高中数学 第三章 不等式 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(一)课件 北师大版必修5.ppt

4 1二元一次不等式 组 与平面区域 一 第三章不等式 1 理解二元一次不等式的解 解集概念 2 会画出二元一次不等式 组 表示的平面区域 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一二元一次不等式 组 的概念 含两个未知数的不等式的一个解 即满足不等式的一组x y的取值 例如也可写成 0 0 对于只含有一个未知数的不等式x 6 它的一个解就是能满足不等式的x的一个值 比如x 0 那么对于含有两个未知数的不等式x y 6 你能类似地举出一个解吗 答案 梳理 1 含有两个未知数 并且未知数的次数是1的不等式称为不等式 2 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 3 满足二元一次不等式 组 的x和y的取值构成有序数对 x y 称为二元一次不等式 组 的一个 4 所有这样的有序数对 x y 构成的称为二元一次不等式 组 的解集 二元一次 解 集合 知识点二二元一次不等式 组 表示的平面区域 思考 一元一次不等式 组 的解集可以表示为数轴上的区间 例如的解集为数轴上的一个区间 如图 那么 在直角坐标系内 二元一次不等式x y 6的解集表示什么图形呢 答案 二元一次不等式x y 6的解是一个有序数对 x y 它在平面直角坐标系中对应一个点 显然不等式x y 6的解不止一个 且这些解不在直线x y 6上 经探索 以二元一次不等式x y 6的解为坐标的点都在直线的左上方 反之 直线左上方点的坐标也满足不等式x y 6 因此 在直角坐标系中 不等式x y 6表示直线x y 6左上方的平面区域 梳理 1 在平面直角坐标系中 二元一次不等式ax by c 0 或 0 表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 把直线画成虚线以表示区域不包括边界 不等式ax by c 0表示的平面区域包括边界 把边界画成实线 2 对于直线ax by c 0同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都相同 3 在直线ax by c 0的一侧取某个特殊点 x0 y0 作为测试点 由ax0 by0 c的符号可以断定ax by c 0 或 0 表示的是直线ax by c 0哪一侧的平面区域 4 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集 题型探究 类型一二元一次不等式解的几何意义 例1已知点 3 1 和 4 6 在直线3x 2y a 0的两侧 则a的取值范围是 答案 解析 7 24 点 3 1 和 4 6 必有一个是3x 2y a 0的解 另一个点是3x 2y a 0的解 即 3 3 2 1 a 3 4 2 6 a 0 a 7 a 24 0 解得 7 a 24 反思与感悟 对于直线l ax by c 0两侧的点 x1 y1 x2 y2 若ax1 by1 c 0 则ax2 by2 c 0 即同侧同号 异侧异号 跟踪训练1经过点p 0 1 作直线l 若直线l与连接a 1 2 b 2 1 的线段总有公共点 求直线l的斜率k的取值范围 解答 由题意知直线l的斜率存在 设为k 则可设直线l的方程为kx y 1 0 由题意知a b两点在直线l上或在直线l的两侧 所以有 k 1 2k 2 0 所以 1 k 1 类型二二元一次不等式表示的平面区域 例2画出不等式x 4y 4表示的平面区域 解答 先作出边界x 4y 4 因为这条线上的点都不满足x 4y 4 所以画成虚线 取原点 0 0 代入x 4y 4 因为0 4 0 4 4 0 所以原点 0 0 在x 4y 4 0表示的平面区域内 所以不等式x 4y 4表示的平面区域在直线x 4y 4的左下方 所以x 4y 4表示的平面区域如图阴影部分所示 反思与感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用 直线定界 特殊点定域 的方法 特别是当c 0时 常把原点 0 0 作为测试点 当c 0时 常把 0 1 或 1 0 作为测试点 跟踪训练2不等式x 2y 6 0表示的平面区域在直线x 2y 6 0的a 右上方b 右下方c 左上方d 左下方 答案 解析 在平面直角坐标系中画出直线x 2y 6 0 图略 观察图像知原点在直线的右下方 将原点 0 0 代入x 2y 6 得0 0 6 6 0 所以原点 0 0 在不等式x 2y 6 0表示的平面区域内 故选b 类型三二元一次不等式 组 表示的平面区域 例3用平面区域表示不等式组的解集 解答 不等式y 3x 12 即3x y 12 0 表示的平面区域在直线3x y 12 0的左下方 不等式x 2y 即x 2y 0 表示的是直线x 2y 0左上方的区域 取两区域重叠的部分 如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集 引申探究 x 2y 表示什么区域 解答 x 2y 等价于x2 2y 2 即 x 2y x 2y 0 其表示的平面区域如图阴影部分所示 反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时 应先画出每个不等式表示的区域 再取它们的公共部分即可 其步骤 画线 定侧 求 交 表示 但要注意是否包含边界 跟踪训练3画出下列不等式组所表示的平面区域 解答 x 2y 3 即x 2y 3 0 表示直线x 2y 3 0上及左上方的区域 x y 3 即x y 3 0 表示直线x y 3 0上及左下方的区域 x 0表示y轴及其右边区域 y 0表示x轴及其上方区域 综上可知 不等式组 1 表示的区域如图阴影部分 含边界 所示 解答 x y 2 即x y 2 0 表示直线x y 2 0左上方的区域 2x y 1 即2x y 1 0 表示直线2x y 1 0上及右上方区域 x y 2表示直线x y 2左下方区域 综上可知 不等式组 2 表示的区域如图阴影部分所示 当堂训练 将四个点的坐标分别代入不等式中 其中点 2 0 代入后不等式不成立 故此点不在不等式3x 2y 6表示的平面区域内 故选d 1 2 3 4 1 不在不等式3x 2y 6表示的平面区域内的一个点是a 0 0 b 1 1 c 0 2 d 2 0 答案 解析 2 如图所示 表示阴影部分的二元一次不等式组是 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 观察图像可知 阴影部分在直线y 2上方 且不包含直线y 2 故可得不等式y 2 又阴影部分在直线x 0左边 且包含直线x 0 故可得不等式x 0 由图像可知 第三条边界线过点 2 0 点 0 3 故可得直线3x 2y 6 0 因为此直线为虚线且原点o 0 0 在阴影部分 故可得不等式3x 2y 6 0 观察选项可知选c 1 2 3 4 3 已知点 1 2 和点 3 3 在直线3x y a 0的两侧 则a的取值范围是a 1 6 b 6 1 c 1 6 d 6 1 答案 解析 由题意知 3 2 a 9 3 a 0 即 a 1 a 6 0 1 a 6 1 2 3 4 4 画出下列二元一次不等式表示的平面区域 1 x 2y 4 0 解答 画出直线x 2y 4 0 0 2 0 4 4 0 x 2y 4 0表示的区域为含 0 0 的一侧 因此所求为如图所示的区域 包括边界 1 2 3 4 2 y 2x 解答 画出直线y 2x 0 0 2 1 20 即y 2