高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系课件 新人教A版选修11.ppt

1 1 3四种命题间的相互关系 主题1四种命题之间的关系1 观察下面四个命题 命题 1 与命题 2 3 4 的条件和结论之间分别有什么关系 1 若f x 是正弦函数 则f x 是周期函数 2 若f x 是周期函数 则f x 是正弦函数 3 若f x 不是正弦函数 则f x 不是周期函数 4 若f x 不是周期函数 则f x 不是正弦函数 提示 命题 1 的条件是命题 2 的结论 且命题 1 的结论是命题 2 的条件 对于命题 1 和 3 其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定 对于命题 1 和 4 其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定 2 通过问题1中的探究 你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗 你能用数学语言描述出来吗 提示 命题 2 3 是互为逆否命题 命题 2 4 是互否命题 命题 3 4 是互逆命题 结论 四种命题间的关系 若q 则p 若 q 则 p 若 p 则 q 微思考 1 判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面 提示 判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了 是否都否定了 2 能不能说 若p 则q 是逆命题或否命题 为什么 提示 不能 逆命题或否命题都是相对于原命题而言的 只有确定了原命题 才有逆命题 否命题的说法 它们与原命题互为逆命题 互为否命题 3 如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题 提示 原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题 所以只需写出原命题的逆命题的否命题 即得原命题的逆否命题 主题2四种命题的真假性关系1 主题1问题1中的四个命题 它们的真假性如何 提示 命题 1 为真命题 2 是假命题 3 是假命题 4 是真命题 2 若命题 1 为原命题 你发现哪两个命题的真假性相同 这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成立 提示 原命题与逆否命题 逆命题与否命题 真假性相同 且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立 结论 1 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 相同 没有关系 微思考 1 一个命题的逆命题与否命题是同真同假命题吗 提示 可以通过命题的结构形式 即它的条件和结论分析 逆命题与否命题是互为逆否命题 故逆命题与否命题是同真同假的 2 在四种命题中 真命题的个数可能有几个 提示 因为原命题与逆否命题 逆命题与否命题均互为逆否命题 它们同真或同假 所以真命题的个数可能是0 2或4 预习自测 1 命题 若p不正确 则q不正确 的逆命题的同真同假命题是 a 若q正确 则p不正确b 若q不正确 则p正确c 若p正确 则q不正确d 若p正确 则q正确 解析 选d 与逆命题同真同假的命题是否命题 否命题是 若p正确 则q正确 2 已知命题p 若 a b 则a b 则命题p及其逆命题 否命题 逆否命题中 正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 因为a b时 a b 则命题p为假命题 命题p的逆命题为 若a b 则 a b 为真命题 又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题 原命题与其逆否命题互为逆否命题 故真命题的个数是2个 3 在原命题 若a b b 则a b a 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 解析 逆命题为 若a b a 则a b b 否命题为 若a b b 则a b a 逆否命题为 若a b a 则a b b 全为真命题 答案 4 4 已知a b r 则命题 若a b 则 的逆命题 否命题 逆否命题 这三个命题中真命题的个数为 解析 原命题 a b 则 是假命题 其逆命题 若 则a b 也是假命题 又原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 故三个命题都是假命题 答案 0 类型一四种命题之间的相互关系 典例1 1 命题 若 11 则x 1或x 1d 若x2 1 则x 1或x 1 2 命题 两条对角线相等的四边形是矩形 是命题 矩形是两条对角线相等的四边形 的 a 逆命题b 否命题c 逆否命题d 无关命题 解题指南 1 根据互为逆否命题的概念结合选项进行判断 2 分清涉及的命题的条件和结论 比较两个命题的条件与结论之间的关系即可解决 解析 1 选d 若原命题是 若p 则q 则逆否命题为 若 q 则 p 故此命题的逆否命题是 若x2 1 则x 1或x 1 2 选a 从两种命题的形式来看是条件与结论换位 因此为逆命题 方法总结 判断四种命题关系的关键关键是正确找出原命题的条件和结论 若原命题不是 若p 则q 的形式 应改写成 若p 则q 的形式 并写出条件和结论的否定 1 换位 得到 若q 则p 为逆命题 2 换质 分别否定 得到 若 p 则 q 为否命题 3 换位 又 换质 得到 若 q 则 p 为逆否命题 巩固训练 命题 a b都是奇数 则a b是偶数 的逆否命题是 a a b都不是奇数 则a b是偶数b a b是偶数 则a b都是奇数c a b不是偶数 则a b都不是奇数d a b不是偶数 则a b不都是奇数 解析 选d 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 故该命题的逆否命题是 a b不是偶数 则a b不都是奇数 补偿训练 下列命题中 若一个四边形的四条边不相等 则它不是正方形 若一个四边形对角互补 则它内接于圆 正方形的四条边相等 圆内接四边形对角互补 对角不互补的四边形不内接于圆 若一个四边形的四条边相等 则它是正方形 其中互为逆命题的有 互为否命题的有 互为逆否命题的有 解析 命题 可改写为 若一个四边形是正方形 则它的四条边相等 命题 可改写为 若一个四边形是圆内接四边形 则它的对角互补 命题 可改写为 若一个四边形的对角不互补 则它不内接于圆 再依据四种命题间的关系便不难判断 答案 和 和 和 和 和 和 类型二四种命题的真假性 典例2 1 原命题为 若 an n n 则 an 为递减数列 关于逆命题 否命题 逆否命题真假性的判断依次如下 正确的是 a 真 真 真b 假 假 真c 真 真 假d 假 假 假 2 原命题 a b c r 若a b 则ac2 bc2 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题共有 a 0个b 1个c 2个d 4个 解题指南 1 因为原命题和其逆否命题同真假 逆命题和否命题同真假 所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可 2 写出逆命题 否命题及逆否命题 然后判断真假 解析 1 选a 由已知条件可以判断原命题为真 所以它的逆否命题也为真 而它的逆命题为真 所以它的否命题亦为真 2 选c 对原命题 当c 0时ac2 bc2 故原命题为假命题 又逆命题为 a b c r 若ac2 bc2 则a b 由不等式性质 可得此命题为真命题 由命题的同真同假性知 原命题与逆否命题为假命题 逆命题与否命题为真命题 延伸探究 若把本例 1 中 若a2 a3 其他条件不变 则结果如何 解析 由已知条件可以判断原命题为真 所以它的逆否命题也为真 而它的逆命题为真 所以它的否命题亦为真 方法总结 判断四种命题真假的两种方法 1 直接判断 利用命题真假判断的方法判断 2 同真同假转化 由于互为逆否命题的真假具有同真同假性 因而在判断四种命题的真假时 可以转化为先判断原命题和逆 否 命题的真假 再利用互为逆否命题的真假具有同真同假性即可完成 拓展延伸 转化与化归的数学思想转化与化归的思想方法是应用等价转化的思想方法去解决数学问题 它可以在数与数 形与形 数与形之间进行转换 它可以将较为烦琐 复杂的问题 变成比较简单的问题 通过观察 分析 类比 联想等 思维过程 选择运用恰当的数学方法进行变换 将原问题转化为一个新问题 相对来说 自己较熟悉的问题 并通过对新问题的求解 达到解决原问题的目的 巩固训练 已知x r a x2 b x 2 c x2 x 1 求证 a b c中至少有一个不小