高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教B版选修12.ppt

2 2 2反证法 第二章 2 2直接证明与间接证明 学习目标1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点反证法 王戎小时候 爱和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树上结满了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘了李子一尝 原来是苦的 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎说 假如李子不苦的话 早被路人摘光了 而这树上却结满了李子 所以李子一定是苦的 思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想 答案 答案运用了反证法思想 思考2 反证法解题的实质是什么 答案 答案否定结论 导出矛盾 从而证明原结论正确 梳理 1 定义 一般地 由证明p q转向证明綈q r t t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定綈q为假 推出q为真的方法 叫做反证法 2 反证法常见的矛盾类型 与假设矛盾 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论矛盾 与公认的简单事实矛盾 题型探究 例1设 an 是公比为q的等比数列 设q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 证明 类型一用反证法证明否定性命题 证明假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 1 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 反思与感悟 证明 a b c成等比数列 b2 ac a c 从而a b c 这与已知a b c不成等差数列相矛盾 假设不成立 例2a b c 0 2 求证 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 类型二用反证法证明 至多 至少 类问题 证明 证明假设 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因为a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 即3 3 矛盾 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 引申探究已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能都大于 证明 a b c都是小于1的正数 1 a 1 b 1 c都是正数 应用反证法常见的 结论词 与 反设词 当命题中出现 至多 至少 等词语时 直接证明不易入手且讨论较复杂 这时 可用反证法证明 证明时常见的 结论词 与 反设词 如下 反思与感悟 跟踪训练2已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 且 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和 得4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 例3求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 3 3 两式相除得 1 b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2矛盾 假设不成立 从而原命题得证 证明 类型三用反证法证明唯一性命题 用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 可先证 存在性 由于假设 唯一性 结论不成立易导出矛盾 因此可用反证法证其唯一性 反思与感悟 跟踪训练3若函数f x 在区间 a b 上是增函数 求证 方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明 当堂训练 1 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步应假设a 三角形中至少有一个直角或钝角b 三角形中至少有两个直角或钝角c 三角形中没有直角或钝角d 三角形中三个角都是直角或钝角 答案 2 3 4 5 1 2 用反证法证明 在三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中a 有一个内角小于60 b 每一个内角都小于60 c 有一个内角大于60 d 每一个内角都大于60 答案 2 3 4 5 1 3 abc a bd a b或a b 2 3 4 5 1 答案 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设a a不垂直于cb a b都不垂直于cc a bd a与b相交 2 3 4 5 1 答案 5 用反证法证明 关于x的方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 当a 或a 1时 至少有一个方程有实数根 2 3 4 5 1 证明 2 3 4 5 1 证明假设三个方程都没有实数根 则由判别式都小于零 规律与方法 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否