武汉科技大学_信号与系统习题精解第2章.pdf

28 第第 2 2 章章 时域连续信号的频域分析时域连续信号的频域分析 2 1 本章要点 信号具有时域特性和频域特性 本章讨论信号的频域特性 其目的一是掌握信号频域特 性的分析 二是为系统的频域分析方法作准备 从本章开始由时域转入变换域分析 频域分 析将时间变量变换成频率变量 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性 之间的密切关系 从而导出了信号的频谱 带宽以及滤波 调制和频分复用等重要概念 1 信号的正交分解 若n个函数 21 tgtgtg n 构成一个函数集 当这些函数在区间 21 tt内满足 2 10 0 t t i ji jik ji dttgtg 2 1 式中 i k为一常数 则称此函数集为在区间 21 tt上的正交函数集 在区间 21 tt内 相互正交的 n 个函数构成正交信号空间 当1 i k时 上述函数集就称为是归一化正交的 如果在正交函数集 21 tgtgtg n 之外 不存在任何函数 0 t满足 2 1 0 t t i dtttg 2 1 ni 2 2 则称此函数集为完备正交函数集 也就是说 如能找到一个函数 t 使得式 2 6 成立 即 t 与函数集 i g t的每一个函数都正交 那么它本身就应属于此函数集 显然不包含 t 的集是不完备的 设有n个函数 21 tgtgtg n 在区间 21 tt上构成一个正交函数集 将任一函数 tf用这n个正交函数的线性组合来近似 可以表示为 n i iinnii tgctgctgctgctgctf 1 2211 2 3 应选取系数 i c使得实际函数与近似函数之间误差在区间 21 tt内最小 这里 误差最 小 不是指平均误差最小 因为平均误差很小甚至等于零时 也可能出现较大的正误差与较 大的负误差在平均过程中相互抵消 以致不能正确反映两函数的近似程度 通常选择误差的 均方值最小 误差的均方值也称为均方误差 用符号 2 表示 2 1 22 1 21 1 n t jj t j f tc g tdt tt 2 4 29 可求得 22 11 22 11 2 i tt ii tt i tt ii tt f t g t dtf t g t dt c gt dtg t g t dt 2 5 2 周期信号的频谱分析 傅里叶级数 周期信号 f t 周期为T 基波角频率为 0 2 T 在满足狄里赫利条件时 可展 成 0 00 1 cossin 2 nn n a f tantbnt 2 6 称为三角形式的傅里叶级数 由正 余弦正交条件及式 2 5 可得三角函数型傅里叶系数 直流分量 Tt t ttf T a 0 0 d 2 0 2 7 余弦分量的幅度 0 0 0 2 cosd1 2 3 tT n t af tnt tn T 2 8 正弦分量的幅度 0 0 0 2 sind1 2 3 tT n t bf tnt tn T 2 9 利用欧拉公式 则得到傅里叶级数的复数形式 0 jnt n n f tF e 2 10 02 2 1 T jnt Tn Ff t edt T 2 11 三角函数型和指数型傅里叶系数之间的关系 22 11 22 arctan n j nn nnnn n n n FFe FAab b a 2 12 cos sin nnnnn nnnnn aAFF bAj FF 2 13 0 0 0 0 0 0 2 cosd1 2 3 2 sind1 2 3 tT n t tT n t af tnt tn T bf tnt tn T 2 14 30 000 FAa 2 15 以各谐波的振幅 n A或虚指数信号的幅度 n F 为纵坐标 画出的图形 称之为幅度 或振 幅 频谱 简称幅度谱 画出各谐波初角 n 与频率 或角频率 的线图 称之为相位频谱 如 果 n F是实的 则可以用 n F的正负来表示 n 为0或 这时将幅度谱和相位谱画在一个图上 3 非周期信号的频谱分析 傅里叶变换 1 2 jt jt F jf t edt f tF jed 2 16 前者是由信号的时间函数变换为频率函数 称为傅里叶正变换式 后者是由信号的频率函数 变换为时间函数 称为傅里叶反变换式 也可简记为 F j f t f t 1 F j 2 17 或 f tF j 2 18 非周期信号的傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在 这种条件类似于傅里叶级数 的狄里赫利条件 不同之处仅仅在于时间范围从一个周期扩展为无限区间 条件 即要求信 号f t 在无限区间内绝对可积 但这仅是充分条件 而不是必要条件 自从引入了广义函数 的概念以后 对于许多并不满足绝对可积条件的函数 如阶跃信号 符号函数及周期信号等 其傅里叶变换可以有确定的表示式 一般情况下 频谱函数是一个复函数 它可以写成 j F jF je 2 19 F j 亦称为幅度频谱 它是频率的函数 它代表信号中各频率分量的相对大小 而各频率分量的实际幅度是 2 F jd 它是一无穷小量 称为相位频谱 它也是 频率的函数 它代表有关频率分量的相位 非周期信号也和周期信号一样 可以分解为许多不同频率的正弦分量 所不同的是 由 于非周期信号的周期趋于无限大 基波频率就趋于无限小 因此组成信号的分量的频率包含 了从零到无穷大之间的一切频率 同时随着周期的无限增大 组成信号的分量的振幅 2 F jd 则无限减小 所以频谱不能直接用振幅作出 而必须用它的密度函数来作出 密度函数的模量 F j 对频率 作出的连续曲线代表信号的幅度频谱 密度函数的相角 31 对频率 作出的连续曲线则是信号的相位频谱 表 2 1 常见信号的傅里叶变换及其频谱图 序 号 信 号 名称 波形图 f tF j 频谱图 1 单 边 指 数 信号 f t t 0 1 00 0 t te tf t 0 1 F j j F j 0 1 0 2 2 2 偶 双 边 指 数 信 号 1 0 ft t t etf 22 2 F j F j 0 1 1 4 对 称 矩 形 脉 冲 信号 f t t 0 E 2 2 2 02 Et G t t 2 F jE Sa F j 0 2 4 2 4 0 2 4 2 4 32 5 符 号 函数 f t t 0 1 1 01 01 sgn t t t 1 Fj j F j 0 2 0 2 2 6 单 位 直 流 信号0 1 f t t 1 tf t 2 F j 0 2 F j 7 单 位 冲 激 信号 t t 0 1 0 0 1 tt t dt 1Fj F j 0 1 8 阶 跃 信号 u t t 0 1 11 sgn 22 u tt 1 F j j F j 0 1 0 2 2 33 9 余 弦 信号 f t t0 1 0 cosf tt 0 0 F j F j 0 1 0 正 弦 信号 f t t 0 1 0 sinf tt 0 0 F jj 0 F j 1 1 冲 激 串 信 号 Tt 0t 1 TT T n ttnT 0 0 n F j n F j 0 0 0 0 2 信号的特性可以在时域中用时间函数 f t完整地表示出来 也可以在频域中用频谱函 数 F j 完整地表示出来 而且两者之间有着密切的联系 即傅里叶正反变换已经给出了 信号的时域特性与频域特性之间的一般关系 但是 如果进一步研究一下傅里叶正反变换式 还可以得出两者之间的若干特定对应关系 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质 并说明 其应用 表2 2 傅里叶变换的基本性质 性质时域 tf频域 F j 定义1 2 jt f tF jed jt F jf t edt j F jF je R F jjX 线性 12 af tbf t 12 aF jbFj 34 奇偶性 f t是实函数 RR XX F j Fj f tft f tft 0X F jR R 0 F jjX f t是虚函数 RR XX F j Fj 对称性 F jt2 f 时移特 性 0 f tt 0 jt F je 频移特 性 0 jt f t e 0 F j 尺度变 换 f at1 F j aa 时域微 分 df t dt n n d f t dt jF j n jF j 时域积 分 t fd 0 F j F j 频域微 分 jtf t n jtf t dF j d n n d F j d 频域积 分 0 f t ftj t F jx dx 时域卷 积 12 f tf t 12 F jFj 频域卷 积 12 f t f t 12 1 2 F jFj 35 帕斯瓦 尔定理 2 f tdt 2 1 2 F jd 4 周期信号的傅里叶变换 设周期信号 f t的周期为 0 T 则角频率 00 0 2 2 f T 可以将 f t展开成指数形 式的傅里叶级数 0 jnt n n f tF e 2 20 将上式两边取傅里叶变换 可求出周期信号 f t的傅里叶变换 F j f t 0 2 n n Fn 2 21 其中 n F是 f t的傅里叶级数的系数 它等于 0 0 0 2 2 0 1 T jnt n T Ff t edt T 2 22 式 2 21 表明 周期信号 f t的傅里叶变换 F j 是由一系列的冲激信号所组成 这 些冲激位于信号的各次谐波频率处 00 0 2 每个冲激的强度等于 f t的指数形 式的傅里叶级数的系数 n F的2 倍 还可以推导出周期信号 f t的傅里叶变换 F j 与对应的单脉冲信号 0 f t 即周期 信号 f t在原点附近的 个主周期 的傅里叶变换 0 Fj 之间的关系 一般周期信号 f t 可以用周期单位冲激序列 T t 来表示 即 00 T n f tf tnTf tt 2 23 根据时域卷积定理可得 0 f tFj T t 得周期信号 f t的傅里叶变换 0 f tFj 00 n n 0000 n Fjnn 2 24 36 由此可见 将 0 f t波形进行以T为周期的周期延拓 等效于在频域对其进行 0 2 T 为周期的等距离冲激采样 5 时域采样定理 在许多实际问题中 常常需要将连续时间信号变成离散时间信号 这就要对信号进行采 样 或称取样 抽样 例如 对于测量温度 位移和速度等 些连续变化的量可以每隔一定 时间进行测量一次 取得这些连续时间信号在各离散时刻的一系列数据 离散信号可以通过对连续信号采样得到 从而可以用离散时间系统进行处理 但是 这 牵涉到两个问题 1 采样间隔T如何确定 2 原信号能否由样本点恢复 若能 如何恢复 要恢复原信号的必要条件是 采样信号频谱中两相邻的组成部分不能相互重叠 否则即 使使用了理想低通滤波器 也无法取出与原信号相同的频谱 因此 要使频谱中相邻组成部 分不相重叠 则必须满足如下条件 首先 原信号 f t的频谱 F j 的频带是有限的 即 原信号 f t频谱中存在最高频率分量 c 其次 采样频率 s至少等于最高频率 c的两倍 即 2 sc 2 25 或 2 sc ff 2 1 26 也就是说 要恢复原信号则最低采样频率 min 2 sc ff 一般将最低采样频率 mins f称为 奈奎斯特 Nyquist 采样频率 简称奈奎斯特采样率 其倒数 minmin 1 ss Tf称为奈奎斯特采 样间隔 若采样频率 s不满足 2 1 25 式时 即2 2 27 其中 0 csc 因为滤波器的输出频谱为 F j H j s Fj 由时域卷积定理知 s f tf th t 2 28 若取 2 sc 0c 则 sc n f tf nT Satn 2 29 上式说明 连续信号 f t可以展开成正交采样函数 Sa函数 的无穷级数 级数的系数 等于采样值 s f nT 也就是说 若在采样信号 s f t的每个样点处 画出一个峰值为 ss f nT 的Sa函数波形 那么其合成波就是原信号 f t 因此 只要已知各采样值 ss f nT就能惟 一地确定原信号 f t 2 2 精选例题 例 1 证明下面四个多项式在区间 1 1 内是正交函数集 1 2 2 3 3 42 4 31 22 53 22 35153 848 P tt P tt P ttt P txx 证明 11 3 12 11 31 0 22 P t P t dttt dt 11 42 13 11 53 0 22 P t P t dtttdt 11 53 14 11 35153 0 848 P t P t dtxxt dt 38 11 53 23 11 1573 0 424 P t P t dtttt dt 11 642 24 11 105125393 0 16161616 P t P t dttttdt 11 753 34 11 1752551059 0 16161616 P t P t dttttt dt 又因为函数集满足 11 2 11 11 2 3 P t P t dtt dt 11 42 22 11 9312 4245 P t P t dtttdt 11 642 33 11 251592 4247 P t P t dttttdt 11 8642 44 11 12255255554594225 1616161664288 P t P t dtttttdt 可知这四个多项式在区间 1 1 内是正交函数集 例 2 将例 2 图中的方波信号 f t展开为傅里叶级数 例 2 图 解 首先解出 2 0 02 0 2 00 0 12 0 0 2 000 002 2 cos d 21 1 cos 1 cos 2 211 sin sin 2 T T n T n T i T T af tntt T T nt dtnt dt Tn T ntnt T nn 39 又因为 0 2 T 可得 0 n a 0 2 00 0 2 2 1 sin sin 2 0 2 4 6 2 1cos 4 1 3 5 T T n T bntnt dt T n n n n n 则傅里叶级数的展开式为 000 411 sin sin 3 sin 1 3 5 3 f tttntn n 例 3 求出例 3 图周期函数的频谱 例 3 图 解 周期2T 0 2 T 则有 sin 221 02122 tktk f t ktk 由此可得 00 1 2 2 1 2 111 0 1 2 22 1 T jn jntjnt Tn e Ff t edtf t edtn Tn 可知周期信号的频谱是离散的 例 4 求下列信号的傅里叶变换 1 2 jt f tet 2 3 1 1 t f tet 解 1 已知 1t 40 由时频性质可得 2 2 j te 再由时频性质可得 f t的傅里叶变换 2 1 2 jtj ete 即 2 1 j F je 2 f t的傅里叶变换为 3 1 1 1 3 1 1 3 1 t f tettt tt 又 1t tj 最后可得 3 j F jje 例 5 根据傅里叶的对称性求出下列函数的傅里叶变换 1 sin 2 2 2 t f tt t 2 22 2 f tt t 2 由于 22 2 t e 可知 41 22 2 2e t 即 22 2 f tt t 1 0 1 2 cos t t t 5 4 2 2 t 解 1 sgn t 2 j sgn 32 t 3 2 2 j e j j sgn 32 t et 3 1 2 2 1 j e j 2 d d 1 2 tue t t j 2 1 t eu t 2 je 2 t eu t 2 2 j e j 3 u t 1 j 2 1 j t eut 2 1 2 2 j e j 2 1 t e ut 1 2 1 2 2 1 22 j tjtjt e e edte jj 4 cos 1 2 0 1 t t t 22 2 1 2cos 4cos 2 2 22 1 1 E E SaSa 5 因为 2 2 21 42 t e 对称性 2 2 4t 22 1 2 2 ee i 10 试分别利用下列几种方法证明 j 1 tu 1 利用符号函数 sgn 2 1 2 1 ttu 2 利用矩形脉冲取极限 3 利用积分定理 t tu d 4 利用单边指数函数取极限 0 lim 0 tetu at a 解 1 略 51 2 22 u tu t 2 Sa u tu t 2 2 j Sae 2 2 sin sin 2 2 cossin sin 2222 2 sin 2 1cossin cos 2 j j Saej jj j 2 sin 1cos lim limlim 2 sin 11 lim j Sae jj jj 3 略 4 000 11 limlimlimlim 1111 limlim cossin 1sincos1sin1 limlimlim t ajajt tata jt tt ttt F u teede ajaj etjt jjjj ttt jjjj 11 若 tf 的傅里叶变换为 2020 1 2 aa F jGG 如题11图所示 求 tf 并画图 题11图 解 2 1sin 22 a aat G at 00 2020 00 1sin 22 sin coscos jtjt aa aat GGee at aat Sa attt t F j 0 1 2 0 0 0 0 52 题11解图 12 已知信号 11 j f tFjRX 1 tf的波形如题12图 a 所示 若有信号 2 tf 的波形如题12图 b 所示 求 2 F j 题12图 a 题12图 b 解 21111 1 2 2 222 tt f tffFjFj 211 2 2 2 2 FjFjFjR 13 若已知 jFtf 确定下列信号的傅里叶变换 1 1 tf 2 1 1 tft 3 52 tf 解 1 1 j ftFje 2 1 1 1 1 t ftfttft 1 ft 1 tft j j d Fje Fjej d j dFj je d 3 5 2 1 25 22 j ftF je 14 已知三角脉冲 1 tf的傅里叶变换为 2 1 Sa 24 E F j 试用有关定理求 210 2 cos f tf tt 的傅里叶变换 2 Fj f t 0t 2 1 f t 0t 2 1 2 f t t a 53 解 2 f t 1 2 1 2 f t 0 cos t 22 00 1 Sa 224 j E e 00 2 2 22 00 SaSa 444 jj E ee 00 22222 00 SaSa 444 jjj E eee 15 若已知 f tF j 确定下列信号的傅里叶变换 1 2 ttf 2 2 tft 3 2 2 tft 4 dt tdf t 解 1 2 d tftj d 2 ft 1 2 22 dF j dj jF j dd 2 2 tf t tf t 2 f t 2 dF j jF d 3 2 2 tf t 2 tft 2 2 ft 2 22 dFj j Fj d 4 df tdddF j tjjF jF jF j dtddd 16 分别利用线性性质 时域积分性质和时域卷积定理求题 16 图所示梯形脉冲的傅里叶变 换 并大致画出 1 2 情况下该脉冲的频谱图 题16图 解 1 利用线性性质 1 1 2 222 E f ttu tu t 111 2 1 2 222 E f ttu tu t f t 0t E 1 2 1 2 2 2 54 12 f tf tf t 1 f t 2 f t 22 22 11 11 2 42 4 EE SaSa 11 2 1 8 sinsin 44 E 2 利用时域积分性质 令 1 f tf t 2 1 2 E f tftA 则 11 2 1 2 2222 E f ttttt 如题 16 解图 a 所示 11 1 2222 2 11 24 coscos 22 jjjj EE Fjeeee 11 2 1 8 sinsin 0 0 44 E F 211 11 1 8 sinsin 0 0 44 FjE F jF jj 111 2 1 8 sinsin 0 0 44 F jE F jF j 3 当 1 2 时 f t 22 111 1 2 224 E E SaSa 11 2 1 38 sinsin 44 E 图形如题 16 解图 b 所示 题 16 解图 a 题16解图 b 0 ft A 2 t 2 1 2 1 2 A F j 1 3 2 E 1 4 3 55 17 已知阶跃信号的傅里叶变换为 1 j u t 正弦 余弦函数的傅里叶变换为 000 cos t 000 sin j t 求单边正弦 0 sin t u t和单边余弦 0 c