z 2 y 2 z 2 y rr r rr OB C B cos 由定由定义义1和和定定义义2 上上述述5次次旋旋转的转的合合成成旋旋转转矩阵矩阵为为 cossin0 sin cos0 001 cos0sin 010 sin 0cos 100 0cossin 0sin cos cos0sin 010 sin0cos cossin0 sincos0 001 RRRRRR x y z y x r 2 25 X Y Z rx ry rz A B C D B O 5 1 2 4 3 r A 带入带入式 式 2 25 得得 cos cos 1r sinr cos 1rr sinr cos 1rr sinr cos 1rrsinr cos 1rr cos cos 1rsinr cos 1rr sinr cos 1rrcos cos 1r R 2 z xzy yzx xzyyzx 2 yzyx zyx 2 x r 由由该该式式可以可以推推出出3个个基基本旋本旋转转矩阵矩阵 2 2 6 齐次齐次变变换矩阵换矩阵的几何的几何意义意义 设设 有有一一个个手手爪爪 即即动动坐标系坐标系 O 已知已知 那么那么 O 在在 O中中的的齐次齐次坐标变坐标变换换为为 如果如果手手爪爪转转了了一一个个角角度度 则则 111 cbao 1000 100 010 001 T 1 1 1 1 c b a 1000 p p p T z yyy xxx zzz y x w w w T反反映映了了 O 在在 O中中的位置的位置和和姿态姿态 即即表表示示了了该该坐标系坐标系原原点点 和和各坐标各坐标轴单轴单位位矢矢量在固定坐标系量在固定坐标系中中的位置的位置和和姿态姿态 该该矩阵矩阵可以由可以由4个个子矩阵子矩阵组组成成 写写成成如如下下形形式式 比例系数透视矩阵 位置矢量旋转矩阵 1131 1333 wf PR T zzz yyy xxx w w w 33 R 为为姿态姿态矩阵矩阵 旋旋转转矩阵矩阵 表表示示动动坐标系坐标系 O 在固定在固定参考参考坐标系坐标系 O中中的姿态的姿态 即即表表示示 O 各坐标各坐标轴单轴单位位矢矢量在量在 O各各轴轴上上的的投影投影 为为位置位置矢矢量量矩阵矩阵 代表代表动动坐标系坐标系 O 坐标坐标原原 点点在固定在固定参考参考坐标系坐标系 O中中的位置的位置 T zyx ppp P 13 为为透视透视变变换矩阵换矩阵 在在视觉视觉中中进进行行图图像像计算计算 一一般置般置为为0 000 f 31 为为比比例系例系数数 1 11 w 如果如果需要需要求求解解 O在在 O 中中的位置的位置和和姿态姿态 此此时时的的齐次齐次变变换矩换矩 阵阵为 为 即即求求逆逆矩阵矩阵 1 T 1000 R T T T1 33 T 1 pw pv p vv vv vv kpjpipp zyx vvv v kji zyx vvv v kvjvivv zyx vvv v kwjwiww zyx vvv v 其中其中 这这些些式式子子以以后后经经常常遇遇 到到 在在机器人机器人计算计算中 中 所所要要求求的就是的就是齐次齐次变变换换 矩阵矩阵 2 2 7 透透镜镜成成像像的的齐次齐次变变换换 p p P x1 PP x1 pp pp T T y z y z ypzpzpf ypzpzpypf ypf zpxpypf zpxpypypf v 以光心为原点O 光轴与y轴重合 P为物点 用齐次坐标表示 求 的齐次坐标 即求 根据三角形相似原理 注意是负值 是正值 所以实际上为相减关系 设 z y P yp f o zp f p z P p y 1 1 ypfypfyp ypypfypypff xp xp y 又有 11 ypzp ypzp pypzp fff 因因此此 进进行行机器人运动学机器人运动学计算计算时时 不不能能省略省略透视矩阵透视矩阵 有有摄摄 像头像头时时 透视矩阵透视矩阵为为 0 0 没没有有摄像头摄像头时时为为 0 0 0 f 1 10 1 0 0100 0010 0001 T 1 T 11 p f z y x f y z y x z y x f p p p f p p p p p p 用矩阵表示 知知识识点点 1 点点和和面面的的齐次齐次坐标坐标和和齐次齐次变变换换 2 三三个个基基本旋本旋转转矩阵矩阵 3 绝绝对变对变换换 如果如果所有所有的变的变换换都都是相对于固定坐标系是相对于固定坐标系中中各坐各坐 标标轴旋轴旋转或转或平平移移 则依则依次次左乘左乘 称称为为绝绝对变对变换 换 4 相对变相对变换换 如果如果动动坐标系相对于坐标系相对于自自身身坐标系的坐标系的当前当前坐标坐标轴轴 旋旋转或转或平平移移 则则齐次齐次变变换换为为依依次次右乘右乘 称称为为相对变相对变换 换 5 绕绕任任意意轴旋轴旋转转 5步顺序步顺序 6 透视透视变变换换 习习题题1 O 与与 O初始重合初始重合 O 作作如如下下运动运动 绕 绕Z轴轴转转动动30 绕 绕X轴轴转转动动60 绕 绕Y轴轴转转动动90 求求T 1000 0100 0030cos30sin 0030sin30cos R1 oo oo 1000 060cos60sin0 060sin60cos0 0001 2 oo oo R 1000 090cos090sin 0010 090sin090cos 3 oo oo R 1000 002 12 3 02 34 34 1 02 14 34 3 123 RRRT 习习题题2 O 与与 O初始重合初始重合 O 作作如如下下运动运动 绕 绕X轴轴转转动动90 绕 绕 w轴轴转转动动90 绕 绕Y轴轴转转动动90 求 求 T 改改变变旋旋转转顺序顺序 如如何何 旋旋转转才才能能获获得得相相同同的的结果结果 1000 090cos90sin0 090sin 09cos0 0001 R1 oo oo 1000 0100 0090cos90sin 0090sin90cos 2 oo oo R 1000 090cos090sin 0010 090sin090cos 3 oo oo R 1000 0010 0100 0001 213 RRRT 解解 解解 绕 绕Z w 轴轴转转动动90 绕 绕X轴轴转转动动90 绕 绕Y轴轴转转动动90 习习题题3 矢矢量在量在 O 中中表表示示为为 O 相对于相对于 O的的 奇奇次次变变换换为为 P v kjip vvv 223 0 1000 1100 2