江苏省无锡市八年级数学下册《锐角三角函数（1）》学案 新人教版.doc

锐角三角函数（1）本章概述锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握 本章学习重难点【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin a，cos a，tan a)，知道30，45，60角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题 【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题 【学习本章应注意的问题】 在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力中考透视这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占37分知识网络结构图直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义 【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主 例1 如图28123所示，在rtabc中，acb90，bc1，ab2，则下列结论正确的是 ( ) asin a btan a ccosb dtan b 分析 sina，tan a，cos b故选d. 例2 在abc中，c90，cosa,则tan a等于 ( ) a b c d 分析 在rtabc中，设ac3k，ab5k，则bc4k，由定义可知tan a故选d. 专题2 特殊角的三角函数值 【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值 例3 计算|3|2cos 45(1)0 分析 cos 45 解：原式3212 例4 计算(1)2007cos 60 分析 cos 60 解：原式3(1)312 例5 计算|(cos 60tan 30)0 分析 cos 60，tan 30，cos 60tan 300，(cos 60tan 30)01， 解：原式1十231 例6 计算(3.14)0|1tan 60|. 分析 tan 60. 解：原式811210.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力. 例7 如图28124所示，在abc中，ad是bc边上的高，e为ac边的中点，bc14，ad12，sin b (1)求线段dc的长； (2)求tanedc的值. 分析 在rtabd中，由sinb，可求得bd，从而求得cd由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得deacec，则edcc，所以求tanedc可以转化为求tan c. 解：(1)ad是bc边上的高，adbc 在rtabd中，sin b ad12，sin b，ab15， bd9 bc14，cd5 (2)在rtadc中，aeec，deacec， edcc tan c,tanedctan c 例8 如图28125所示，在abc中，ad是bc边上的高，tan bcosdac. (1)求证acbd； (2)若sin c，bc12，求ad的长 分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得acbd(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得ad的长 证明：(1)ad是bc边上的高，adbc， adb90，adc90 在rtabd和rtadc中， tan b，cosdac，tan bcosdac， ，acbd.解：(2)在rtadc中，sin c，设ad12k，ac13k， cd5k bcbdcd，acbd， bc13k5k18k 由已知bc12，18k12，k， ad12k128 专题4 用锐角三角函数解决实际问题 【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法 例9 如图28129所示，一条小船从港口a出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达b处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达c处，则此时小船距港口a多少海里?(结果保留整数，提示：sin 400.6428，cos 400.7660，tan 4008391，1.732) 分析 此题可作cdap构造直角三角形求ac，而cd，ad的长可转移到其他三角形中解决，可作bead，cfbe，cf，bf在rtbcf中可求，进而求解 解：如图28130所示，过点b作beap，垂足为点e，过点c分别作cdap，cfbe，垂足分别为点d，f，则四边形cdef为矩形， cdef，decf qbc30，cbf60 ab20，bad40， aeabcos 40200.766015.3， beabsin 40200.642812.85612.9 又bc10，cbf60 cfbcsin 601058.7， bfbccos 60100.55， cdefbebf12.957.9 decf8.7，addeae8.715.324.0， 由勾股定理得ac25， 即此时小船距港口a约25海里 【解题策略】 正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键例10 如图28133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从a处运往正东方向的m处，在点a处测得某岛c在它的北偏东60方向上，该货船航行30分钟后到达b处，此时再测得该岛在它的北偏东30方向上；已知在c岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由 分析 本题可作cdam于点d，在rtbcd中求出cd即可 解：过点c作cdam，垂足为点d， 由题意得cbd60，cab30, acb30，cabacb， bcab2412(海里) 在rtbcd中，cdbcsin 606(海里) 69，货船继续向正东方向航行无触礁危险 【解题策略】 此题实际上是通过c(半径为9海里)与直线am相离判断出无触礁危险. 例11 如图28134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌cd，甲、乙两人分别在相距8米的a，b两处测得d点和c点的仰角分别为45和60，且a，b，f三点在一条直线上，若be15米，求这块广告牌的高度(1.73，结果保留整数) 分析 由于cdcede，所以可分别在rtaed和rtbec中求de，ce的长，从而得出结论 解：ab8，be15，ae23 在rtaed中，dae45，deae23 在rtbec中，cbe60，cebetan 6015， cdcede15233， 即这块广告牌的高度约为3米真题演练1. （2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形abcd中，e、f分別是ab、ad的中点，若ef=2，bc=5，cd=3，则tanc等于（） a b c d解：连接bde、f分別是ab、ad的中点 bd=2ef=4bc=5，cd=3bcd是直角三角形tanc= 2. （2011江苏镇江常州，6，2分）如图，在rtabc中，acb=90，cdab，垂足为d若ac=，bc=2，则sinacd的值为（）ab cd解答：在直角abc中，根据勾股定理可得：ab=3b+bcd=90，acd+bcd=90，b=acdsinacd=sinb=，3. （2011陕西，5，3分）在abc中，若三边bc、ca、ab满足 bccaab=51213，则cosb=（ ）a b c d解：根据三角函数性质 cosb=，4. （2011贵港）如图所示，在abc中，c=90，ad是bc边上的中线，bd=4，ad=2，则tancad的值是（）a、2b、 c、d、解：ad是bc边上的中线，bd=4，cd=bd=4，在rtacd中，ac=2，tancad=25.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，a、b、c三点在正方形网格线的交点处，若将acb绕着点a逆时针旋转得到acb，则tanb的值为（ ）abccbabcd解：过c点作cdab，垂足为d根据旋转性质可知，b=b在rtbcd中，tanb= cd：bd= ，tanb=tanb= 6 （2011甘肃兰州，8，4分）点m（sin60，cos60）关于x轴对称的点的坐标是（ ）a（，）b（，）c（，） d（，）解：sin60= ，cos60= ，点m（，）点p（m，n）关于x轴对称点的坐标p（m，-n），m关于x轴的对称点的坐标是（，）7.（2011广西来宾，6，3分）在rtabc中，c=90，ab=5，bc=3，则a的余弦值是a. b. c. d.解：在rtabc中，c=90，ab=5，bc=3，ac=4，cosa=8 （2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形abcd中，点e在ab边上，沿ce折叠矩形abcd，使点b落在ad边上的点f处，若ab=4，bc=5，则tanafe的值为（ ）a b c d解：四边形abcd是矩形，a=b=d=90，cd=ab=4，ad=bc=5，由题意得：efc=b=90，cf=bc=5，afe+dfc=90，dfc+fcd=90，dcf=afe，在rtdcf中，cf=5，cd=4，df=3，tanafe=tandcf= = 9. （2011四川遂宁，8，4分）计算2sin30sin245+cot60的结果是（）a、+3b、+ c、+d、1+解：2sin30sin245+cot60=2（）2+（）2+=1+=+10. （2011四川雅安，11,3分）已知abc的外接圆o的半径为3，ac=4，则sinb=（）a.b. c.d.解：连接ao并延长交圆于e，连ceace=90（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ace中，ac=4，ae=6，sine=；又b=e（同弧所对的的圆周角相等），sinb=故选d11. （2011内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示，ac为o的直径且paac，bc是o的一条弦，直线pb交直线ac于点d，（1）求证：直线pb是o的切线；（2）求cosbca的值（1）证明：连接ob、op，如图，且d=d，bdcpdo，dbc=dpo，bcop，bco=poa，cbo=bop而ob=oc ocb=cbo bop=poa又ob=oa，op=op bopaop pbo=pao又paac pbo=90 直线pb是o的切线；（2）由（1）知bco=poa，设pb=a，则bd=2a又pa=pb=a ad=a，又bcop dc=2co， dc=ca= 2a=a，oa=a， op= ，cosbca=cospoa= 12. （2011莱芜）若a=3tan60，则= 。解：a=3tan60=3，原式=13. （2011黑龙江省哈尔滨,19，3分）已知：正方形abcd的边长为2，点p是直线cd上一点，若dp=1，则tanbpc的值是 （1）bc=2，dp=1，c=90，tanbpc=2；（2）dp=1，dc=2，pc=3，又bc=2，c=90，tanbpc=故答案为：2或14. （2011甘肃兰州，21，7分）已知是锐角，且sin(+15)=.计算的值.解：sin60=，+15=60，=45，原式=241+1+3=315、（2012山东省德州二模）如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为ac=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、第10层，每层高度为3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长ec=h，太阳光线与水平线的夹角为 (1) 用含的式子表示h(不必指出的取值范围)；(2) 当30时，甲楼楼顶b点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加15，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 ？答案：(1)过点e作efab于f，由题意