高中数学 第四章 导数应用本章整合课件 北师大版选修11.ppt

本章整合 第四章导数应用 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一导数与函数的单调性对函数单调性的讨论 往往先确定定义域 然后在定义域内根据f x 的符号解决问题 在这里充分体现了数形结合的数学思想 应重视数学思想方法的归纳提炼 并且它比用定义法更为简便 应提高应用导数法解决问题的能力 优化解题思路 简化解题过程 专题一 专题二 专题三 专题四 应用1已知函数f x 与g x 均为区间 a b 上的可导函数 且f x g x f a g a 证明 当x a b 时 f x g x 提示 考虑可导函数与单调性 可构造函数进行证明 证明 构造函数f x f x g x 由已知可得f x 在 a b 上可导 且f x f x g x 0 f x 在 a b 上是增加的 对任意x a b 有f x f a f a g a f x g x f a g a 0 f x g x 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数f x 的单调区间 解得a 3 由题设a 0 所以a 3 专题一 专题二 专题三 专题四 2 由 1 知f x x3 3x2 9x 1 则f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 3 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上是增加的 当x 1 3 时 f x 0 故f x 在 3 上是增加的 由此可见 函数f x 的递增区间为 1 和 3 递减区间为 1 3 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二导数与函数的极值 最值用导数求函数的极值 最值是高中学习的重点 也是高考的热点 最值可根据函数的单调性 基本不等式的性质等知识来求 而用导数求最值 是一种重要而又简单的方法 利用导数作工具 判断函数的单调性 进而求出极值和区间端点的函数值 最后比较大小 得到函数的最值 专题一 专题二 专题三 专题四 应用1设a为实数 函数f x x3 x2 x a 1 求f x 的极值 2 当a在什么范围内取值时 曲线y f x 与x轴仅有一个交点 提示 可以按照导数求极值的步骤求f x 的极值 结合函数的单调性与不等式的知识可完成第 2 小题 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2设函数f x x3 3x 2 x r 1 若关于x的方程f x a有三个不同实根 求实数a的取值范围 2 已知当x 1 时 f x k x 1 恒成立 求实数k的取值范围 提示 1 先利用导数求单调区间和极值 再将问题转化为y f x 和y a的图像有三个不同的交点 利用数形结合的方法求解 2 将问题转化为不等式恒成立问题 利用分离参数法求解 专题一 专题二 专题三 专题四 解 1 f x 3x2 3 令f x 0 解得x1 1 x2 1 当x 1或x0 当 1 x 1时 f x 0 f x 的递增区间为 1 和 1 递减区间为 1 1 当x 1时 f x 有极大值4 当x 1时 f x 有极小值0 由上面的分析知 y f x 的图像的大致形状及走向如图 当0 a 4时 直线y a与y f x 的图像有三个不同的交点 即方程f x a有三个不同的解 即a的取值范围是 0 4 专题一 专题二 专题三 专题四 2 f x k x 1 即 x 1 x2 x 2 k x 1 x 1 k x2 x 2在 1 上恒成立 令g x x2 x 2 g x 在 1 上是增加的 g x g 1 0 k的取值范围是 0 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三用导数证明不等式要证不等式f x g x 则构造函数 x f x g x 只需证 x 0 由此转化成求 x 的最小值问题 借助于导数解决 专题一 专题二 专题三 专题四 应用1已知函数f x lnax a 0 1 求此函数的单调区间及最值 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2已知函数f x ax3 cx d a 0 是r上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求f x 的单调区间和极大值 2 证明对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 提示 利用函数的性质及导数与函数极值的关系解决此类问题 专题一 专题二 专题三 专题四 1 解 由奇函数的定义 得 ax3 cx d ax3 cx d d 0 因此f x ax3 cx 则f x 3ax2 c 由题意 得f 1 2 f 1 0 因此 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 所以f 1 f 1 0 当x 1 时 f x 0 故f x 在区间 1 上是增加的 当x 1 1 时 f x 0 故f x 在区间 1 上是增加的 f x 在x 1处取得极大值 极大值为f 1 2 专题一 专题二 专题三 专题四 2 证明 由 1 知 f x x3 3x在 1 1 上是减少的 且f x 在 1 1 上的最大值m f 1 2 f x 在 1 1 上的最小值m f 1 2 对任意的x1 x2 1 1 恒有 f x1 f x2 m m 2 2 4成立 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四函数最值的实际应用 优化问题的解决 解决优化问题的方法之一 通过搜集大量的统计数据 并对数据进行整理和分析 建立与其相应的函数模型 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得到解决 在这个过程中 导数往往是一个有力的工具 用框图表示以上流程如下 很显然 解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程 注 因为根据大纲的规定和高考的要求 有关函数最大值与最小值的实际问题涉及的函数只有一个极值点 这个极值点就是问题中所描述的最值点 因此在求有关实际问题的最值时 一般不考虑端点的函数值 专题一 专题二 专题三 专题四 应用1某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为13万元 辆 年销售量为5000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适当增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为0 7x 年销售量也相应增加 已知年利润 每辆车的出厂价 每辆车的投入成本 年销售量 1 若年销售量增加的比例为0 4x 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 2 若年销售量y关于x的函数为 则当x为何值时 本年度的年利润最大 最大利润为多少 专题一 专题二 专题三 专题四 解 1 由题意 得上年度的利润为 13 10 5000 15000 万元 本年度每辆车的投入成本为10 1 x 万元 本年度每辆车的出厂价为13 1 0 7x 万元 本年度年销售量为5000 1 0 4x 辆 因此本年度的利润为y 13 1 0 7x 10 1 x 5000 1 0 4x 3 0 9x 5000 1 0 4x 1800 x2 1500 x 15000 015000 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻折90 角 再焊接而成 如图 问 该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 提示 设容器的高为xcm 求出容器的容积v x 用导数求最大值 专题一 专题二 专题三 专题四 解 设容器的高为xcm 容器的容积为v x cm3 则v x x 90 2x 48 2x 4x3 276x2 4320 x 00 则v x 是增加的 当10 x 24时 v x 0 则v x 是减少的 因此 在定义域 0 24 内 函数v x 只有当x 10时取得最大值 其最大值为v 10 10 90 20 48 20 19600 cm3 答 当容器的高为10cm时 容器的容积最大 最大容积为19600cm3 1 2 3 4 5 1 2016四川高考 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2解析 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 易得f x 在 2 2 上是减少的 在 2 2 上是增加的 故f x 极小值为f 2 由已知得a 2 故选d 答案 d 1 2 3 4 5 2 2016全国乙高考 函数y 2x2 e x 在 2 2 的图像大致为 解析 特殊值验证法 取x 2 则y 2 4 e2 8 2 7182 0 6 0 1 排除a b 当0 x 2时 y 2x2 ex 则y 4x ex 由函数零点的判定可知 y 4x ex在 0 2 内存在零点 即函数y 2x2 ex在 0 2 内有极值点 排除c 故选d 答案 d 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 c 1 2 3 4 5 4 2016全国甲高考 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 1 2 3 4 5 当a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 上是增加的 因此g x 0 当a 2时 令g x 0得 由x2 1和x1x2 1得x1