高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

3 1 1 1椭圆及其标准方程 1 了解椭圆的实际背景 理解椭圆 椭圆的焦点 椭圆的焦距的定义 2 理解推导椭圆标准方程的过程 3 理解参数a b c的几何意义 会求一些简单的椭圆的标准方程 1 圆锥曲线通常把圆 椭圆 抛物线 双曲线统称为圆锥曲线 2 椭圆的定义我们把平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的集合叫作椭圆 这两个定点f1 f2叫作椭圆的焦点 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距 说明 1 椭圆的定义中提到的 常数 常用2a表示 焦距常用2c表示 椭圆定义的数学表达式为 mf1 mf2 2a 2a f1f2 2 当2a f1f2 时 其轨迹是线段f1f2 3 当2a f1f2 时 其轨迹不存在 4 椭圆的定义是推导椭圆方程的依据 做一做1 命题甲 动点p到两个定点a b的距离之和 pa pb 2a a 0 且a为常数 命题乙 p点的轨迹是椭圆 则命题甲是命题乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 若p点的轨迹是椭圆 则一定有 pa pb 2a a 0 且a为常数 甲是乙的必要条件 反过来 若 pa pb 2a a 0 且a为常数 是不能推出p点的轨迹是椭圆的 这是因为 仅当2a ab 时 p点的轨迹才是椭圆 而当2a ab 时 p点的轨迹是线段ab 当2a ab 时 p点无轨迹 甲不是乙的充分条件 故甲是乙的必要不充分条件 答案 b 2 椭圆的焦点总在长轴上 因此可通过标准方程判断焦点的位置 其方法是 看x2 y2 的分母的大小 x2 y2 分母大 焦点就在x y 轴上 3 椭圆的标准方程有两种形式 所谓 标准 就是椭圆的中心在原点 焦点在坐标轴上 用待定系数法求标准方程时 应从 定位 与 定量 两个方面去考虑 首先要 定位 即确定焦点所在的坐标轴 从而确定椭圆方程的类型 其次是 定量 即利用条件确定方程中a b的值 若不能确定焦点的位置 可分类设出方程或设两种方程的统一形式 统一形式为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 1 点p到椭圆的两个焦点的距离之和为2a 10 10 5 5 2 由已知条件得a2 16 a 4 由椭圆定义得 af1 af2 2a 8 bf1 bf2 2a 8 af1b的周长为 af1 ab bf1 16 三角形有两边之和为10 第三边的长度为6 答案 1 a 2 6 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时 应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解 椭圆上一点p与椭圆的两焦点f1 f2构成的 f1pf2称为焦点三角形 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义 三角形中的正弦定理 余弦定理等知识 对于求焦点三角形的面积 若已知 f1pf2 可利用把 pf1 pf2 看成一个整体 运用公式 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 及余弦定理求出 pf1 pf2 而无需单独求 pf1 pf2 这样可以减少运算量 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 且经过点 2 0 和 0 1 2 焦点在y轴上 与y轴的一个交点为p 0 10 点p到离它较近的一个焦点的距离等于2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1 下列说法正确的是 a 已知f1 4 0 f2 4 0 到f1 f2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆b 已知f1 4 0 f2 4 0 到f1 f2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆c 到点f1 4 0 f2 4 0 两点的距离之和等于点m 5 3 到f1 f2的距离之和的点的轨迹是椭圆d 到点f1 4 0 f2 4 0 距离相等的点的轨迹是椭圆答案 c 12345 2 到两定点f1 2 0 和f2 2 0 的距离之和为4的点的轨迹是 a 椭圆b 线段c 圆d 以上都不对答案 b 12345 12345 解析 由椭圆的定义 知 af1 af2 8 bf1 bf2 8 两式相加 得 af1 af2 bf2 bf1 16 因为