（应用数学专业论文）有违约风险的多资产欧式期权定价.pdf

p r i c i n gd e f a u l tr i s k ym u l t i a s s e te u r o p e a n o p t i o n s 彳砌e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to f t h er e q u i r e m e n t f o rt h em sd e g r e ei na p p l i e dm a t h e m a t i c s b y h e f e i h u p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a iu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r h es u i a c a d e m i ct i t l e p r o f e s s o r s i g n a t u挑肛 a p p r o v e d a p r i l 2 0 1 1 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师指导下 独立进行研究工作 所取得的研究成果 除文中已经标明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集体 均已在 文中以明确方式标明 本声明的法律结果由本人承担 作者签名 茛 俨 日期 沙 j 年垆月猡日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学 学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许学位论文被查阅和借阅 学校可以公布学位论文的全部或部分内容 可以允许采用影印 缩印或其它复制手 段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后遵守此规定 保密论文注释 本学位论文属于保密 在 年解密后适用本授权书 非保密论文注释 本学位论文不属于保密范围 适用本授权书 储签名 砭萨勿 日期 历 j 年垆月即日 导师签名 帆沙眸 月 日 本人已经认真阅读 c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 同意将本人的 学位论文提交 c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布 并可按 章程 中的 规定享受相关权益 作者签名 日期 加 年 摘要 本文研究有违约风险的多资产欧式期权的定价问题 在这篇文章里 我们利用 对冲思想 建立有违约风险的多资产欧式期权的价格满足的微分方程 然后通过 解所得的微分方程 得出有违约风险的多资产欧式期权的价格的形式解 另外 我 们还具体研究了有违约风险的彩虹期权和一篮子期权定价问题 由于上述形式解计 算复杂 我们采用了将定解问题转化为一维问题的特殊方法 解出了有违约风险的 彩虹期权和一篮子期权的价格的具体表达式 关键词 对冲 违约风险 多资产欧式期权 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t et h ep r i c eo fd e f a u l tr i s k ym u l t i a s s e t e u r o p e a n o p t i o n s f i r s t w eu s ea h e d g et os e tu pt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h ed e f a u l tr i s k v m u l t i a s s e te u r o p e a no p t i o n s a n dt h e nw eu s et h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt o 2 e t t h ef o r m a ls o l u t i o nf o rd e f a u l tr i s k ym u l t i a s s e te u r o p e a no p t i o n s w ea l s om a k ea c o n c r e t ea n a l y s i so fd e f a u l tr i s k yr a i n b o wo p t i o n sa n db a s k e to p t i o n s b e c a u s et h ef o r m a l s o l u t i o nf o rt h e i rp r i c e si st o oc o m p l i c a t e b yu s i n gp a r t i c u l a rm e t h o d w r eg e tt 1 1 es p e c i f i c p r i c e so fd e f a u l tr i s k yr a i n b o wo p t i o n sa n db a s k e to p t i o n s k e y w o r d s 一h e d g e d e a f u l tr i k y m u l t i a s s e t 中文摘要 a b s t r a c t 引言 目录 第一章有违约风险的多资产欧式期权 1 1基本假设 3 1 2 模型的建立 3 1 3 模型的求解 5 第二章有违约风险的彩虹期权 2 1 择好期权 1 1 2 2 利差期权 1 2 2 3极大 极小 看涨期权 13 第三章有违约风险的一篮子期权 第四章总结与展望 参考文献 致谢 1 9 2 1 2 2 2 3 引言 作为金融衍生品的期权 它是对冲风险的重要工具 其赋予购买者一个未来的 权益 即未来某一时刻以一个确定的价格购买 出售 标的资产的权利 那么投资 者可以利用它 来对冲标的资产未来价格变化所带来的风险 对于期权的出售方及 购买方 最关心的就是期权价格为多少时才是合理的 这也就是所谓的期权定价问 题 1 9 7 3 年 eb l a c k 和m s c h o l e s 1 合作发表了他们的代表作 期权定价与公司负 债 在这篇经典性文章中 他们成功地给出了欧式期权的精确定价公式 这一公 式的运用 极大的促进了金融市场特别是期权市场的发展 之后大量的专家学者 在他们工作的基础上做了大量的研究 但是研究方向是旨在放宽b s 模型的假设条 件 我们知道eb l a c k 和m s c h o l e s 研究的是标准的欧式期权 即场内期权 这种 期权有严格的保证金制度 保证了期权的出售者到期时必须履行自己的义务 从而 保证期权没有违约的可能 随着金融市场的快速发展及对冲风险的需要 金融机构 或机构投资者之间 进行大量的场外期权交易 此类场外期权的交易 不存在像清 算公司那样的第三方担保 因此 大多数的场外期权 实际上都存在潜在的违约风 险 违约风险是债务人在债务到期时 无法或不想还本付息 而使债权人遭受损失 的风险 通常在交易对手企业经营状况或财务状况不佳甚至破产的情况下发生 对 于这种有违约风险的期权 它的定价问题和传统的期权定价存在着差异 近几十年 来 有违约风险的期权定价问题成为诸多专家学者研究的重点 如h u l l 和w h i t e 2 1 j a r r o w 和t u m b u l l 3 1 j o h n s o n 和s t u l z 4 1 k l e i n t 5 删等 我国学者王保合 李时银 7 f 8 1 付长青 张世斌 9 1 0 也研究了有违约风险的衍生品定价问题 对于违约问题的研究 目前主要有两种模型 结构化模型与约化模型 在结构 化模型中 直接假设对手公司 即期权卖方 资产价值的动态过程 当对手公司资 产价值不足以支付债务时 违约发生 而在约化模型中 不解释对手公司为什么违 约 而是通过外生给定违约率或违约强度来确定违约过程 本文沿用约化模型 研 究有违约风险的多资产欧式期权定价问题 我们假定违约过程是一个由强度为旯 常数 决定的外生p o s s i o n 过程 然后利用 对冲思想 建立有违约风险的多资 产欧式期权的价格满足的微分方程 再求解所得的微分方程 得出有违约风险的多 资产欧式期权的价格的形式解 由于形式解不具体 所以本文最后考虑具体的情况 并利用特殊方法解出有违约风险的彩虹期权和一篮子期权的价格的具体表达式 全文安排如下 第一章建立有违约风险的多资产欧式期权价格满足的微分方程 并求解 得到了有违约风险的多资产欧式期权价格的形式解 第二章和第三章分别 研究有违约风险的多资产欧式期权中的一种 有违约风险的彩虹期权 有违约风 险的一篮子期权 并利用特殊的方法得到了期权价格的具体表达式 第四章是全文 的总结 2 第一章有违约风险的多资产欧式期权 1 1 基本假设 假设l 假设市场上有n 个风险资产 用s 代表第i 个风险资产的价值 并且风 险资产价值s 服从几伺布朗运动 即 譬 以挑q 眺心 z 其中 仃 为常数 这里每一个d w i 为标准的b r o w n 运动 它们之间有一定的相 关性 即e 伽 o v a r d c o v 伽 a w p 魂o 假设2 可交易资本市场是完全的 且市场上不存在套利机会 假设3 约化模型 对手公司的违约过程看做由强度为a 常数 决定的外生 p o s s i o n 过程n 即p f 上服从 枞 刁一嘶 明 掣尼 峨 艇 n t 表示t 时刻发生违约的次数 销 i n f t l 嘶 1 f o 础 则时刻孝就是对手公司的违约时刻 由p o s s i o n 过程的性质n 2 1 可知在p r 功 上发生违约的概率为a d t 不发生违约的概率为 1 一 t d t 1 2 模型的建立 在约化模型中 我们采用对冲的思想考虑违约的影响 进而建立多资产欧式看 涨期权的价格所满足的微分方程 具体过程如下 构造投资组合n 1 份多资产欧式期权 份第i 种风险资产 3 适当选取 使得此投资组合在 坊 是无风险的 用v 表示期权t 时刻的价 值 s 表示第i 种风险资产t 时刻的的价值 则构造的投资组合t 时刻的总价值为 i i v 泓墨 i l 在 f 西 上当对手公司不发生违约时 其概率为卜肋 此投资组合在 p r 折 上价值的变化为 棚 d 肛芝a 幽一乏a 邑留功 其中g 为第i 种风险资产的红利率 有高维i t o 公式可知 肌学 箬榭三黼o 渺 搀咖 从而 c l h d v d s i 一 船q i d t 筹鹏 三喜辫嘴驴 释墨咖 z a i d s t z a i s q f l t g 描附三黼 s s j p o 础 謦岛眺一塾脚 一 g s f l n 一 s q f l t 当对手公司违约时 概率为2 d r 投资组合的价值变化为 扣 可一泓凼一 今 研衍 从而在p f 西 上投资组合n 的价值变化为 4 1 一蜷 筹刖 漤器嘴岛础 祥s v 泖塾肿 一塾q s 眺一厶 毋国 斗矿一厶如一瓠薯吼司 q 2 d 要使此投资组合是无风险的 则必有在 西 上投资组合n 的价值变化等于如下 的式子 抛 和一窆邸 k 1 2 2 t i 其中r 为无风险利率 令 1 2 1 1 2 2 式相等 即 1 一铆譬 甏彬主赫 s s j p o m 誊阶塾雕 一扛d 岛嘶一扛薯删 叫一矿一瓠凼一瓠s 研司 黜 和一瓠墨 i ii l i i 闰 r 取 婴 并忽略d t 的高阶无穷小 可得欧式看涨期权价值v 所满足的微分方程 d s 为 警 蒌喜爵嘴 岛 羔i 1 娑g f i 加 吨圳煳 假设多资产欧式期权到期日t 时刻的收益函数为p g s s 则对应的有违 约风险的多资产欧式期权定价的数学模型是求解问题 序三喜舞哪w 甏h 珊刊嘲亿2 3 l 咚 龟 巳 砷 币 1 2 4 1 3 模型的求解 由上节的分析我们知道 有违约风险的多资产欧式期权定价问题 可归结为求 解定解问题 1 2 3 1 2 4 为了求解定解问题 1 2 3 1 2 4 我们令 5 a 盯 仃f o j p l i j 1 2 珂 做变换x f i ns f i 1 2 刀 则方程 1 2 3 变为 百o v 三喜缸瓦b 2 v 豁鸭一警 鼍却圳蚓 m3 1 为方便记 t 一 我们引入记号彳 k l 丢 l 厂一9 2 一警 则方程 1 3 1 便可写成向量形式如下 叫玎一鲁 詈 秒矾m 7 v 卜 肛o v 工 a 叙l a o x 2 a o x 1 3 2 由于a 为实对称矩阵 由二次型的理论可知 存在正交矩阵b 即矩阵b 满足 b r b b b r 使得b a b r 人 阵a 的特征值 事实上 可取 b 一r 舌 一丁 色 一 色 岛 磊2 色 受2 己 邑2 其中丑 ii 1 2 刀为矩 磊月 三j 其中爵r l 2 川为对应于矩阵a 的特 征值 的特征向量 作如下变换 6 卜量1 br至1 则v 曰v 从而 v b v b7 1 v 代入方程 1 3 2 中可得 竺 三v b 7 a b v y b 云 7 v 矿一 a y o ot2 7 即詈 三喜a 筹 静舌筹七删 从而定解问题 1 2 3 1 2 4 转化为下述问题 i 詈 三i 善n 丑孑0 2 v 喜虿7 舌普七 五少 1 矿g z 乙 丁 尸g 而 p 屯 p 而 i 矿 为求解定解问题 1 3 3 1 3 4 我们首先求出方程 1 3 3 的基本解 解如下问题 l 百o v l 尹a0 2 v 喜万7 否娑o g i 七 a 沙 l 矿g z z 丁 万g 一三 z 一z z 一z 1 3 3 1 3 3 1 3 4 也就是求 1 3 3 1 3 5 其中万 z z z 一 为多维的d i r a c 函数 8 z z 2 z 疗 万 z 妙 z 2 万 z 刀 作函数代换v p 7 7 w 其中孑 竺 一艮南夕 r 叫 w 私r 训 里 a t 1 8 t 7 至1 均为待定的 则 a v 万 p 办肌 w p 卸 m 望 龙i 砚i 骞一彬w i e p r d 肌 朋 f i 署脚面e 州m 托云 肿叫詈 o z o z o z 代入 1 3 3 得到 百o w 互1 备 以虿0 2 w 主喜 丑q 手 7 幻詈一o 旯 夕一三云7 庙一吾7 矿呙形 1 3 6 这里我们取巧 一鱼o 1 2 刀 也就是 一i v l b 舌 同时取 r 丸 昙 7 a m 钉bb r 将孑 一人 b 若代入 可得 同时取 去刃 7 万 将万 一人 1 8 6 代入 可得 夕 r 允 三 b 云 r 人 1 从 1 b 一若7 b r 人 1 西 p r 一旯一三 西 7 1 厉 则可将 1 3 6 化为 警毛喜丑警 相应的终值条件 1 3 5 变为 w z l z 2 引丁 p7 石万g 一z 0 z 一z 0 z n z 撕 蚓 由热传导方程理论可知 定解问题 1 3 7 1 3 8 的解为 8 1 3 7 1 3 8 可南p 声e 坤 由变换v e r w 及 z l z 2 z n b x l x 2 x h 1 3 1 1 3 4 基本解记为r b t x o 则有 回到原函数v 及变量x 知 f 曰 x 一而 r 8 7 a x x o 如砜卜 i 篙唧i 一一叫砌矽砸蜀 又因为b r a 1 b b 一人 1 口一 r b7 a 1 曰 a 所以 帆引 南 呈篙e 制仁辅 一 辅 从而可得c a u c h y 问题 1 3 3 1 3 4 的解为 v x r 了 了 g j l p l 6 窖善 善 善一弦告 c 善一 再回到原来的变量s 1 s 2 s 玎 可得 1 2 3 1 2 4 的解为 唯 篙 隅掣e x 一稿卜卅 9 9 女里口 士二 口li 斗 岫暑 孚卜f 渊幺 z a 打j 1 3 9 式即为我们模型所得到的有违约风险的多资产欧式期权定价公式 但 是它仅仅是形式解 当风险资产个数 z 增多时 1 3 9 式中的多重积分问题仍然 是一个很难解决的问题 要真正解出显示表达式还要对不同的问题具体分析 找出 简化的方法 我们将在下面两章中考虑具体的情况 l o 第二章有违约风险的彩虹期权 常见的多资产欧式期权可以分为三大类 彩虹期权 一篮子期权 双币种期权 n 引 以下我们主要研究有违约风险的彩虹期权和一篮子期权的定价问题 对于有违 约风险的双币种期权 这里我们就不介绍了 先来看有违约风险的彩虹期权 彩虹是多色调的组合 彩虹期权的定价决定于多种原生资产价格的变化 按照 到期收益函数不同分为下面几个品种 2 1 择好期权 择好期权的持有人在到期日有权取得多个原生资产中的最佳回报 例如 有一投资人欲投资股票指数a 和股票指数b 但是他无法确定在未来到 底那种股票指数的回报更高些 为此他可以购买一张择好期权来确保在期权到期日 能取得两种股票指数的最佳回报 在到期日择好期权的收益可以分为两类 1 按照价格本身择优收益 即 期权到期收益 m a x 缸 s 丁 口2 s 丁 口 s 丁 其中s t 是第i 中风险资产在t t 时刻的价格 口 是保证各种风险资产价格 处于同一水平的比例因子 2 按照价格的增长率择优收益 即 期权到期收益 m a xp 丁 蓉 丁 雪 丁 j 其中s 丁 是第i 中风险资产在t t 时刻的价格增长率 即 蹦耻鼍铲 器一 因此 m a xp 丁 j 丁 雪 丁 m a x 缸 s r 口 s r 口疗s 丁 一1 这里口 2 而1 o 1 2 刀 对于多资产的欧式择好期权 通常把它的收益函数表示为 0 益 m a x s 1 r s 2 丁 鼠 丁 其中s 丁 可以是处于同于价格水平的第i 中风险资产的价格 也可以认为是 第i 种风险资产增长的比率 百分数 结合我们模型所述的违约风险 从而有违约风险的多资产欧式择好期权定价的 数学模型为 a 西 v 言善n 若n 静j 2 t f 一 喜筹 g j 旷 沙 v s l s 2 s r m a x s l s 2 s 由 1 3 9 可得违约风险的多资产欧式择好期权的定价公式为 吨班 南 百e a g r d 掣e x 一褊卜嘞 亿 这里口2 口l 口2 口h 峨礼鲁 卜旷譬 r f i 1 2 n 上式仅为有违约风险的多资产欧式择好期权价格的形式表达式 其中的多重积 分很难计算 下面的分析中我们将讨论它能否用另外的办法将其转化为一维问题加 以解决 2 2 利差期权 所谓的利差期权是指 按照两种不同原生资产或增长率的差异决定实施的合 约 例如 有一投资人持有风险资产a 头寸 但他担心未来风险资产a 可能比风险 资产b 有变现差的情况 它可以购买一张欧式利差期权来进行头寸保护 即若未来 期权到期时刻风险资产b 比风险资产a 有更佳表现 则按它们的差额进行补偿 利差期权到期收益为 1 2 收益 m a x s 口 r 一s 一 乃 o 其中s 一 r s 占叮 可以表示风险资产a b 处于同一水平的价格 也可以表示风 险资产a b 的增长率 结合我们的模型考虑的相应违约风险 则有违约风险的利差期权定价的数学模 型为 筹 虿1 备2 骺2 0 2 v 置2 0 1 1 小 一o a 少 v s i s2 r m a xg2 一s l 0 我们可以直接利用 1 3 9 式得出有违约风险的两资产风险资产欧式期权定价公式 为 瞻扣岛 蔷萨掣e x p 一篇卜 2 2 1 其中夏 芝 口 n 音 r q i 毫 7 t f z t 2 类似于择好期权 上式仅为有违约风险的利差期权价格的形式表达式 其中的 二重积分问题仍为一个棘手的问题 下面的分析中我们将讨论能否会用另外的办法 将其转化为一维问题加以解决 2 3 极大 极小 看涨期权 这里我们重点来说极大看涨期权 在极大看涨期权的合约中 提供了n 种可能 的选择 以敲定价格k 购买风险资产s 扛1 2 以 的权利 来保证期权有人在期 权到期日选择表现最佳的一种 使得实施的收益最大 从而对于极大看涨期权 期 权到期日的收益为 收益 m a x k s r 一k s 2 t k 2 9e o 鼠 丁 一k j 结合我们模型所述的违约风险 从而有违约j x l 险的极大看涨期权定价的数学模 型为 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s j 百a v 三羔l l 主j l 警o s iw 船嘻鸶 卅川 y g s s 丁 m a 球 s 一墨 岛一t 瓯一毛 由q 3 可得毫尊约风险的极大看涨期权的定价公式为 瞻惦骗 i 百e t a x r 亿3 这里 口2 一丁c l i ip 叫i 1 2 n 同样道理 上式仅为有违约风险的极大看涨期权价格的形式表达式 其中的多 重积分问题仍为一个棘手的问题 下面的分析中我们将讨论能否用另外的办法将其 转化为一维问题加以解决 这里我们给出结论 涉及两个风险资产的有违约风险的利差期权和择好期权可 以化为一维问题 我们从涉及两个风险资产的有违约风险的利差期权开始 事实上两个风险资产 的有违约风险的利差期权定价的模型为 詈 1 2 口l 膏筹 而屯最 嗽2 毒 p 一吼h 詈 一吼k 鸶一 五矿 2 3 2 v s z 是 t m a x s 2 一焉 o 2 3 3 我们作 就 纠 必 s 2 a v乩a 芒a l l 二s 8 s ia 芎a s i i a 鼍 1 4 s 一玑 n l 口 1 0 hr j 2 函锄 巩 一屯 屯 i i 乒 丝街 换 i i 变 形一良 陂 竺西 一f 旷 则 芸一妻妻蛾t 却皤t h 妻 一 l i 二 l i 二 一二 a s 2 8 s 2 二ji j a i 0 2 v0 2 1 a 2 v a 2 s 1亏a 2 砰 矿一8 2 一a 1 a 2 一万i i 矿 豢 一妻 一 毒 善虿0 2 uc i s l 豢 将其代入 2 3 2 在变换孝 量 2 3 3 变为如下的式子 孝 丁 v s l s 2 丁 1 一孝 善 f 兰尘趔下相应的终值条件 s 2 j 裂k 嘲 慨k 2 睾 9 2 咱 毒如办一o 2 3 4 如 刁 1 一孝 2 3 5 链以2 雾肛鸟 毒也 甜皓 砷 k 一善 中取仃2 口l l 2 a 1 2 口2 2 r 旯 q 2 q 旯 q l k 1 我们知道 标准欧式看跌期权定价模型的解可由b l a c k s c h o l e s 公式给出 形式如 下 甜 孝 f k e r r 一 一d 2 一乒一g r 一 n d 1 其中 d l d d 一 歹j i 两 从而可得 2 3 4 2 3 5 的解为 孝 f p 一 a x h 一攻 一髟一 名怕 一4 其中 4 t n 告 昵一绣 竺学 丁一f a t l 弛2 o h 2 叮一z 带回原变量g s 2 f 在变换善 s s 2 l 解问题 2 3 2 2 3 3 的解为 以孝 f 兰鱼尘艘的逆变换下 得到定 屯 v s l s 2 f s 2 e 一 a 9 2 x n d 2 8 1 e 一 a g l 肌 一d l 其中 i n 墨 i9 2 a l l 2 a q 2 a 2 2l r 0 d l f t l 吴亍 a n 2 a q 2 a 2 2 t t 4 a l l 2 a i 2 a 2 2 丁一f 1 上式即为涉及两个风险资产的有违约风险的利差期权定价公式的准确形式 我 们避免了 1 3 9 中棘手的二重积分的计算 而是通过变换将其转化为一维形式得 到其准确的表达式 对于涉及两个风险资产的有违约风险的择好期权 其定价的数学模型为 詈 三 口衍砰o v 叩 雨o v 屺 筹 咱h 警 嘞b 鬈一p a 沙 2 3 6 咚 s 丁 m 一 2 3 7 我们做同样的变换孝 s s l 2 甜 亭 件 2 3 7 变为 1 6 在此变换下 相应的终值条 甜 孝 丁 堡芷也 m a 1 孝 善 s 2 从而定解问题 2 3 6 2 3 7 在上述变换下变成 j 百o u 互1 口2 2 k 2 等 也 9 1 妻如吼细 2 3 8 7 1 一o 孝 2 3 9 根据微分方程的叠加原理 定解问题 2 3 8 2 3 9 的解可以看做以下两个 定解问题 谚雾 鲕 争协 雕 堵雾 恢 7 i 如刁 孝 一鲕 妻一p 仍知 的解之和 通过上面对有违约风险的利差期权的分析 我们知到定解问题 的解已经得到 即 甜 孝 f e a q x t t 一d 2 一每e 2 q l x t t 一d l 其中 l i l 孝 碣 吼一绕 a l l 2 以1 2 a 2 2 2i t f l 弘2 呦 仃 t 而对于定解问题 易知其解为 善 f 孝p 一 叮 a 7 一 从而定解问题 2 3 8 2 3 9 的解为 考 f e 1 q 2 x r t n 一d 2 一乒一 a g l x r f 一d l 乒一 q t 2 x 7 一1 其中 1 7 2 奠u 咱 o h 力 一2 专 觑一a 厶 磷 h 善 一鲕lql 2q2 a22 l t2 一f 带回殿量 f 在变换告 要 蟛泐 半的黻炸删定 解问题 2 3 6 2 3 7 的解为 其中 y s l s 2 矿 s 2 p 五 日 x7 一d 2 一粤p a q x r 叫 一d l 粤p q a 耵叫 s 文 磷 s 2 e 一 五 色 叫 一畋 一s l e 一 a 们x 7 叫 1 n d 1 上式即为涉及两个风险资产的有违约风险的择好期权定价公式的准确表达式 1 8 第三章有违约风险的一篮子期权 这里我们考虑一种特殊的一篮子期权 假设期权在到期日收益为刀种原生资产 价格的几何平均 即收益函数为 为 口 1 q 0 t l 结合我们模型所述的违约风险 得到有违约风险的一篮子期权定价的数学模型 锃喜器q 嘴岛 筹h 妒 嘲 卜 聃睁 喁一可 作变换x i ns i 1 2 聆 上述方程变为 百o v 三喜挚丽o v 豁 一号辟 缈 其中口 盯f 仃 p i j 1 2 相应的终值条件变为 一后 e x p 喜口 z 一七 从而问题转化为求解问题 再令 1 9 中其 七一 嘶 毛 兀商 rs s 西 矿 口 s 疗兀斟 象0 彦删 参一 f j l州j 1 器噼列 荔护 硎 阔 一 一2 巧 x 1 j 裂 慨矗 a ya v a 2 va 2 v 酉川7 面 一i g x 廖j 钳一虿 从而问题进一步转化为求解定解问题 j 百c 3 v 毛鬃懈 簇a g r q 岔 i 砂一o 瞻力 眵一矿 令孑2 喜喜 口 口 r a 石 a 一号1 2 喜口 g 导 则上式变为 肛孑警 卜臻制 瞻刁 p 一矿 从而由标准的欧式看涨期权的b s 公式 得到矿 孝 f 的表达式 回到原变数 s l s 2 s 玎 f 从而有v s l s 2 矿 兀 饵 1 1 e 嘣 砸 1 其中 址一豇磊一而 o 4 r t 玉喜缸叩 尺 川而允一号m 2 嘻七 譬 2 0 第四章总结与展望 这篇论文在约化模型中 采用对冲的思想考虑违约的影响 进而建立欧式看涨 期权价格所满足的微分方程 然后求解所得的微分方程 得到了有违约风险的多资 产欧式期权价格的形式解 由于形式解不具体 所以我们又分别研究了多资产期权 中的两种 有违约风险的彩虹期权和一篮子期权的定价问题 用特殊的方法得到其 价格的具体表达式 多资产期权中还有一种是双币种期权 如果考虑相应的违约风险 去建立期权 价格满足的微分方程会有点复杂 我们也可以进一步研究有违约风险的多资产美式 期权 2 l 参考文献 1 b l a c k e a n ds c h o l e s m t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p r a t el i a b i l i t i e s j j o u r n a l p o l i t i e se c o n o m y 1 9 7 3 8 1 3 6 3 7 6 5 9 2 h u l l j m a n dw h i t e a t h ei m p a c to fd e f a u l tr i s ko nt h ep r i c e so fo p t i o n sa n d o t h e rd e r i v a t i v es e c u r i t i e s j j o u r n a lo fb a n k i n g f i n a n c e19 9 5 19 2 2 9 9 3 2 3 3 j a r r o w r a a n dt u m b u l l s m p r i c i gd e r i v a t i v e so nf i n a n c i a ls e c u r i t i e ss u b j e c tt o c r e d i tr i s k j j o u r n a lo f f i n a n c e 1 9 9 5 4 0 1 5 3 8 5 4 j o h n s o n h a n ds m l z r t h ep r i c i n go fo p t i o n su n d e rd e f a u l tr i s k j j o u r n a lo f f i n a n c e 19 8 7 4 2 2 2 6 7 2 8 0 5 k l e i n p p r i c i n gb l a c k s c h o l