江西省宜市樟树中学、高安二中联考高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1i是虚数单位，则复数的虚部是（）a1b1cd2已知集合m=x|log2x3，n=x|x=2n+1，nn，则mn=（）a（0，8）b3，5，7c0，1，3，5，7d1，3，5，73已知条件p：x1，q：，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4已知命题p：若xn*，则xz命题q：x0r，则下列命题为真命题的是（）apbpqcpqdpq5若，则a等于（）a1b1c2d46用反证法证明命题“若a+b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）aa、b、c三个实数中最多有一个不大于零ba、b、c三个实数中最多有两个小于零ca、b、c三个实数中至少有两个小于零da、b、c三个实数中至少有一个不大于零7已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）ab（1，+）c（1，2）d8已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m（2，y0）若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|=（）abc4d9对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）a25b250c55d13310已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程是x2y+1=0，若g（x）=则g（1）=（）abcd211三棱锥abcd中，ab=ac=ad=2，bad=90，bac=60，则等于（）a2b2c2d212已知函数f（x）=（br）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数 b的取值范围是（）a（，）b（，）c（，3）d（，）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，成等比数列14由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是15已知=（cos，1，sin），=（sin，1，cos），则向量+与的夹角是16设双曲线（a0，b0）的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b，线段bf与双曲线的一条渐近线交于点a，若，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=x2+alnx（）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（）若g（x）=f（x）+在，使得f（x）+xf（x）0，则实数 b的取值范围是（）a（，）b（，）c（，3）d（，）【考点】导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围【解答】解：f（x）=f（x）=，x0，f（x）=，f（x）+xf（x）=，存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，1+2x（xb）0bx+，设g（x）=x+，bg（x）max，g（x）=1=，当g（x）=0时，解的x=，当g（x）0时，即x2时，函数单调递增，当g（x）0时，即x2时，函数单调递减，当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=b，故选：b【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，成等比数列【考点】类比推理【专题】计算题【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列【解答】解：由于等差数列的定义是后一项减去前一项而等比数列的定义是后一项除以前一项在运算上升了一级故将差类比成比：则t4，成等比数列故答案为【点评】本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）14由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是【考点】定积分在求面积中的应用【专题】计算题【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2=x 所围成的图形的面积【解答】解：先将y2=x化成：，联立的：因为x0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积s=01（x2）dx=x3|01=故答案为：【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分15已知=（cos，1，sin），=（sin，1，cos），则向量+与的夹角是90【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】空间向量及应用【分析】由题意可得向量的模长相等，进而可得（+）（）=0，可得结论【解答】解： =（cos，1，sin），=（sin，1，cos），|=|=，（+）（）=0+与垂直，向量+与的夹角为：90故答案为：90【点评】本题考查向量的数量积与夹角，涉及向量的模长公式，属基础题16设双曲线（a0，b0）的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b，线段bf与双曲线的一条渐近线交于点a，若，则双曲线的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由，得，从而求出a点坐标，再由点a在渐近线y=上，能求出双曲线的离心率【解答】解：设点f（c，0），b（0，b），由，得=2（），a（，），点a在渐近线y=上，则，解得e=故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共70分）17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又pq为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由p是q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围【解答】解：（1）当a=1时，p：x|1x3，q：x|2x3，又pq为真，所以p真且q真，由得2x3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：x|ax3a（a0），q：x|2x3，所以解得1a2，所以实数a的取值范围是（1，2【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导18已知函数f（x）=x2+alnx（）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（）若g（x）=f（x）+在1，+）上是单调函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系【专题】综合题【分析】（）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（）由题意得g（x）=2x+，分函数g（x）为1，+）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围【解答】解：（）求导函数可得=（x0）令f（x）0，则1x0或x1，x0，x1；令f（x）0，则x1或0x1，x0，0x1；函数的单调递增区间是（1，+），单调递减区间是（0，1）（）由题意得g（x）=2x+，若函数g（x）为1，+）上的单调增函数，则2x+0在1，+）上恒成立，即a2x2 在1，+）上恒成立，设（x）=2x2，（x）在1，+）上单调递减，（x）（1）=0，a0若函数g（x）为1，+）上的单调减函数，则 g（x）0在1，+）上恒成立，不可能实数a的取值范围0，+）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键19数列an满足sn=2nan（nn*）（）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（）用数学归纳法证明（）中的猜想【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理【专题】计算题；证明题；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（）直接利用数学归纳法证明检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明【解答】（本小题满分8分）解：（）当n=1时，a1=s1=2a1，所以a1=1当n=2时，a1+a2=s2=22a2，所以同理：，由此猜想（）证明：当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立假设n=k（k1且kn*）时，结论成立，即，那么n=k+1时，ak+1=sk+1sk=2（k+1）ak+12k+ak=2+akak+1，所以2ak+1=2+ak，所以，这表明n=k+1时，结论成立由知对一切nn*猜想成立【点评】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键20如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，ab=ac=2，aa1=4，点d是bc的中点（）求证：a1b平面adc1；（）求平面adc1与aba1所成二面角的平面角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）连接a1c，交c1a于e，证明：dea1b，即可证明a1b平面adc1；（）建立空间直角坐标系，求出平面aba1的一个法向量、平面adc1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面adc1与aba1所成二面角的平面角的正弦值【解答】（）证明：连接a1c，交c1a于e，则e为a1c的中点，又点d是bc的中点，所以dea1b，又de平面adc1，a1b平面adc1，故a1b平面adc1 （）解：如图建立空间直角坐标系axyz，则a（0，0，0），c（0，2，0），d（1，1，0），c1（0，2，4），=（0，2，0）是平面aba1的一个法向量，设平面adc1的法向量=（x，y，z）=（1，1，0），=（0，2，4），取z=1，得y=2，x=2平面adc1的法向量=（2，2，1），平面adc1与aba1所成的二面角为，|cos|=|=从而sin=，即平面adc1与aba1所成二面角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行，考查平面adc1与aba1所成二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21已知椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，短轴长为，过右焦点f的直线l与c相交于a，b两点o为坐标原点（1）求椭圆c的方程；（2）若点p在椭圆c上，且=+，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得b=，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2）（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断【解答】解：（1）由2b=2得b=，即有=，a2c2=2，所以，则椭圆方程为；（2）椭圆c的方程为2x2+3y2=6设a（x1，y1），b（x2，y2）（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x1）c上的点p使=+成立的充要条件是p点坐标为（x1+x2，y1+y2），且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，又a、b在椭圆c上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，故2x1x2+3y1y2+3=0将y=k（x1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x26k2x+3k26=0，于是x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x11）（x21）=代入解得k2=2，因此，当k=时，l的方程为x+y=0；当k=时，l的方程为xy=0（）当l垂直于x轴时，由+=（2，0）知，c上不存在点p使=+成立综上，l的方程为xy=0【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程的求法，注意运用分类讨论的思想方法和直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题22已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2其中xr（）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；（）若f（x）g（x）1对任意x0恒成立，求实数a的值；（）当a0时，对于函数h（x）=f（x）g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点a、b连线的斜率为kab，若|kab|1，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（）令h（x）=f（x）g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；（）|h（x1）h（x2）|x1x2|等价于h（x1）h（x2）x2x1，即h（x1）+x1h（