极限与连续习题课(2).pdf

复临舍复临舍202 复临舍 复临舍209 二 作业讲析 略 三 典型例题讲析 四 课堂练习题 二 作业讲析 略 三 典型例题讲析 四 课堂练习题 一 内容总结 略 一 内容总结 略 内容总结内容总结 1 两个重要极限1 两个重要极限 理解极限存在的夹逼准则 掌握两个重要极限 会运用其计算函数的极限 理解极限存在的夹逼准则 掌握两个重要极限 会运用其计算函数的极限 2 无穷小量和无穷大量2 无穷小量和无穷大量 理解无穷小量和无穷大量的概念 理解无穷小量的高阶 低阶 同阶 等价的概念 掌握计算极限中的等价无穷小替代的方法 理解无穷小量和无穷大量的概念 理解无穷小量的高阶 低阶 同阶 等价的概念 掌握计算极限中的等价无穷小替代的方法 3 函数的连续性3 函数的连续性 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念 会求函数的间断点 并会判断间断点的类型 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念 会求函数的间断点 并会判断间断点的类型 4 连续函数的性质4 连续函数的性质 掌握连续函数的运算性质 掌握基本初等函数和初等函数的连续性 掌握计算复合函数极限的方法 掌握闭区间上连续的函数的性质 掌握连续函数的运算性质 掌握基本初等函数和初等函数的连续性 掌握计算复合函数极限的方法 掌握闭区间上连续的函数的性质 作业讲析作业讲析 例1例1 解 求下列极限 1 3 0 tansin23 1 lim 2 lim 21 x xx xxx xx 33 00 3 3 0 tansin tan 1cos 1 limlim 1 1 2 lim 2 xx x xxxx xx x x 2 1 21 21 1 2 232 2 limlim1 2121 x x x x xx x xx e 典型例题讲析典型例题讲析 例2例2 解 求 3223 lim32 x xxxx 3223 11 32 lim32 32 1111 lim 3lim 2 32 11 322 32 x xx xxxx xx xx 例3例3求下列极限 sin sin lim 1 为整数nm nx mx x nt mt nx mx n m t tx x sin 1 sin 1 lim sin sin lim 1 0 解 n m n m nt nt mt mt nm t nm 1 sin sin lim 1 0 1sin lim 2 2 n n 1sin 1 lim 1sin lim 2 22 nnn n nn 0 1 sinlim 1 2 nn n n x x x tan 2 sinlim 3 解 x x xx 1 cos 1 sinlim 4 2 tan 2 2 tan 2 tan 2 cot1 lim csclim sinlim 3 x x x x x x xxx 2 cot cot 1 2 2 2 cot cot 1 2 2 cot1 lim cot1 lim 22 x x x x x x xx 1 0 e 2 2 1 cos 1 sinlim 1 cos 1 sinlim 4 x x x x xxxx 2 1 cos 1 sin21 lim x x xx 2 2 sin1 lim x x x x x x x x 2 2 sin 2 sin 1 2 sin1 lim x x x x x 2 2 sin 2 sin 1 2 sin1 lim ee 1 例4例4 解 求 1 0 lim 0 0 0 3 xxx x x abc abc 令则 1 3 xxx abc f x 0 lim 0 x f x 故 1 0 lim 1 fx x f xe 原式 1 0 lim 1 fx x fx x f x 而 00 0 3 111 limlim 3 1111 lim 3 1 lnlnln ln 3 xxx xx xxx x f xabc xx abc xxx abcabc 所以 3 ln abc e 3 abc 原式 例5例5 解 1 当时 是 x 的几阶无穷小 0 x xxx 2 当 时 是 的几阶无穷小 0 x cos6cos4xx x 1 由 31 8 42 1 xxxxxx 故 0 8 1 xxxxx 即当 时 是 的 阶无穷小 xxx x 1 8 0 x 2 2 cos6cos42sin5 sin 0 xxxxO xx 故当0 x 时 是 的 2 阶无穷小 cos6cos4xx x 解 例6例6 求 的连续区间 间断点 1 1 1 x x f x e 并判别其类型 f x的连续区间为 0 0 1 1 因为 所以 是 的无穷间断点 0 lim x f x 0 x f x 因为 所以 是 的 1 0 0 1 0 1 ff 1x f x 跳跃间断点 例7例7 解 试确定 的值 使 有 a b 1 x eb f x xax 无穷间断点 和可去间断点0 x 1 x 若x 0是f x 的无穷间断点 则 0 lim 1 x x eb xax 即 0 1 lim0 1 x x xaxa ebb 所以 当a 0 b 1时 x 0是 f x 的无穷间断点 若x 1是 f x 的可去间断点 则极限 1 lim 1 x x eb xax 存在 且 此时1 abe 1 11 1 limlim 1 1 1 xx xx ebe ee xaxxaxa 因此 当a 1 b e时 x 1是f x 的可去间断点 当a 0 b e 时 f x 有无穷间断点x 0和可去间断点x 1 例8例8 证 设 f xtf xf tx t 证明 若 在点 处连续 f x0 x 则 在 上连续 f x 首先由 得 0 0 f xf xf 0 0 f 然后任取 只要证明 在点 x f xx连续即可 因为 00 0 0 limlim lim lim 0 0 xx x x yf xxf x f xfxf x fxf 所以 在点 处连续 即 在 f x0 x f x 连续 例9例9 设函数 且当 时 0 1 f xC 01x 恒有 证明至少有一点0 1 f x 0 1 使得 f 证令则 F xf xx 0 1 F xC 且 0 0 0 1 1 10 FfFf 1 若则此时 0 0 f 0 f 2 若则 0 0 f 0 1 0 1 0 FFfF 根据零点存在定理 必有一点 使得 0 1 0 F 即 f 综上所述 必有一点 使得 0 1 f 课 堂 练 习 题课 堂 练 习 题 下列极限 求 1 1 sin 53 lim 1 2 3 x x x x 1 3 lim 3 12 x x x x x x x 1 1 1 lim 4 3tan 6 sinlim 2 6 xx x 11 1lim 5 2 n n nn 3 1ln21lnlim 6 x x x 1 1sin1 lim 7 2 0 x x e xx 的几阶无穷小 是时当1ln12 1 2 2 xxxxx 为什么 处是否连续在问设 0 0 1 sin1 0 1 0 1 3 1 xxf x x x x x xf e x 的连续性 研究函数 1 lim 4 2 nx nx n e exx y 1 1 5 1 1 并判断其类型的间断点求函数 x x e e xf 处的连续性 和在研究 设 4 1 sin cos 4 sin 6 xxxf x x x xx x x x xf 连续 在使之值试确定 设 1 1 4 1 313 7 xxfba x x xx bxba xf coslim 8 2n 并画出图形的连续性试研究设xf xxf n 课堂练习答案 2 1 0 1