2015年高考全国新课标1卷理科数学试题(含答案).pdf

共 13 页 当前页是第 1 页 绝密 启封并使用完毕前绝密 启封并使用完毕前 试题类型 试题类型 A 20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至至 3 页 第 卷页 第 卷 3 至至 5 页 页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 设复数 z 满足 1 z 1z i 则 z A 1 B 2 C 3 D 2 解析 1 1 z i z 可得 1 1 1 1 1 1 iii zi iii 故可得 1z 选择 A 2 sin20 cos10 cos160 sin10 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 解析 本题三角函数公式 故可得 1 sin20 cos10 cos160sin10 sin20 cos10 cos 180 20sin10 sin20 cos10 cos20 sin10 sin 20 10 sin30 2 选择 D 3 设命题 P n N 2 n 2n 则 P 为 A n N 2 n 2n B n N 2 n 2n C n N 2 n 2n D n N 2 n 2n 解析 本题考查命题的否定 条件和结论都需要否定 因此选择 C 4 投篮测试中 每人投 3 次 至少投中 2 次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概 共 13 页 当前页是第 2 页 率为 0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648 B 0 432 C 0 36 D 0 312 解析 本题考查事件的概率 至少投中 2 次才能通过 那么投中的次数是 2 或 3 因此概率为 2233 33 0 6 0 4 0 6 0 648PCC 选择 A 5 已知 M x0 y0 是双曲线 C 2 21 2 x y 上的一点 F1 F2是 C 上的两个焦点 若 1MF 2MF 0 则 y0的取值范围是 A 3 3 3 3 B 3 6 3 6 C 2 2 3 2 2 3 D 2 3 3 2 3 3 解析 本题考查双曲线 通过 12 0MF MF 可得 2 000 3 3 0 xxy 而 2 2 0 0 1 2 x y 因此可得 2 0 1 3 y 故答案为 A 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内 角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为 一个圆锥的四分之一 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧度为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放斛的米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解析 本题考查空间立体几何 有四分之一圆弧的周长为 8 尺可以得出 1 28 4 r 3 因此 16 3 r 故体积为 2 11 1 33 4 Shr h 通过计算可得 320 9 V 换算单位可得 320 9 22 1 62 因此选择 B 共 13 页 当前页是第 3 页 7 设 D 为 ABC 所在平面内一点 3 则 A B C D 解析 本题考查平面向量 画出图形 1114 3333 ADACCDACBCACACABABAC 可知答案为 A 8 函数 f x 的部分图像如图所示 则 f x 的单调递减区间为 A k b k C k D k 解析 本题考查三角函数的单调性 根据图像确定函数的解析式 然后再确定单调区间 故可得答案为 B 9 执行右面的程序框图 如果输入的 t 0 01 则输出的 n A 5 B 6 C 7 D 8 共 13 页 当前页是第 4 页 解析 本题考查算法 过程为 10 的展开式中 y 的系数为 A 10 B 20 C 30 D 60 解析 本题考查二项式公式 把 x y 看做是一个整体 因此可得 52 x y 只能是 22 23 5 Cxxy 中的某一项 故可得系数为 21 53 10 330C C 故选择 C 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r 共 13 页 当前页是第 5 页 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 本题考查三视图 由正视图和俯视图知 该几何体是半球与半个圆柱的组合体 圆柱的半径与球的半径都为 r 圆柱的高为 2r 其表面积为 22 1 4222 2 rrrrrr 22 54rr 16 20 解得 r 2 故选 B 12 设函数 f x e x 2x 1 ax a 其中 a 1 若存在唯一的整数 x 0 使得 f x0 0 则 a 的取 值范围是 A 1 B C D 1 解析 共 13 页 当前页是第 6 页 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作 答 第 22 题 第 24 题未选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 13 若函数 f x xln x 2xa 为偶函数 则 a 解析 本题考查偶函数 因此有 22 ln ln fxxxaxf xxxax 故可得 2 2 1 xax xax 因此可得1a 14 一个圆经过椭圆的三个顶点 且圆心在 x 轴上 则该圆的标准方程为 解析 本题考查圆的方程 设圆心坐标为 a 0 因此可得 2 44aa 或 2 44aa 解得 3 2 a 因此圆的方程为 22 325 24 xy 15 若 x y 满足约束条件则 y x 的最大值为 解析 本题考查线性规划 根据题意画出可行域 y x 可以看做是与原点连线的斜率 因此如果 y x 最大值 也就是求斜率的最大值 通过图形观察可知在 1 3 处有最大值是 3 因此 x y 的最大值是 3 16 在平面四边形 ABCD 中 A B C 75 BC 2 则 AB 的取值范围是 解析 如下图所示 延长 BA CD 交于点 E 则可知 ADE 中 105DAE 45ADE 30E 设 1 2 ADx 则 262 24 AEx DEx 62 2 sin151 4 CDmBCxm 故可得 62 62 4 xm 所以04x 而 622622 62 4242 ABxmxxmx 因此可得AB的范围是 62 62 共 13 页 当前页是第 7 页 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 Sn 为数列 an 的前 n 项和 已知 an 0 求 an 的通项公式 设 求数列 的前 n 项和 解析 因为 2 243 nnn aaS 所以 2 111 243 nnn aaS 两式相减可得 22 11 224 nnnnn aaaaa 即 111 2 nnnnnn aaaaaa 0 n a 1 0 nn aa 故可得 1 2 nn aa 所以 n a是等差数列 将1n 代入 2 243 nnn aaS 中可得 1 3a 或 1 1a 舍去 因此可得通项公式为3 1 221 n ann 1111 21 23 2 2123 n b nnnn 因此它的前 n 项和为 1 1111111 11 2 355721232 323 n T nnn 18 如图 四边形 ABCD 为菱形 ABC 120 E F 是平面 ABCD 同一侧的两点 BE 平 面 ABCD DF 平面 ABCD BE 2DF AE EC 1 证明 平面 AEC 平面 AFC 2 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 共 13 页 当前页是第 8 页 解析 连结BD 设BDACG 连结 EG FG EF 在菱形ABCD中 不妨设1GB 由120ABC 可得3AGGC 由BEABCD 面 ABBC 可知AEEC 又AEEC 所以3EG 且EGAC 在tREBG 中 可得 2BE故 2 2 DF 在tRFDG 中 可得 6 2 FG 在直角梯形BDFE中 2BD 2BE 可得 3 2 2 EF 从而有 222 EGFGEF 所以EGFG 又ACFGG 可得EGAFC 面 又EGAFC 面 所以AECAFC 面面 2 如图 以G为坐标原点 分别以GB和GC为 x 轴和 y 轴正方向 GB为单位长度 建立直角坐标系 因此可得 2 030 102 10 030 2 AEFC 所以 2 1 32 13 2 AECF 故可得 3 cos 3 AE CF AECF AE CF 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值是 3 3 19 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费 x 单位 千元 对年 销售量 y 单位 t 和年利润 z 单位 千元 的影响 对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1 i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 共 13 页 当前页是第 9 页 x y w 1 1x x1 x 2 1 1x w1 w 2 1 1x x1 x y y 1 1x w1 w y y 46 6 56 3 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中 w1 x1 w 1 8 1 1 1 x w 1 根据散点图判断 y a bx 与 y c dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立 y 关于 x 的回归方程 以知这种产品的年利率 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 根据 的结果回答下列问题 i 年宣传费 x 49 时 年销售量及年利润的预报值是多少 ii 年宣传费 x 为何值时 年利率的预报值最大 附 对于一组数据 u1 v1 u2 v2 un vn 其回归线 v u 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 解析 1 ycdx 适宜 由图像分析可知符合抛物线的方程 2 8 1 8 2 1 108 8 68 1 6 ii i i i ww yy d ww 56368 6 8100 6cydw 所以68100 6yx 3 0 213 620 1213 620 12zyxxxxx 共 13 页 当前页是第 10 页 由49x 可得49 13 6 720 1266 32z 2 13 620 12zxx 当6 8x 可得46 24x 时 年利率的预报值最大 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系 xoy 中 曲线 C y 2 4 x 与直线 y ks a a 0 交与 M N 两点 当 k 0 时 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程 y 轴上是否存在点 P 使得当 K 变动时 总有 OPM OPN 说明理由 解析 当0k 时 直线 l ya 则C 与l的交点为M N 它们的横坐标是2 a或2 a 不妨设 2 2 Ma a Na a 对 2 4 x y 求导可得 2 x y 所以M点切线的斜率为a N点切线的斜率为a 所以M点切线方程为 0yaxa N点切线方程为 30yaxa 设 01122 0 PyM x yN xy OPMOPN 则直线PM与直线PN的斜率互为相反数 也就是 MPPN kk 即 1020 12 yyyy xx 12 0 4 x x y 联立方程 2 4 x y ykxa 可得 2 440 xkxa 因此可得 1 2 4x xa 所以 0 ya 也就是P的坐标与k无关 所以存在点P在k变动时 使得OPMOPN 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 3 1 ln 4 xaxg xx 当 a 为何值时 x 轴为曲线 yf x 的切线 用min m n 表示 m n 中的最小值 设函数 min 0 h xf x g xx 讨论 h 共 13 页 当前页是第 11 页 x 零点的个数 解析 根据已知 2 3fxxa 若x轴为曲线的切线 设切点横坐标为t 则可得 0 0 ft f t 即 2 3 30 1 0 4 ta tat 解得 3 4 1 2 a t 所以当 3 4 a 时 x轴为曲线 yf x 的切线 当0a 时 2 30fxxa 于是 f x单调递增 而 1 0 4 f 于是 yf x 与 yg x 有唯一交点 且交点的横坐标 0 1 p 此时函数 h x的零点个数为 1 当 3 0 4 a 时 f x在 0 3 a 上递减 在 3 a 上递增 在 3 a x 处有极小值为 33 11 2 0 333483 aaaa fa 此时 yf x 与 yg x 在 0 1 内忧唯一交点 函数 h x的零点个数为 1 当 3 4 a 时 此时极小值为 0 函数 h x的零点个数为 2 当 53 44 a 时 此时的极小值小于 0 因此函数 h x的零点个数为 3 当 5 4 a 时 此时 yf x 与 yg x 相交于 1 0 函数 h x的零点个数为 2 当 5 4 a 时 此时 yf x 与 yg x 的交点的横坐标大于 1 此时函数 h x的零点个数为 1 综上可得 数 h x的零点个数为 53 1 44 53 2 44 53 3 44 aa aa a 或 或 请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做第一个题目计分 做答时 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是 O 的直径 AC 是 C 的 Q 切线 BC 交 O 于 E 共 13 页 当前页是第 12 页 I 若 D 为 AC 的中点 证明 DE 是O 的切线 II 若 OA CE 求 ACB 的大小 解析 1 连结AE 由已知可得AEBC ACAB 在tRAEC 中 因为D是AC中点 因此可得DEDC 故DECDCE 连结OE 则有OBEOEB 又90ACBABC 所以90DECOEB 故 90OED 所以DE是圆的切线 2 设1CE AEx 由已知得 2 2 3 12ABBEx 由射影定理可得 2 AECE BE 所以 22 12xx 解得3x 所以 60ACB 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系O 中 直线 1 C 2 圆 2 C 22 121 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 I 求 1 C 2 C的极