高中数学 第四章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修11.ppt

第四章 1函数的单调性与极值 1 1导数与函数的单调性 学习目标1 理解导数与函数的单调性的关系 2 掌握利用导数判断 证明 函数单调性的方法 3 能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一函数的单调性与导函数正负的关系 观察下列各图 完成表格内容 正 正 正 递增 递增 负 负 负 负 负 递减 递减 递减 梳理 一般地 设函数y f x 在区间 a b 上 1 如果f x 0 则f x 在该区间上是增加的 2 如果f x 0 则f x 在该区间上是减少的 上升 下降 递增 递减 锐 钝 思考 知识点二函数的变化快慢与导数的关系 我们知道导数的符号反映函数y f x 的增减情况 怎样反映函数y f x 增减的快慢呢 能否从导数的角度解释变化的快慢呢 如图所示 函数y f x 在 0 b 或 a 0 内导数的绝对值较大 图像 陡峭 在 b 或 a 内导数的绝对值较小 图像 平缓 答案 梳理 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图像就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图像就 平缓 一些 题型探究 例1已知函数y f x 的图像如图所示 则函数y f x 的图像可能是图中的 类型一原函数与导函数的关系 答案 解析 由函数y f x 的图像的增减变化趋势判断函数y f x 的正 负情况如下表 由表可知函数y f x 的图像 当x 1 b 时 函数图像在x轴下方 当x b a 时 函数图像在x轴上方 当x a 1 时 函数图像在x轴下方 故选c 1 对于原函数图像 要看其在哪个区间内单调递增 则在此区间内导数值大于零 在哪个区间内单调递减 则在此区间内导数值小于零 根据导数值的正负可判定导函数图像 2 对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢 反思与感悟 跟踪训练1已知y f x 的图像如图所示 则y f x 的图像最有可能是如图所示的 答案 解析 由f x 0 f x 0 的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势 由已知可得x的取值范围和f x 的正 负 f x 的增减变化情况如下表所示 由表可知f x 在 0 上是增加的 在 0 2 上是减少的 在 2 上是增加的 满足条件的只有c 故选c 命题角度1求函数的单调区间例2求f x 3x2 2lnx的单调区间 类型二单调区间的求解及单调性证明 f x 3x2 2lnx的定义域为 0 解答 求函数y f x 的单调区间的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 解不等式f x 0 函数在定义域内的解集上为增函数 4 解不等式f x 0 函数在定义域内的解集上为减函数 反思与感悟 跟踪训练2求函数f x 的单调区间 函数f x 的定义域为 2 2 解答 因为x 2 2 所以ex 0 x 2 2 0 由f x 0 得x 3 所以函数f x 的单调递增区间为 3 由f x 0 得x 3 又函数f x 的定义域为 2 2 所以函数f x 的单调递减区间为 2 和 2 3 命题角度2证明函数的单调性例3证明函数f x 在区间 0 2 上是单调递增函数 证明 00 根据导数与函数单调性的关系 可得函数f x 在区间 0 2 上是单调递增函数 利用导数证明不等式的一般步骤 1 构造函数 f x f x g x 2 求导 f x f x g x 3 判断函数的单调性 4 若f x 在区间上的最小值大于等于0 则f x g x 若f x 在区间上的最大值小于等于0 则f x g x 反思与感悟 解答 则cosx 0 所以xcosx sinx 0 例4若函数f x kx lnx在区间 1 上是增加的 则k的取值范围是 类型三含参数函数的单调性 答案 1 解析 引申探究试求函数f x kx lnx的单调区间 解析 当k 0时 函数的单调递减区间为 0 1 讨论含有参数的函数的单调性 通常归结为求含参数不等式的解集的问题 而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论 但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准 2 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 利用分离参数或函数性质求解参数范围 然后检验参数取 时是否满足题意 先令f x 0 或f x 0 求出参数的取值范围后 再验证参数取 时f x 是否满足题意 反思与感悟 3 恒成立问题的重要思路 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 跟踪训练4已知函数f x x2 2alnx 1 试讨论函数f x 的单调区间 解答 当a 0时 f x 0 f x 的单调递增区间为 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 若函数g x f x 在 1 2 上是减函数 求实数a的取值范围 解答 由已知函数g x 为 1 2 上的单调减函数 则g x 0在 1 2 上恒成立 当堂训练 1 f x x 3 ex的单调递增区间是a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 2 3 4 5 1 f x ex x 3 ex x 2 ex 0 解得x 2 f x 的单调递增区间是 2 答案 解析 2 函数y f x 在定义域 3 内可导 其图像如图所示 记y f x 的导函数为y f x 则不等式f x 0的解集是 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 求f x 0的解集 即求函数f x 在 3 上的单调减区间 由题干图像可知y f x 的单调减区间为 1 2 3 函数f x x3 2x2 mx 1在 上是增加的 f x 3x2 4x m 0在r上恒成立 则判别式 16 12m 0 即m 2 3 4 5 1 3 若函数f x x3 2x2 mx 1在 上是增加的 则m的取值范围是 答案 解析 2 3 4 5 1 4 若函数y f x a x3 x 的单调减区间为 则a的取值范围是 答案 解析 0 y axlna lna lna ax 1 当a 1时 因为lna 0 ax1 所以y 0 即y在 0 上是减少的 综上 函数y ax xlna在 0 上是减少的 2 3 4 5 1 5 已知a 0且a 1 证明 函数y ax xlna在 0 上是减少的 证明 规律与方法 1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单