高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直课件 新人教B版必修2.ppt

第一章 立体几何初步 学习目标 1 了解直线与平面垂直的概念 2 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理 3 掌握一些求点到平面距离的常用方法 1 2 3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 生活中处处都有直线和平面垂直的例子 如旗杆和地面 路灯与地面等等 在判断线面平行时我们有判定定理 那么判断线面垂直又有什么好办法呢 预习导引 1 直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或相交于一点 并且交角为 则称这两条直线互相垂直 2 直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点o 并且和这个平面内过交点 o 的直线都垂直 我们就说这条直线和这个 经过平移后 直角 任何 平面互相 这条直线叫做 这个平面叫做 交点叫做 垂线上任意一点到垂足间的线段 叫做这个点到这个平面的 垂线段的长度叫做这个点到平面的 垂直 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂线段 距离 3 直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面 那么它就和平面内的 一条直线 4 直线与平面垂直的判定定理及其推论定理 如果一条直线与平面内的直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 任意 垂直 两条相交 推论1 如果在两条中 有一条垂直于平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 推论2 如果两条直线 那么这两条直线平行 平行直线 垂直于同一个平面 要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中 正确的序号是 若直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 若直线l不垂直于平面 则 内没有与l垂直的直线 若直线l不垂直于平面 则 内也可以有无数条直线与l垂直 若平面 内有一条直线与直线l不垂直 则直线l与平面 不垂直 解析当l与 内的一条直线垂直时 不能保证l与平面 垂直 所以 不正确 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条平行直线垂直 所以 不正确 正确 根据线面垂直的定义 若l 则l与 的所有直线都垂直 所以 正确 答案 规律方法1 直线和平面垂直的定义是描述性定义 对直线的任意性要注意理解 实际上 任何一条 与 所有 表达相同的含义 当直线与平面垂直时 该直线就垂直于这个平面内的任何直线 由此可知 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直 那么这条直线就一定不与这个平面垂直 2 由定义可得线面垂直 线线垂直 即若a b 则a b 跟踪演练1设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 a 若l m m l b 若l l m 则m c 若l m 则l md 若l m 则l m解析对于a 直线l m m并不代表平面 内任意一条直线 所以不能判定线面垂直 对于b 因l 则l垂直 内任意一条直线 又l m 由异面直线所成角的定义知 m与平面 内任意一条直线所成的角都是90 即m 故b正确 对于c 也有可能是l m异面 对于d l m还可能相交或异面 答案b 要点二线面垂直的判定例2如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ab ac 1 aa1 2 b1a1c1 90 d为bb1的中点 求证 ad 平面a1dc1 证明 aa1 底面abc 平面a1b1c1 平面abc aa1 平面a1b1c1 显然a1c1 平面a1b1c1 a1c1 aa1 又 b1a1c1 90 a1c1 a1b1而a1b1 aa1 a1 a1c1 平面aa1b1b ad 平面aa1b1b a1c1 ad a1d ad a1c1 a1d a1 ad 平面a1dc1 规律方法证线面垂直的方法 1 线线垂直证明线面垂直 定义法 不常用 但由线面垂直可得出线线垂直 判定定理最常用 要着力寻找平面内哪两条相交直线 有时作辅助线 结合平面图形的性质 如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等 及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 2 平行转化法 利用推论 a b a b a a 跟踪演练2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱ab bc的中点 o是底面abcd的中心 求证 ef 平面bb1o 证明 abcd为正方形 ac bo 又 bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又 bo bb1 b ac 平面bb1o 又ef是 abc的中位线 ef ac ef 平面bb1o 要点三直线与平面垂直的性质及应用例3如图 正方体a1b1c1d1 abcd中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 证明如图所示 连接ab1 b1d1 b1c bd dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd dd1 bd d ac 平面bdd1b1 又bd1 平面bdd1b1 ac bd1 同理可证bd1 b1c bd1 平面ab1c ef a1d a1d b1c ef b1c 又 ef ac ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 规律方法证明线线平行常有如下方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用三线平行公理 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 跟踪演练3如图 已知平面 平面 l ea 垂足为a eb 垂足为b 直线a a ab 求证 a l 证明因为ea l 即l 所以l ea 同理l eb 又ea eb e 所以l 平面eab 因为eb a 所以eb a 又a ab eb ab b 所以a 平面eab 因此 a l 1 一条直线和三角形的两边同时垂直 则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 a 平行b 垂直c 相交不垂直d 不确定解析由题意可知 该直线垂直于三角形所确定的平面 故这条直线和三角形的第三边也垂直 1 2 3 4 5 b 2 如图所示 如果mc 菱形abcd所在平面 那么ma与bd的位置关系是 a 平行b 垂直相交c 垂直但不相交d 相交但不垂直 1 2 3 4 5 解析连接ac 因为abcd是菱形 所以bd ac 又mc 平面abcd 则bd mc 因为ac mc c 所以bd 平面amc 1 2 3 4 5 又ma 平面amc 所以ma bd 显然直线ma与直线bd不共面 因此直线ma与bd的位置关系是垂直但不相交 答案c 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 下列表述正确的个数为 若直线a 平面 直线a b 则b 若直线a 平面 b 且a b 则a 若直线a平行于平面 内的两条直线 则a 若直线a垂直于平面 内的两条直线 则a a 0b 1c 2d 3 1 2 3 4 5 解析 中b与 还可能平行 斜交或b在平面 内 中a与 还可能平行或斜交 中a还可能在平面 内 由直线与平面垂直的判定定理知 错 答案a 4 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 a b c d 1 2 3 4 5 解析由线面垂直的判定定理知 直线垂直于 图形所在的平面 对于 图形中的两边不一定是相交直线 所以该直线与它们所在的平面不一定垂直 答案a 1 2 3 4 5 5 若a b表示直线 表示平面 下列命题中正确的有 个 a b a b a a b b a a b b a b a b 解析由线面垂直的性质定理知 正确 1 2 3